对一道教材思考题的探讨和思考

对一道教材思考题的探讨和思考

乔婷婷　丁学明

（重庆市云阳县海峡小学，重庆 云阳 404500）

小学数学教学中“数学文化”的渗透是不容质疑的问题，各种版本呈现的形式也丰容多彩。

在西师大版，数学教材六年级上册第１０９页有如下一道思考题，其中也渗透着“数学文化”的因素。

【思考题】　

一看，此思考题就是流传甚广的“分牛问题”。“分牛问题”是一个古老的数学问题，它起于何年何月，出自哪本著作也无从考证。

【解法探讨】

１．把此问题当作一个一般的分数应用题，根据问题本意，其解法无可非议是：

老大可分得：１９×　　＝９　　　头，老二可分得：１９×　　＝４　　　头，１１２２１４３４老三可分得：１９×　　＝３　　　头。１５４５可是，再与题目对照思量，发现与老人临终前留下的遗嘱　

“不能杀牛分肉”相矛盾按照上面分数应用题的解法，要杀掉三头牛，况且还没有把牛肉分完。这矛盾如何解决，于是出现了历史流行的解法：

解法１：智者分牛（借一还一）

故事又是这样流传的：　牛杀了既没有使用的价值，三兄弟也不愿意。为此，三兄弟绞尽了脑汁，还是无计可施；最后决定诉诸官府，官府对此也是一筹莫展，便以“清官难断家务事”为由，一推了之。此事被一智者知道后，他想出了一个极妙的办法解决了三兄弟的疑难。那就是这位智者把自己家中的一头牛借给了三兄弟，这样共有２０头牛，于是：　　　　　

老大分得：（１９＋１）×　　　＝１０１２头；老二分得：（１９＋１）×　　　＝　５１４头；老三分得：（１９＋１）×　　　＝　４１头。三兄弟共分去１９头牛，剩下的一头牛智者牵了回去。

５我们佩服故事编写的很好，更佩服智者：一是分完了牛，二是没有宰杀一头牛，三是智者的一头牛也还了。可人们在佩服智者的高明之余，也有些怀疑：老大应得９．５头牛，最后他怎么竟得了１０头呢？

故事归故事，可数学是要进行理性思考的，后来人们又给出了以下两个比较合理的解法：

解法２：极限法

１９头牛按老大　　　、老二　　　、老三　　　的份额去分　，各人分别１１１得９　　　头、４　　　头、３　　　头。这样显然分不完，还剩下（１９１２３２４４４５５－９　－１４　　　－３４３　　　　＝）　　　　头。剩下的　　　　　头又要分第二次　；于是各人又分４１９２５１９２０２０得　　　　×　　　＝　　　　　头，　　　×　　　＝　　　　　头，　　　　×　　　　＝　　　　　　　　头。计算一下，１９２０１２１９４０１９２０１１９１９１１９还没有分完，剩下　　　　　头；于是，又进行第三次，　如此下去，４００１９４８０２０５１００这个过程可以一直延续到无穷，只是每次所剩越来越少了。累计上述过程：

老大分得：９　　＋　　　　×　　　　＋　　　　　　×　　　　＋……＝　　　　　　　　　　　　　　　　＝１０１２１９１９

２０１２４００１９１２２１－２０１头，老二分得：４　　＋　　　　×　　　　＋　　　　　　×　　　　＋……＝　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５３４１９２０１４４００１９１１９４４１－１头，１９

２０老三分得：３　　＋　　　　×　　　　＋　　　　　　×　　　　＋……＝　　　　　　　　　　　　　　　　＝　４４５１９２０１５４００１９１５５１－２０１头。这种用无限递缩等比数列求和的方法是无可辩驳的。可以说人们用了比较审慎的态度对待这件分牛风波，支持了智者的分法是正确的。

解法３：比例法

因为　　∶　　∶　　　＝１０１２１４１５：５：４，所以老大分得：１９×　　　　　　　　　　　　　　＝１０１０＋５＋４１０头；老二分得：１９×　　　　　　　　　　　　＝５１０＋５＋４５头；老三分得：１９×　　　　　　　　　　　　＝４１０＋５＋４４

头。教材编者倾向的解法：

西师大教材提示，配套教参是这样的：“把３个分数转化成比试一试　　。”　“要是有２０头牛就好分了。”

思考题是很有趣的问题，一般很容易理解为１９头牛的　　　，１　　　　　和　　　　，而不是“按　　，　和　　　的份额”分，也就是没有　　∶　∶　１４１５１２１４１５１２１２４１５　　　　的意识，有了这个意识，转换成按比例分配的问题就好办了。

【教学中的困惑及思考】

如何处理这个有争议的问题？在教学中，老师们对此问题最典型的做法是：学生审题后，看到三个儿子各占总数的分率，

根据分数乘法的意义，列出算式并算出得数：老大分得１　　＝９．５（头），老二分得１９×　　＝４．７５（１４头），老三分得１９×　＝３．８（１１９×　２５头）。学生发现，这样算有两方面不合情理。其一，题意是“不许把牛杀掉或卖掉”，现在却出现分得了小数头牛；其二，将三个儿子分得的牛的头数相加（９．５＋４．７５＋３．８），结果是１８．０５头牛，这又不符合题中说的“１９头耕牛，你们三人分吧”之意。师进而引发学生思考：“这个总和应该是１９牛头啊，为什么是１８．０５头牛呢？问题究竟出在哪？难道三个儿子各占的分率所对应的标准量（单位‘１’的量）不是１９头牛？那该是多少呢？”此时，有学生说是２０头牛吧。师：“这是一个大胆的猜想！这个猜想是否合理、正确呢？”学生再次投入演算、验证、探究活动之中，最后得出２０头牛是标准量（单位‘１’的量）。后面就顺利得出解法。

很明显，１９的　　　是１９．５，却怎么等于１０了呢，绝大多数学生学是不明其理，一头雾水。这对才学习分数的学生来说，是２有负面影响的。个人认为，不应把它作为一个严肃的数学问题对待，而只能作为一个智力题使用或数学故事（北师大教材是这样处理的），以拓展学生视野，培养对数学的兴趣。

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