2012年数学建模竞赛论文
与上证指数（股市）关系
及CPI趋势分析
参赛队员姓名
李军生 学 号 10140102008 院 系 数学与信息科学系
参赛队员姓名 刘娜娜 学 号 10140102019 院 系 数学与信息科学系
参赛队员姓名 赵珍珍 学 号 10140102002 院 系
数学与信息科学系
2012年 5月 20日
0
论文题目： CPI
目录
一、摘要 ............................................................3
二、问题的提出与分析 ................................................3
三、数据的收集和处理 ................................................4
四、建模过程 ........................................................6
1）问题一 .......................................................6
1.模型假设 ...................................................6 2模型建立及求解. ............................................7 3.模型优化 ...................................................7 4.模型的分析与验证 ...........................................9
2）问题二 .......................................................9 1.模型假设 ...................................................9 2模型建立. .................................................11 3.模型求解 ..................................................11 4.结果预测与模型的改进 ......................................12
五、模型的评价 .....................................................14
六、参考文献 .......................................................15
一、论文摘要：
CPI即消费者物价指数(Consumer Price Index)，是反映与居民生活有关的产品及
2
劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。随着经济的快速发展，各种各样的公司开始发挥其作用，为了更好地获得资金，股票随之登上历史舞台。现阶段，中国股民人数仍在急剧增加，股市行情也与消费者生活水平息息相关，因此，研究CPI与上证指数的关系势在必行。
消费者物价指数CPI是根据与居民生活密切相关的商品和劳务价格统计出来的物价变动指标，是反映宏观经济走势和衡量社会通涨或通缩水平的重要指标。世界上许多国家和政府都很关注这一指标，CPI涨幅理所当然的成为管理者制定宏观经济政策、进行经济调控和央行公开市场操作的重要参考依据，所以研究和预测CPI对于宏观经济分析有着重要的意义。
问题一，根据以往数据分析，我们得到股市上证指数与CPI可能存在正相关的关系，由此建立对应数学模型，通过所建立的模型，表示出CPI与股市上证指数的关系，然后与所获得数据进行拟合比较，发现一般情况符合所建模型。
问题二，数据问题一所建立的数学模型，我们得到了往年CPI的基本走势，根据得到的结论，我们预测了2012年的CPI走势，希望对经济有点帮助，更重要的是，给股民以参考，不要盲目购买股票，要通过相关数据，作出合理判断，正确理财。
关键词：CPI 经济 上证指数 正相关 拟合 走势 预测 建议 二、问题的提出与分析
1）、通过这次数学建模我们想探究CPI与上证指数（即“上海证券综合指数”它是上海证券交易所编制的,以上海证券交易所挂牌上市的全部股票为计算范围,以发行量为权数综合.上证指数反映了上海证券交易市场的总体走势。）到底是有没有关系，有什么关系。在经济飞速发展的现在，股票开始登上经济舞台，许多公司开始通过股票来融资，也有许多人开始购买股票，入股成为一件很平常的事，但股市是存在风险的。所以研究股票与CPI的关系已十分必要。
CPI的涨跌，主要是体现通货膨胀或者通货紧缩，一般CPI上涨过快，央行一般都要采取加息来平抑CPI上涨所带来的货币贬值，而加息将会对资金的流动性起到相当大的抑制作用，而且由于股市的合理市赢率是参考银行一年期利率来决定的，且与利率水平成反比，即利率水平越高，PE就越低，对应平均股价就越低，所以CPI的上涨将会影响资金流动性，且降低股市股价估值水平。
为了不使股民利益受到太大损害，我们将通过数据对上证指数与CPI的关系进行研究。
2）、消费是经济活动中的重要环节, 居民消费也是国内生产总值( GDP )的重要组成部分。在我国目前所处的经济发展阶段, 消费正在日益成为拉动经济增长和社会发展的动力引擎之一。在影响消费的众多因素中, 消费品价格指数( CPI)扮演了重要的角色, CPI的上升或是下降, 对居民消费都会起到立竿见影的作用, 同时, 也正是由于CPI与整个宏观经济状况呈现了紧密的相关性, 因此, CP I也成为预测整个经济波动的一项风险标准。所以说, 利用既有统计数据对CPI进行数值模拟和走势预测, 就具有及其重要的理论和现实意义。CPI通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，自然条件下，我国的CPI一般为2%-3%， 一般说来,当CPI > 3%的增幅时,我们称之为通货膨胀;而当CPI > 5%的增幅时,我们将之称为严重的通货膨胀，这样将严重影响居民的生活，另外，预测CPI还有助于把握未来经济发展和人民的生活状况，从而更有效地制定政策，对国民经
3
济进行调控，因此，预测CPI有着重大意义，本次我们主要通过数学建模来探究CPI走势的规律。
三、数据的收集和处理
1）、首先，我们通过中华人民共和国统计局网站( http: //www. stats.gov. cn / ).我们找到了2008年1月至2012年4月CPI指数（本文指CPI同比增长率，以下均是，不单独指出）和上证指数的相关数据：
表1.1
年 月 CPI 年 月 CPI 2008年1月 7.1 2010年3月 2.4 2008年2月 8.7 2010年4月 2.8 2008年3月 8.3 2010年5月 3.1 2008年4月 8.5 2010年6月 2.9 2008年5月 7.7 2010年7月 3.3 2008年6月 7.1 2010年8月 3.5 2008年7月 6.3 2010年9月 3.6 2008年8月 4.9 2010年10月 4.4 2008年9月 4.6 2010年11月 5.1 2008年10月 0.4 2010年12月 4.6 2008年11月 2.4 2011年1月 4.9 2008年12月 1.2 2011年2月 4.9 2009年1月 1 2011年3月 5.4 2009年2月 -1.6 2011年4月 5.3 2009年3月 -1.2 2011年5月 5.5 2009年4月 -1.5 2011年6月 6.4 2009年5月 -1.4 2011年7月 6.5 2009年6月 -1.7 2011年8月 6.2 2009年7月 -1.8 2011年9月 6.1 2009年8月 -1.2 2011年10月 5.5 2009年9月 -0.8 2011年11月 4.2 2009年10月 -0.5 2011年12月 4.1 2009年11月 0.6 2012年1月 4.5 2009年12月 1.7 2012年2月 3.2 2010年1月 1.5 2012年3月 3.6 2010年2月 2.7 2012年4月 3.3
利用这些数据我们可以利用Excel做出CPI和上证指数的简单而直观走势图
4
图1.2
上证指数与CPI走势图上证指数（点）CPI70006000500040003000200010000302520151050-5通过表1.2，初步得出结论：2008年-2012年，股市与CPI具有正相关关系。
2）、我们主要考虑到影响CPI的因素，但是由于因素很多，我们很难统计，也很难刻画，例如资金投放的大小，外资的涌入，国际市场的需求变化，国际经济形式的变化，甚至天灾、战争都会对CPI的变化产生影响。因此，只能针对当前热点和经济发展中的主要矛盾予以分析和解释。我们便联想到人口预测问题，也就是研究CPI指数与时间的关系。
首先我们根据表1.1，利用Excel绘出CPI的时间趋势：
图1.3
CPI走势图 10通过表1.3我们初步看出CPI与时间关系较为复杂，因此，我们会在后面的建模中做详细的说明。 8 CPI6四、建模过程 202008年1月2008年7月2009年2月2009年8月2010年3月1) CPI与上证指数（股市）关系 2010年9月2011年4月2011年11月2012年5月4-2-4 年份
08月年20408月20年088月年201209月年20409月20年098月年201210月年20410月20年108月年201211月年20411月20年118月年12月5
20年
1）、CPI与上证指数（股市）关系
4.11模型的假设
首先我们用matlab中绘出CPI与股市的散点图：
a=[7.1 8.7 8.3 8.5 7.7 7.1 6.3 4.9 4.6 0.4 2.4 1.2 1 -1.6 -1.2 -1.5 -1.4 -1.7 -1.8 -1.2 -0.8-0.5 0.6 1.7 1.5 2.7 2.4 2.8 3.1 2.9 3.3 3.5 3.6 4.4 5.1 4.6 4.9 4.9 5.4 5.3 5.5 6.4 6.5 6.2 6.1 5.5 4.2 4.1 4.5 3.2 3.6 3.3];
b=[5330 5650 5750 5870 5300 4990 4570 3390 3750 3250 2900 2500 2500 1830 1940 1850 1830 1800 1850 1900 2020 2100 2350 2680 2600 3000 2900 3050 3150 3090 3210 3300 3350 3660 3970 3750 3900 3890 4100 4050 4150 4600 4650 4200 4100 3800 3300 3250 3400 2850 3020 2970];
plot(a,b,'*')
图1.4
CPI与上证指数的散点图6000550050004500上证指数400035003000250020001500-2024CPI6810 容易假设：上证指数（股市）与CPI线性增加。 观测值的模型： yi = a + bxi。 拟合的精度:
对于一次线性回归方程，在Excel中直接给出相关系数r的平方（即R^2），其越接近1，拟合的精确度越高。
6
4.12模型建立及求解
我们直接用excel求出CPI与上证指数的一元回归关系 ，如图1.5：
图1.5
CPI与上证指数的一元线性回归方程上证指数（点） 线性 (上证指数（点）)7000 6000 5000 4000 3000 y = 371.63x + 2873.8 2000 1000 0
根据Excel自动求出R^2=0.985，拟合精度已经相当高了可知模型（图1.5）成立，可以采用此模型。
4.13模型优化：
由表1.4可以看出，CPI 与上证指数的关系更接近于一元曲线回归方程，我们容易想到模型：Y=ae
经变量转换后得到
Y’=a’+b’x’+c’
其中Y’=lnY a’=lna b’=lnb
将数据改变后，经计算，得到a=2172.6 b=0.1146 因此其关系式为：Y=2172.6e
0.1146x在matlab中画出CPI与上证指数的散点图和两个一元曲线回归，程序如下： clear all
a=[7.7 8.1 8.3„„] b=[5340 5550 5726„„]
7
CPI-1.6-1.2-0.51.22.42.83.23.43.64.44.64.95.46.16.47.18.5bx
hold on
plot(a,b,'*')
x=linspace(-2,10,500) y1=351.63*x+2236.8; hold on
plot(x,y1,'c','linewidth',1.5)
gtext('y1=351.63*x+2236.8 \\rightarrow ')
x=linspace(-2,10,500) y2=2172.6*exp(0.1146*x); hold on
plot(x,y2,'r','linewidth',1.5)
gtext('\\leftarrow y2=2172.6*exp(0.1146*x);')
做完图插入X、Y和标题
图1.6
CPI与上证指数的关系700060005000上证指数4000y1=351.63*x+2236.8 3000 y2=2172.6*exp(0.1146*x);20001000-2024CPI6810
8
由图1.6容易看出一元曲线回归明显优于一元直线回归，所以改进的模型更利于研究CPI与上证指数的关系。
4.14、结果分析：
当然求得的结果存在是存在一定的误差。其中，主要因为上证指数数值相对CPI同比增长数值相差很大，一点点的误差也许会导致结果上差距很大，也就说上证指数上下偏差几十点是正常的。但是该模型对结果趋势分析还是很准确的，在一定范围内还是可以对下个月的上证指数进行很准确的进行预测，当然前提是要对下个月的CPI进行预测，下个模型我们将会阐述如何预测CPI。这样对股民炒股有一定帮助。
2)CPI的走势：
4.21模型假设
1)假设CPI是可预测的,在时间变化上具有连贯性; 2)假设在每个固定点的变化趋势是可预测的。
首先我们想到CPI的走势可能与季度有关系，所以我们绘出了2008、2009、2010、2011四年的CPI走势图如下：
图1.7
2008年CPI走势 10
8 6 4 2 0
CPI
2008年12008月年22008月年32008月年42008月年52008月年6月2008年72008月年82008月20年9月08年1020月08年120081月年12月9
CPICPICPI21.510.50-0.5-1-1.5-20123456
2010年CPI走势2009年CPI走势
2011年CPI走势
7
6
5 4 32
1
0
容易看出，其与季节没有明显关系，参考数据容易得到，原因其实有很多种，一年与一年的情况有着很大的差别，所以我们转向探索其总体的趋势。
2010年1月2010年202月10年3月2010年204月10年205月10年6月2010年207月10年208月10年92010月年2010月10年2011月10年12月10
2011年201月11年202月11年203月11年204月11年205月11年206月11年207月11年208月1120年911月年201011月年201111月年12月2009年201月09年202月09年203月09年204月09年205月09年206月09年207月09年208月0920年909月年201009月年201109月年12月
4.22模型建立
统计回归模型是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上,建立变量之间的回归方程,并将回归方程作为预测模型,根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量,关系大多表现为相关关系。 因此,回归分析预测法是一种重要的市场预测方法,当我们在对市场现象未来发展状况和水平进行预测时,如果能将影响市场预测对象的主要因素找到,并且能够取得其数据资料,就可以采用回归分析预测法进行预测，它是一种具体、行之有效、实用价值很高的常用于市场预测的方法. 因此,我们将它运用到CPI指数的预测当中.
根据上面几个图，我们可以知到影响CPI的因素较多，并且不可避免，（例如：金融危机、军事政策，天灾等），所以我们只能降低这些因素的影响，也就是选择最近期间的数据进行建模。根据散点图，很显然，变量之间的关系不能化成线性关系，我们便想到了采用多项式回归方法即：
y=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 +„+anx^n
其中a0、a1、a2、a3„„an都是与 x、x^2、x^3„„x^n无关的未知参数，当然n不是越大越好，视情况而定，一般取n=2,3，至多为4，再令ti=x^i,则化为线性回归方程。
根据多次试验，我们选择n=4进行建模即： y=a0+a1x+a2x^2+a3x^3 +a4x^4
4.23模型求解：
为了减小误差，所以我们用CPI的近期变化趋势来进行预测。
下面是2011年1月至2012年4月共计16个月的CPI的数据统计:
表1.8
（ X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y 4.9 4.9 5.4 5.3 5.5 6.4 6.5 6.2 6.1 5.5 4.2 4.1 4.5 3.2 3.6 3.3 （注：1代表2011年1月，以此类推，13就代表2012年1月）
下面用Matble进行模型求解：
clear all
y=[4.9 4.9 5.4 5.3 5.5 6.4 6.5 6.2 6.1 5.5 4.2 4.1 4.5 3.2 3.6 3.3]; x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; plot(x,y,'*')
p=polyfit(x,y,4)
xi=linspace(0,16,100); z=polyval(p,xi); hold on
plot(xi,z,'b','linewidth',4)
运行程序之后，在图上插入Y及标题
11
得图：
图1.8
CPI数值CPI 4次拟合多项式6.565.5
54.543.5
30246810121416解得 p =
0.0009 -0.0284 0.2409 -0.4515 5.0942 即所求的拟合多项式为
y=0.0009*x^4-0.0284*x^3+0.2409*x^2-0.4515*x+5.0942
通过matlab也可以计算方程1.8的R2为0.91，相关变量能够很好的拟和，F＝238，方程整体显著，DW值为1.84，比较接近2。该方程的各项指标都比较合理，所以可以作为预测CPI增长率的模型。
4.24、结果预测与模型改进：
已经论证上述模型只能对近期预测，即x=17(即为2012年5月CPI数值)，代入y=0.0009*x^4-0.0284*x^3+0.2409*x^2-0.4515*x+5.0942 可得：
y =3.1785
即2012年5月预计CPI 同比增长速度为3.1785%。
12
同时我们深知此模型的局限性，我们没有考虑到外界因素对模型的影响，完全根据时间来对CPI进行预测，我们通过查阅资料已经知道影响CPI的宏观经济变量很多，并且包括CPI本身在内的这些变量相互作用的关系比较复杂，这些变量之间可能存在着共线性的问题，因此选择合适的变量比较困难，本文选取8大消费品（记为X1-X8）对CPI指数变化的影响。
X1: 表示食品类的加权系数； X2：表示衣着类的加权系数；
X3：表示家庭设备用品及服务类的加权系数； X4：表示医疗保健及个人用品类的加权系数； X5：表示交通和通信类的加权系数；
X6：表示娱乐教育文化及用品类的加权系数； X7：表示居住类的加权系数；
X8：表示烟酒及用品类的加权系数；
首先要对八大类消费品CPI加权系数进行确定，这里可以通过对2011年内八个月的数据进行分析，建立八元一次线性方程组，求解出八大类消费品所对应的加权系数。
CPI计算公式：
CPI＝ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6+gx7+hx8
syms a b c d e f g h i
eq1='99.6*a+99.5*b+98.7*c+98.1*d+100.5*e+99.5*f+108.8*g=101.2-102.5*h'; eq2='101.3*a+99.6*b+98.0*c+97.7*d+100.3*e+98.9*f+109.6*g=101.6-101.6*h'; eq3='101.7*a+99.6*b+98.2*c+97.7*d+100.3*e+99.3*f+109.4*g=101.7-101.2*h'; eq4='101.0*a+99.5*b+98.3*c+97.8*d+100.0*e+99.6*f+109.1*g=101.4-101.0*h'; eq5='101.5*a+99.5*b+98.2*c+97.8*d+99.9*e+99.3*f+108.9*g=101.5-100.7*h'; eq6='100.2*a+99.6*b+97.7*c+97.7*d+99.7*e+99.3*f+108.8*g=101.0-100.5*h'; eq7='100.3*a+99.9*b+98.0*c+97.6*d+99.6*e+99.0*f+101.9*g=99.9-99.7*h'; eq8='a+b+c+d+e+f+g=0.04+1-h';
[a,b,c,d,e,f,g,h,]=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8) a=eval(a) b=eval(b) c=eval(c) d=eval(d) e=eval(e) f=eval(f) g=eval(g) h=eval(h)
结果：
a=0.337 b=0.065 c=0.108
13
d=0.067 e=0.073 f=0.137 g=0.123 h=0.099
即 CPI＝0.337x1+0.065x2+0.108x3+0.067x4 0.073x5+0.137x6+0.123x7+0.099x8
通过计算我们得到2012年前四个月CPI数据分别为4.512 3.223 3.742 3.452 而已知的数据分别为 4.5 3.2 3.6 3.3
通过对比我们知道其有一定的准确度，但是该模型通过对CPI数值的影响因素进行建模，相应的预测功能相对不足。
五、模型评价：
1）模型1.6中一元线性回归能够很好的刻画CPI与上证指数的关系，但是模型没有太多考虑其他因素的影响，而且由于上证指数数值均偏大，一般都3000点左右，它本身上下震动几十点属于合理，但是对于股民这是他们不愿看到的，换句话说，此模型只能粗略估计通过CPI估计上证指数。
模型的优点就是可以刻画未来上证指数的趋势，但是模型有待于向精确刻画方向发展。
2）模型最大优点在于对原始数据拟合时, 采用多种方法进行, 使之愈来愈完善, 具有很高的拟合精度和适度性，在此基础上, 对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息，并且所得结论与客观事实很好地吻合, 从而进一步说明模型是合理的。 从表面上看,可得到基本模型的拟合度已较高（R^2=0.91） ,应该很满意了，可以运用此模型对CPI进行估计，但由于高次多项式出现比较大的震动，偏离了数据点所反映问题的基本特征，当n越大，偏振越大，误差相应也就越大，所以我们只能对最近时间进行估计。
14
六、参考文献：
[1]邹晨洁：《4月CPI降至3.4% 需警惕成本推涨物价》，http://news.xinhua08.com/a/20120511/954236.shtml，2012年5月11日。
[2]（美）爱德华兹，（美）迈吉，（美）巴塞蒂 ，《股市趋势分析》，2010年6月 [3] 栾惠德,张晓峒，《季节调整中的春节模型》经济学(季刊)，2007年3月 [4] 王正东，陈化，《数学软件与数学实验》第二版，2010年8月 [5] 蒋加伏，沈岳，《大学计算机基础》第三版，2008年6月
[6] 盛骤，谢式千，潘承毅，《概率论与数理统计》第四版，2008年6月
15
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容