学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
满分：120分
一．选择题(共8小题,满分16分,每小题2分) 1．(2分)﹣4的倒数是( ) A．
41
测试时间：120分钟
B．−
14C．4 D．﹣4
2．(2分)下列运算正确的是( ) A．3a×2a＝6a C．(𝑎3)2=𝑎9
1319B．a8÷a4＝a2 D．﹣3(a﹣1)＝3﹣3a
3．(2分)甲,乙,丙,丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数𝑥(秒)及方差S2如下表所示．若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛,则应选的同学是( )
𝑥 s2
A．甲
甲 7 0.45 B．乙
乙 7 0.2 C．丙
丙 7.5 0.2 D．丁
丁 7.5 0.45
4．(2分)小刘下午5点30分放学匀速步行回家,途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花,6点20分到家,已知小刘家距学校3千米,下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S(千米)与离校的时间t(分钟)之的关系的是( )
A． B．
C． D．
5．(2分)如图,AB∥CD,∠BAE＝120°,∠DCE＝30°,则∠AEC＝( )度．
A．70
B．150
C．90
D．100
6．(2分)如图,△ABC内接于⊙O,AD为⊙O的直径,交BC于点E,若DE＝2,OE＝3,则tanC•tanB＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
7．(2分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD四个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣1,﹣1,),C(3,﹣1),D(3,2),当双曲线y=(k＞0)与矩形有四个交点时,k的取值范围是( )
𝑘𝑥
A．0＜k＜2
B．1＜k＜4
C．k＞1
D．0＜k＜1
8．(2分)如图,在平面直角坐标系中,点A(1,2)、点B(4,2)在半径为√3的⊙M上,P为⊙M上一动点,D为x轴上一定点,PD⊥DC,且∠DPC＝30°,当点P从A点逆时针运动到B点时,C点的运动路径长是( )
A．π
32
B．
2
√3π 3
C．2π D．π
3
1
二．填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)
9．(2分)计算√20×√的结果是 ．
10．(2分)如果10m＝12,10n＝3,那么10m+n＝ ． 11．(2分)把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 ．
12．(2分)人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米,96000千米用科学记数法表示为 米． 13．(2分)已知点A(a,2),B(3,b)关于y轴对称：则ab＝ ． 14．(2分)已知：x2+4y2+z2＝9,x﹣2y+z＝2,则2xy+2yz﹣xz＝ ．
15．(2分)给一个圆锥形零件的侧面涂漆,零件的尺寸要求如图所示,则需要涂漆的面积为 cm2(结果保留π)．
15
16．(2分)已知二次函数y＝4x2﹣mx+5,当x≤﹣2时,y随x的增大而减小；当x≥﹣2时,y随x的增大而增大,则当x＝1时,y的值为 ．
17．(2分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一个动点,点F是CD边上一个动点,且AE＝CF,过点B作BG⊥EF于点G,连接AG,则AG长的最小值是 ．
18．(2分)如图,经过原点O的直线与反比例函数y=𝑥(a＞0)的图象交于A,D两点(点A在第一象限),点B,C,E在反比例函数y=(b＜0)的图象上,AB∥y轴,AE∥CD∥x轴,五边形ABCDE的面积为56,四边形ABCD的面积为32,则a﹣b的值为 ,的值为 ．
𝑎𝑏
𝑏𝑥𝑎
三．解答题(共10小题,满分84分)
19．(6分)计算：|−√3|+(π﹣3)0−√3+3tan30°． 20．(8分)(1)解方程组{𝑥−3
2𝑥+1=5(𝑦+2)
−
； 𝑦−12
=−26,并写出不等式组的最大整数解．
(2)解不等式组{2𝑥+1
32(𝑥−1)＜4
≤3+2𝑥
21．(8分)已知,如图,AB＝AD,∠B＝∠D,∠1＝∠2＝60°． (1)求证：△ADE≌△ABC； (2)求证：AE＝CE．
22．(8分)近年以来,雾霾天气让环保和健康问题成为焦点,某校为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了多少名学生？ (2)通过计算补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中,B部分扇形所对应的圆心角的度数；
(4)若该校共有1200名学生,请你估计该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数．
23．(8分)在一个不透明的口袋中装有3个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,随机地摸出一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球．
(1)两次摸出的小球的标号不同的概率为 ；
(2)求两次摸出小球的标号之积是3的倍数的概率(采用树形图或列表法)
24．(8分)有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍,且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天． (1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
(2)如果甲工程队每天需工程费7000元,乙工程队每天需工程费5000元,若甲队先单独工作若干天,再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务,支付工程队总费用不超过79000元,则两工程队最多可以合作施工多少天？
25．(8分)某数学课题研究小组要测量兰山顶部信号塔的高度,甲同学站在距离山脚20m的A处测得山顶的仰角为30°,测得塔顶D的仰角为60°,求塔高CD为多少？(√3取1.7,结果精确到0.1m)
26．(10分)如图,已知一次函数y=2x﹣2与反比例函数y=𝑥的图象相交于点A(2,n),与x轴相交于点B． (1)求k的值以及点B的坐标；
(2)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标；
5
𝑘
(3)在y轴上是否存在点P,使PA+PB的值最小？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．
27．(10分)如图,已知二次函数y=−8x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C,与y轴交于点B,直线y=4x+3经过A、B两点． (1)求b、c的值．
(2)若点P是直线AB上方抛物线上的一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线AB于点D,求线段PD的最大值．
(3)在(2)的结论下,连接CD,点Q是抛物线对称轴上的一动点,在抛物线上是否存在点G,使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点G的坐标；若不存在,请说明理由．
3
3
28．(10分)如图,已知△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝3,D是射线AB上一点,作△BCD的外接圆⊙O,CE是⊙O的直径,连接DE、BE．
(1)若点D在AB边上,求∠DCE的度数； (2)若△ACD与△BDE全等,求AD的长； (3)若AD=√2,求⊙O的半径r的值．
参考答案
一．选择题(共8小题,满分16分,每小题2分) 1．(2分)﹣4的倒数是( ) A．
41
B．−
14C．4 D．﹣4
【分析】乘积是1的两数互为倒数． 【解答】解：﹣4的倒数是−． 故选：B．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义,熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2．(2分)下列运算正确的是( ) A．3a×2a＝6a C．(𝑎3)2=𝑎9
131914B．a8÷a4＝a2 D．﹣3(a﹣1)＝3﹣3a
【分析】分别根据积的乘方法则、单项式乘以多项式、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答． 【解答】解：A、3a×2a＝6a2,选项错误； B、a8÷a4＝a4,选项错误； C、(3𝑎3)2=9𝑎6,选项错误； D、﹣3(a﹣1)＝3﹣3a,选项正确； 故选：D．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法与除法,单项式乘以多项式及积的乘方法则,熟知以上知识是解答此题的关键．
3．(2分)甲,乙,丙,丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数𝑥(秒)及方差S2如下表所示．若选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛,则应选的同学是( )
𝑥 s2
A．甲
甲 7 0.45 B．乙
乙 7 0.2 C．丙
丙 7.5 0.2 D．丁
丁 7.5 0.45
1
1
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小；反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好．
【解答】解：∵乙的平均分最好,方差最小,最稳定, ∴应选的同学是乙． 故选：B．
【点评】本题考查了方差,正确理解方差的意义是解题的关键．
4．(2分)小刘下午5点30分放学匀速步行回家,途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花,6点20分到家,已知小刘家距学校3千米,下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S(千米)与离校的时间t(分钟)之的关系的是( )
A． B．
C． D．
【分析】根据小刘家距学校3千米,小刘离学校的距离随着时间的增大而增大确定合适的函数图象即可． 【解答】解：∵小刘家距学校3千米, ∴离校的距离随着时间的增大而增大, ∵路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花,
∴中间有一段离家的距离不再增大,离校50分钟后离校的距离最大,即3千米． 综合以上C符合, 故选：C．
【点评】本题考查了函数图象,比较简单,了解横、纵坐标分别表示什么是解题的关键 5．(2分)如图,AB∥CD,∠BAE＝120°,∠DCE＝30°,则∠AEC＝( )度．
A．70
B．150
C．90
D．100
【分析】延长AE交CD于点F,根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAE+∠EFC＝180°,已知∠BAE的度数,不难求得∠EFC的度数,再根据三角形的外角的性质即可求得∠AEC的度数．
【解答】解：如图,延长AE交CD于点F, ∵AB∥CD,
∴∠BAE+∠EFC＝180°, 又∵∠BAE＝120°,
∴∠EFC＝180°﹣∠BAE＝180°﹣120°＝60°, 又∵∠DCE＝30°,
∴∠AEC＝∠DCE+∠EFC＝30°+60°＝90°． 故选：C．
【点评】此题主要考查学生对平行线的性质及三角形的外角性质的综合运用,注意辅助线的添加方法． 6．(2分)如图,△ABC内接于⊙O,AD为⊙O的直径,交BC于点E,若DE＝2,OE＝3,则tanC•tanB＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】由DE＝2,OE＝3可知AO＝OD＝OE+ED＝5,可得AE＝8,连接BD、CD,可证∠B＝∠ADC,∠C＝∠ADB,∠DBA＝∠DCA＝90°,将tanC,tanB在直角三角形中用线段的比表示,再利用相似转化为已知线段
𝐴𝐸𝐷𝐸
的比．
【解答】解：连接BD、CD,由圆周角定理可知∠B＝∠ADC,∠C＝∠ADB, ∴△ABE∽△CDE,△ACE∽△BDE, ∴
𝐴𝐵𝐶𝐷
=
𝐵𝐸𝐷𝐸
=
𝐴𝐸𝐴𝐶𝐶𝐸𝐵𝐷
,=
𝐶𝐸𝐷𝐸
=
𝐴𝐸𝐵𝐸
,
由AD为直径可知∠DBA＝∠DCA＝90°, ∵DE＝2,OE＝3,
∴AO＝OD＝OE+ED＝5,AE＝8,
tanC•tanB＝tan∠ADB•tan∠ADC=𝐵𝐷⋅𝐶𝐷=𝐷𝐸⋅𝐷𝐸=𝐶𝐷⋅𝐵𝐷=𝐶𝐸⋅𝐷𝐸=𝐷𝐸=2=4．
𝐴𝐵𝐴𝐶
𝐵𝐸𝐶𝐸
𝐴𝐵𝐴𝐶
𝐴𝐸𝐶𝐸
𝐴𝐸
8
故选：C．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义,或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值．
7．(2分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD四个顶点的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣1,﹣1,),C(3,﹣1),D(3,2),当双曲线y=𝑥(k＞0)与矩形有四个交点时,k的取值范围是( )
𝑘
A．0＜k＜2
B．1＜k＜4
C．k＞1
𝑘𝑥D．0＜k＜1
【分析】根据反比例函数的对称性,双曲线y=(k＞0)与矩形有四个交点,只要反比例函数在第四三象限的图象与矩形有2个交点即可,根据点B的坐标,可求出k的取值范围．
【解答】解：根据反比例函数的对称性,双曲线y=𝑥(k＞0)与矩形有四个交点,只要反比例函数在第三象限的图象与矩形有2个交点即可,
当反比例函数过点B(﹣1,﹣1)时,此时k＝1,反比例函数图象与矩形有三个交点, 当反比例函数图象与AB有交点时,则当x＝﹣1时,y＝﹣k＞﹣1,即k＜1； 当反比例函数图象与BC有交点时,则当y＝﹣1时,x＝﹣k＞﹣1,即k＜1； 又∵k＞0, ∴0＜k＜1, 故选：D．
【点评】考查反比例函数的图象和性质,反比例函数图象上点的坐标特征,理解反比例函数的对称性是解决
𝑘
问题的关键．
8．(2分)如图,在平面直角坐标系中,点A(1,2)、点B(4,2)在半径为√3的⊙M上,P为⊙M上一动点,D为x轴上一定点,PD⊥DC,且∠DPC＝30°,当点P从A点逆时针运动到B点时,C点的运动路径长是( )
A．π
32
B．
2
√3π 3
C．2π D．π
3
1
【分析】如图,连接MA,MB,AB,作MJ⊥AB于J,连接PM,DM,作DT⊥DM,使得∠DMT＝30°,连接MT．证明点C的运动轨迹是以T为圆心,CT为半径的弧,圆心角为120°即可解决问题．
【解答】解：如图,连接MA,MB,AB,作MJ⊥AB于J,连接PM,DM,作DT⊥DM,连接MT,使得∠DMT＝30°．
∵MA＝MB=√3,MJ⊥AB, ∴AJ＝JB=, ∴cos∠MAJ=𝐴𝑀=2, ∴∠MAB＝30°,
∴∠MBA＝∠MAB＝30°,∠AMB＝180°﹣2×30°＝120°, ∵∠PDC＝∠MDT＝90°,∠DPC＝∠DMT＝30°, ∴PD=√3DC,DM=√3DT,∠PDM＝∠TDC, ∴
𝑃𝐷𝐷𝐶
𝐴𝐽
√33
2=
𝐷𝑀𝐷𝑇
, ∴△PDM∽△CDT, ∴
𝑃𝑀𝑇𝐶
=
𝑃𝐷𝐶𝐷
=
√3,
∵PM=√3, ∴TC＝1,
∴点C的运动轨迹是以T为圆心,CT为半径的弧,圆心角为120°, ∴点C的运动轨迹的长=故选：A．
【点评】本题考查轨迹,坐标与图形性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,弧长公式等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题． 二．填空题(共10小题,满分20分,每小题2分) 9．(2分)计算√20×√5的结果是 2 ．
【分析】利用二次根式的乘法公式,直接计算即可． 【解答】解：原式=√20×故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的乘法,题目比较简单,掌握√𝑎×√𝑏=√𝑎𝑏是解决本题的关键． 10．(2分)如果10m＝12,10n＝3,那么10m+n＝ 36 ． 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 【解答】解：10m+n＝10m•10n＝12×3＝36． 故答案为：36．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方,掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题的关键． 11．(2分)把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 a(x﹣2)2 ． 【分析】直接提取公因式a,进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：ax2﹣4ax+4a ＝a(x2﹣4x+4) ＝a(x﹣2)2． 故答案为：a(x﹣2)2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键．
12．(2分)人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米,96000千米用科学记数法表示为 9.6×107 米． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时,n是正整数；当原数的绝对值＜1时,n是负整数．
【解答】解：96000千米＝96000000＝9.6×107(米)． 故答案为：9.6×107．
1=4=2． 5√
1
120⋅𝜋⋅12
=3π, 180【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．(2分)已知点A(a,2),B(3,b)关于y轴对称：则ab＝ ﹣6 ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数,纵坐标不变可得a、b的值,进而可得答案．
【解答】解：∵点A(a,2),B(3,b)关于y轴对称, ∴a＝﹣3,b＝2, ∴ab＝﹣6, 故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标,关键是掌握点的坐标的变化规律． 14．(2分)已知：x+4y+z＝9,x﹣2y+z＝2,则2xy+2yz﹣xz＝
2
2
2
52 ．
52
【分析】由等式的性质,提取公因式法,待定系数法求得代数式的值为． 【解答】解：∵x﹣2y+z＝2 x+z＝2+2y (x+z)2＝(2+2y)2 x2+z2+2xz＝4y2+4y+4 x2+z2＝4y2+8y﹣2xz+4…① x2+4y2+z2＝9 x2+z2＝9﹣4y2…② ∴由①、②两式得： 4y2+8y﹣2xz+4＝9﹣4y2 化简得： 4y2+4y﹣xz= 2𝑦(2𝑦+2)−𝑥𝑧=, 所求代数式为： 2xy+2yz﹣xz ＝2y(x+z)﹣xz ＝2y(2y+2)﹣xz
5252=, 故答案为．
25
52【点评】本题综合考查了等式的性质,提取公因式法,待定系数法等知识,重点掌握因式分解的应用． 15．(2分)给一个圆锥形零件的侧面涂漆,零件的尺寸要求如图所示,则需要涂漆的面积为 72π cm2(结果保留π)．
【分析】根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长,圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【解答】解：圆锥的底面周长为12π,
∵圆锥的底面圆周长是侧面展开得到的扇形的弧长, ∴扇形的弧长为12π,
∴扇形的面积为×12π×12＝72π,
21
故答案为：72π．
【点评】本题考查的是圆锥的计算,正确理解圆锥与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键,要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．(2分)已知二次函数y＝4x2﹣mx+5,当x≤﹣2时,y随x的增大而减小；当x≥﹣2时,y随x的增大而增大,则当x＝1时,y的值为 25 ．
【分析】因为当x≤﹣2时,y随x的增大而减小；当x≥﹣2时,y随x的增大而增大,那么可知对称轴就是x＝﹣2,结合顶点公式法可求出m的值,从而得出函数的解析式,再把x＝1,可求出y的值． 【解答】解：∵当x≤﹣2时,y随x的增大而减小；当x≥﹣2时,y随x的增大而增大, ∴对称轴x=−
𝑏−𝑚=−=−2,解得m＝﹣16, 2𝑎8∴y＝4x2+16x+5,那么当x＝1时,函数y的值为25． 故答案为25．
【点评】本题考查了函数的性质,利用二次函数的增减性得出对称轴,从对称轴入手进行求解是关键． 17．(2分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一个动点,点F是CD边上一个动点,且AE＝CF,过点B作BG⊥EF于点G,连接AG,则AG长的最小值是 √10−√2 ．
【分析】设正方形的中心为O,可证EF经过O点．连接OB,取OB中点M,连接 MA,MG,则MA,MG为定长,利用两点之间线段最短解决问题即可．
【解答】解：设正方形的中心为O,可证EF经过O点．
连接OB,取OB中点M,连接 MA,MG,则MA,MG为定长,过点M作MH⊥AB于H．则MH＝BH＝1,AH＝3,
由勾股定理可得MA=√10,MG=2OB=√2, ∵AG≥AM﹣MG=√10−√2, 当A,M,G三点共线时,AG最小=√10−√2, 故答案为：√10−√2．
【点评】本题主要考查了正方形的性质,解直角三角形,直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键是求出AM,MG的值．
18．(2分)如图,经过原点O的直线与反比例函数y=𝑥(a＞0)的图象交于A,D两点(点A在第一象限),点B,C,E在反比例函数y=(b＜0)的图象上,AB∥y轴,AE∥CD∥x轴,五边形ABCDE的面积为56,四边形ABCD的面积为32,则a﹣b的值为 24 ,的值为 −3 ．
𝑎
𝑏
1
𝑏𝑥𝑎
1
【分析】如图,连接AC,OE,OC,OB,延长AB交DC的延长线于T,设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形,推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24,推出S△AOE＝S△DEO＝12,可得
12
a−b＝12,推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD,证明AD＝3BC,推出AT＝3BT,再证明AK＝3BK即可解决问
1
2题．
【解答】解：如图,连接AC,OE,OC,OB,延长AB交DC的延长线于T,设AB交x轴于K．
由题意A,D关于原点对称, ∴A,D的纵坐标的绝对值相等, ∵AE∥CD,
∴E,C的纵坐标的绝对值相等, ∵E,C在反比例函数y=𝑥的图象上, ∴E,C关于原点对称, ∴E,O,C共线,
∵OE＝OC,OA＝OD,∴四边形ACDE是平行四边形, ∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24, ∴S△AOE＝S△DEO＝12, ∴a−2b＝12, 2∴a﹣b＝24,
∵S△AOC＝S△AOB＝12,
1
1
𝑏
∴BC∥AD, ∴
𝐵𝐶𝐴𝐷
=
𝑇𝐵𝑇𝐴
,
∵S△ACB＝32﹣24＝8,
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1, ∴BC：AD＝1：3,
∴TB：TA＝1：3,设BT＝m,则AT＝3m,AK＝TK＝1.5m,BK＝0.5m, ∴AK：BK＝3：1, ∴
𝑆△𝐴𝑂𝐾𝑆△𝐵𝐾𝑂𝑎𝑏
=
1𝑎21−𝑏2=3,
13
∴=−3,即=−, 𝑎
𝑏
故答案为24,−3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,平行四边形的判定和性质,平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题(共10小题,满分84
分)
1
19．(6分)计算：|−√3|+(π﹣3)0−√3+3tan30°．
【分析】首先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|−√3|+(π﹣3)0−√3+3tan30° =√3+1−√3+3×3 ＝1+√3．
【点评】此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 20．(8分)(1)解方程组{𝑥−3
𝑥+1=5(𝑦+2)−2； 𝑦−12
=−26√32(𝑥−1)＜4
(2)解不等式组{2𝑥+1,并写出不等式组的最大整数解．
≤3+2𝑥3【分析】(1)整理后,运用代入消元法解即可；
(2)先分别解每个不等式,然后求公共部分,确定不等式组的解集． 【解答】解：(1)整理得{由得 x＝9+5y③,
把③代入②得,3(9+5y)﹣y＝﹣15, 解得y＝﹣3,
把y＝﹣3代入③,得 x＝﹣6． 𝑥=−6∴{． 𝑦=−32(𝑥−1)＜4①(2){2𝑥+1
≤3+2𝑥②3解不等式 ①得 x＜3． 解不等式 ②得 x≥﹣2． ∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3, ∴最大整数解为2．
【点评】本题考查二元一次方程组,不等式组等知识,解题的关键是熟练掌握解方程组的方法,掌握解不等式组的步骤,属于中考常考题型．
21．(8分)已知,如图,AB＝AD,∠B＝∠D,∠1＝∠2＝60°． (1)求证：△ADE≌△ABC； (2)求证：AE＝CE．
𝑥−5𝑦=9①,
3𝑥−𝑦=−15②
【分析】(1)证得∠DAB＝∠CAB,根据ASA即可得出△ABC≌△ADE； (2)由(1)可得AE＝AC,即可判定△AEC为等边三角形,即可得出答案． 【解答】(1)证明：∵∠1＝∠2, ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE, 即∠DAE＝∠BAC, 在△ABC和△ADE中,
{𝐴𝐵=𝐴𝐷∠𝐵=∠𝐷
∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸
,
∴△ABC≌△ADE(ASA)； (2)证明：由(1)得△ABC≌△ADE, ∴AE＝AC, ∵∠2＝60°,
∴△ACE是等边三角形, ∴AE＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(8分)近年以来,雾霾天气让环保和健康问题成为焦点,某校为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了多少名学生？ (2)通过计算补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中,B部分扇形所对应的圆心角的度数；
(4)若该校共有1200名学生,请你估计该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数．
【分析】(1)从两个统计图中可得A等级的有20人,占调查人数的10%,可求出调查人数； (2)求出D等级、B等级人数即可补全条形统计图； (3)B等级占调查人数的(4)求1200人的
30
30200
,因此相应的圆心角占360°的
30200
即可；
200
即可．
【解答】解：(1)20÷10%＝200(人),
答：本次调查共抽取了200人； (2)D等级人数：200×35%＝70(人), B等级人数：200﹣20﹣80﹣70＝30(人), 补全条形统计图如图所示：
(3)360°×
30
=54°, 200答：扇形统计图中,B部分扇形所对应的圆心角的度数为54°； (4)1200×200=180(人),
答：该校比较了解雾霾天气知识的学生的人数为180人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义,理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提． 23．(8分)在一个不透明的口袋中装有3个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,随机地摸出一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球． (1)两次摸出的小球的标号不同的概率为 2330
；
(2)求两次摸出小球的标号之积是3的倍数的概率(采用树形图或列表法) 【分析】(1)画出树状图,然后根据概率公式计算即可得解； (2)利用概率公式列式计算即可得解． 【解答】解：(1)根据题意画出树状图如下：
共有9种情况,两次摸出的小球的标号不同有6种, 所以,P(两次摸出的小球的标号不同)=9=3； (2)两次摸出小球的标号之积是3的倍数的情况有5种,
6
2
所以P(两次摸出小球的标号之积是3的倍数)=．
【点评】本题考查了列表法和树状图法,用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．(8分)有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍,且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天． (1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米？
(2)如果甲工程队每天需工程费7000元,乙工程队每天需工程费5000元,若甲队先单独工作若干天,再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务,支付工程队总费用不超过79000元,则两工程队最多可以合作施工多少天？
【分析】(1)设乙工程队每天完成x米,则甲工程队每天完成2x米,根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天,即可得出关于x的分式方程,解之即可得出结论；
(2)设甲队先单独工作y天,则甲乙两工程队还需合作
6000−600𝑦300+600
5
9=(
203
−y)天,根据总费用＝每天的费
3
2
用×工作时间结合支付工程队总费用不超过79000元,即可得出关于y的一元一次不等式,解之即可得出结论．
【解答】解：(1)设乙工程队每天完成x米,则甲工程队每天完成2x米, 依题意,得：
6000𝑥
−
60002𝑥
=10,
解得：x＝300,
经检验,x＝300是原方程的解,且符合题意, ∴2x＝600．
答：甲工程队每天完成600米,乙工程队每天完成300米． (2)设甲队先单独工作y天,则甲乙两工程队还需合作
20
2
20
2
6000−600𝑦300+600
=(
203
−y)天,
3
2
依题意,得：7000(y+3−3y)+5000(−y)≤79000,
33解得：y≥1, ∴
203
−y≤
3
2
202
−=6． 33答：两工程队最多可以合作施工6天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是：(1)找准等量关系,正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式．
25．(8分)某数学课题研究小组要测量兰山顶部信号塔的高度,甲同学站在距离山脚20m的A处测得山顶的
仰角为30°,测得塔顶D的仰角为60°,求塔高CD为多少？(√3取1.7,结果精确到0.1m)
【分析】根据正切的定义分别求出DB、CB,结合图形计算,得到答案． 【解答】解：在Rt△ABC中,tan∠CAB=∴BC＝AB•tan∠CAB＝20×3=在Rt△DAB中,tan∠DAB=𝐴𝐵, ∴DB＝ABtan∠DAB＝20×√3=20√3(m), ∴CD＝DB﹣BC＝20√3−
20√340√3=≈22.7(m) 33𝐷𝐵
√3𝐵𝐶
, 𝐴𝐵20√3(m), 3答：塔高CD约为22.7m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．(10分)如图,已知一次函数y=x﹣2与反比例函数y=的图象相交于点A(2,n),与x轴相交于点B． (1)求k的值以及点B的坐标；
(2)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P,使PA+PB的值最小？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．
5
2𝑘𝑥
【分析】(1)把A点坐标代入一次函数解析式可求得n,则可求得A点坐标,代入反比例函数解析式则可求得
k的值,最后根据y＝0可得点B的坐标
(2)根据两点的距离公式可得AB的长,由菱形的边长相等可得AD＝AB,根据AD与BC平行,可知A与D的纵坐标相等,由此可得D的坐标；
(3)作点B(,0)关于y轴的对称点Q的坐标为(−5,0),连接AQ交y轴的交点为P,求出AQ解析式即可求解．
54
4
【解答】解：(1)把点A(2,n)代入一次函数y=2x﹣2, 可得n=
5
×2−2＝3； 2𝑘
5
把点A(2,3)代入反比例函数y=𝑥, 可得k＝xy＝2×3＝6,
∵一次函数y=x﹣2与x轴相交于点B, ∴x﹣2＝0,
25
52解得x=5,
∴点B的坐标为(,0)；
54
4
(2)∵点A(2,3),B(,0), 5
4
∴AB=√(2−)2+(3−0)2=√∵四边形ABCD是菱形, ∴AD＝AB=
3√29,AD∥BC, 5452613√29=, 255∵点C在x轴正半轴上,点D在第一象限, ∴D(2+5,3)； (3)存在,
3√29
如图,作点B(,0)关于y轴的对称点Q的坐标为(−,0),连接AQ交y轴于点P,此时PA+PB的值最小,
5
4
45设直线AQ的解析式为：y＝kx+b,
15
4𝑘=
14, 则{−5𝑘+𝑏=0,解得：{
6
2𝑘+𝑏=3𝑏=
7∴直线AQ的关系式为y=14x+7, ∴直线AQ与y轴的交点为P(0,)．
76
156
【点评】本题为反比例函数的综合应用,涉及待定系数法、函数图象的交点、菱形的性质和数形结合思想等知识,利用数形结合思想解决问题是本题的关键,综合性较强,难度适中．
27．(10分)如图,已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C,与y轴交于点B,直线y=x+3经过A、B两点． (1)求b、c的值．
(2)若点P是直线AB上方抛物线上的一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线AB于点D,求线段PD的最大值．
(3)在(2)的结论下,连接CD,点Q是抛物线对称轴上的一动点,在抛物线上是否存在点G,使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点G的坐标；若不存在,请说明理由．
3834
【分析】(1)由直线AB的解析式可求出点A,B的坐标,将A,B两点的坐标代入y=−8x2+bx+c可得出答案；
332333
(2)设点P(m,−𝑚−m+3),则D(m,m+3),可得出PD=−𝑚2−m,由二次函数的性质可得出答案；
84824
3
(3)分类讨论,一是当CD为平行四边形对角线时,二是当CD为平行四边形一边时,利用中点坐标公式及平移规律即可求出点G的坐标．
【解答】解：(1)∵直线y=4x+3经过A、B两点． ∴当x＝0时,y＝3,当y＝0时,x＝﹣4,
∴直线y=4x+3与坐标轴的交点坐标为A(﹣4,0),B(0,3)．
3
3
分别将x＝0,y＝3,x＝﹣4,y＝0代入y=−x2+bx+c得,{解得,b=−,c＝3, (2)由(1)得y=−8x2−4x+3,
设点P(m,−8𝑚2−4m+3),则D(m,m+3),
4
3
3
3
3
3
3438𝑐=3
0=−×(−4)2−4𝑏+𝑐
38,
∴PD=−8𝑚2−4𝑚+3−(4𝑚+3)=−8𝑚2−2𝑚=−8(𝑚+2)2+2, ∴当m＝﹣2时,PD最大,最大值是．
23
3333333
(3)存在点G,使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形,G点的坐标为(1,8)或(3,−8)或(−5,−8)； ∵y=−x2−x+3, ∴y＝0时,x＝﹣4或x＝2, ∴C(2,0),
由(2)可知D(﹣2,),抛物线的对称轴为x＝﹣1,
23
3
834152121
设G(n,−8𝑛2−4n+3),Q(﹣1,p),CD与y轴交于点E,E为CD的中点, ①当CD为对角线时, n+(﹣1)＝0, ∴n＝1, 此时G(1,
158
33
)．
②当CD为边时,
若点G在点Q上边,则n+4＝﹣1,则n＝﹣5,此时点G的坐标为(﹣5,−8)． 若点G在点Q上边,则﹣1+4＝n,则n＝3,此时点G的坐标为(3,−8)．
综合以上可得使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形的G点的坐标为(1,(−5,−8)；
【点评】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的判定和性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．(10分)如图,已知△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝3,D是射线AB上一点,作△BCD的外接圆⊙O,CE是⊙O的直径,连接DE、BE．
21
1521
)或(3,−)或8821
21
(1)若点D在AB边上,求∠DCE的度数； (2)若△ACD与△BDE全等,求AD的长； (3)若AD=√2,求⊙O的半径r的值．
【分析】(1)由圆周角可得∠CDE＝90°,∠CBD＝∠CED＝45°,即可求解； (2)由勾股定理可求AB的长,由全等三角形的性质可得BD＝AC＝4,即可求解； (3)过点E作EF⊥BD于F,通过证明△DEF∽△CEB,则解．
【解答】解：(1)∵△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝3, ∴∠CAB＝∠CBA＝45°, ∵CE是⊙O的直径, ∴∠CDE＝90°＝∠CBE, ∵∠CBD＝∠CED＝45°, ∴∠DCE＝45°；
(2)∵△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝3, ∴AB＝3√2,
∵∠DCE＝∠DEC＝45°, ∴DC＝DE,
∵△ACD与△BDE全等,且CD＝DE,∠CAB＝∠DBE＝∠DCE＝45°, ∴BD＝AC＝3,
∴AD＝AB﹣BD＝3√2−3,
当点D在线段AB的延长线上时,同理可求AD＝AB+BD＝3√2+3； (3)如图,过点E作EF⊥BD于F,
𝐸𝐹𝐵𝐸
=
𝐷𝐹𝐵𝐶
,可得BF=
√22,由勾股定理可求EC,即可求
∵AB＝3√2,AD=√2, ∴BD＝2√2, ∵EF⊥BD,∠DBE＝45°, ∴∠FEB＝45°＝∠DBE, ∴EF＝BF,BE=√2EF,
∵∠BDE＝∠BCE,∠EFD＝∠EBC＝90°, ∴△DEF∽△CEB, ∴即𝐸𝐹𝐵𝐸1√2==
𝐷𝐹𝐵𝐶
, ,解得：BF=2, √22√2−𝐵𝐹3
∴BE=√2BF＝1,
∴CE=√𝐵𝐶2+𝐵𝐸2=√32+1=√10, ∴OE＝CO=
√102, √10． 2
∴⊙O的半径r的值为
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心,圆的有关知识,全等三角形的性质,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质等知识,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
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