正弦型函数的图像和性质(教学设计)

教学目标：使学生掌握正弦型函数的图像及其性质，掌握图像

的变化规律。

重点：掌握正弦型函数的图像及其性质，掌握图像的变化规律。

难点：正弦型函数图像的变化规律。 1．A,,的物理意义

当yAsin(x)，x[0,)（其中A0，0）表示一个振动量时，

A表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振

2动一次需要的时间T称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数

1，称为振动的频率。x称为相位，x0时的相位称为初相。 fT22．图象的变换

例 ： 画出函数y3sin(2x

解：函数的周期为T3)的简图。

2先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简，

2图，再左右拓展即可，先用五点法画图： x 3  62x0 0  122  3 0 7 123 25 62 3sin(2x) 3

3 3 0 y

y3sin(2x)

3 3O  6ysinx 

53

2

ysin(xysin(2x)

3x 3)

函数y3sin(2x3)的图象可看作由下面的方法得到的：

个单位，得到ysin(x)的图象上；

331②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到ysin(2x)的图象；③再把

32图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到y3sin(2x)的图象。

3 一般地，函数yAsin(x)，xR的图象（其中A0，0）的图

①ysinx图象上所有点向左平移

象，可看作由下面的方法得到：

①把正弦曲线上所有点向左（当0时）或向右（当0时）平行移动||个单位长度；

②再把所得各点横坐标缩短（当1时）或伸长（当01时）到原来的

1倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当0A1时）到原来的A倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？

∵y3sin(2x)3sin2(x)，所以，函数y3sin(2x)的图象还

3631，得到函数ysin2x的图2可看作由下面的方法得到的：

①ysinx图象上所点的横坐标缩短到原来的

象；

②再把函数ysin2x图象上所有点向左平移

个单位，得到函数6ysin2(x)的图象；

6

③再把函数ysin2(x)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到

6y3sin2(x)的图象。

6

3.实际应用

例1：已知函数yAsin(x)（A0，0）一个周期内的函数图象，

如下图

所示，求函数的一个解析式。

解：由图知：函数最大值为3，最小值为3，

又∵A0，∴A 由图知

3， y 3 T5 26322∴T，∴2，

5 157又∵(， )6236127 ∴图象上最高点为(,3)，

3 12772∴33sin(2， )，即sin()1，可取12632所以，函数的一个解析式为y3sin(2x)．

32．由已知条件求解析式 例2： 已知函数yAcos(x)（A0，0，0）的最小值

5是5， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点(0,)，

24O

 3x

求这个函数的解析式。

解：由题意：A5，

T2， ， ∴T242∴4， ∴y5cos(4x)，

551又∵图象经过点(0,)， ∴5cos， 即cos，

2222又∵0， ∴，

32)． 所以，函数的解析式为y5cos(4x3例3：已知函数yAsin(x)B（A0，0，||）的最大值

为22，

最小值为2，周期为式。

22)，求这个函数的解析，且图象过点(0,4332AAB222，

解：B2AB2222 又∵T， ∴3， 3322sin(3x) ∴y， 222)， 又∵图象过点(0,423221sin∴， ∴sin， 42225又∵||，∴或，

66所以，函数解析式为y3223252sin(3x)sin(3x)或y． 262262五、小结：

1．函数yAsin(x)与ysinx的图象间的关系。 2．由已知函数图象求解析式； 3．由已知条件求解析式。

六、作业：

)的图象可由函数ysinx的图象经过怎样的变换得到？ 2（2）函数y3cos(2x)的图象可由函数ycosx的图象经过怎样的变换得

（1）函数ysin(2x4到？

（3）将函数ysinx的图象上所有的点 得到ysin(x)的图象，再将

31ysin(x) 的图象上的所有点 可得到函数

2311ysin(x)的图象。

223（4）由函数y2sin(3x2)的图象怎样得到ysinx的图象

2，最3（5）已知函数yAsin(x)（A0，0，||）的周期是

小值是2，且图象过点(5,0)，求这个函数的解析式； 9（6）函数yAsin(x)（A0，0，||2）的最小值是2，其图

象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式。

（7）如图为函数yAsin(x)（||求它的解析式。

2，xR）的图象中的一段，根据图象

y 2–

1–

O

1– 2–

1 3

5

x