指数函数经典例题及课后习题

指数函数经典例题及课后习题(总

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指数函数及其基本性质

指数函数的定义

一般地，函数yaxa0且a1叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 问题：指数函数定义中，为什么规定“a0且a1”如果不这样规定会出现什么情况 (1)若a<0会有什么问题（如a2,x1则在实数范围内相应的函数值不存在） 2(2)若a=0会有什么问题（对于x0,ax无意义）

(3)若 a=1又会怎么样（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a0且 a1.

指数函数的图像及性质

函数值的分布情况如下：

2

指数函数平移问题（引导学生作图理解）

用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=2的图象的关系x（作图略），

⑴y=2x1与y=2x2. ⑵y=2x1与y=2x2.

f(x)的图象

向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象; 向右平移a个单位得到f(x－a)的图象; 向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象;向下平移a个单位得到f(x)－a的图象.

3

指数函数·经典例题解析

(重在解题方法)

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝312x(2)y＝2x21(3)y＝33x1

解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

∴值域是0≤y＜3．

及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）y2

（3）y4x2x11；

【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是

[ ]

A．a＜b＜1＜c＜d

B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c

D．c＜d＜1＜a＜b

1x42； （2）y()|x|；

3

解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．

及时演练

4

指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ).

【例3】比较大小：

(1)2、32、54、88、916的大小关系是：(2)0.645132()2121325．

49(3)

解(1)∵22，22，42，82，162，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，又13241＜＜＜＜，∴32＜88＜54＜916＜2．3859245132＞1，1＞()，2解 (3)借助数打桥，利用指数函数的单调性，，作函数y

358389解 (2)∵0.6∴0.645132＞()．21

＝，y2＝的图像如图2．6－3，取x＝，得

说明 如何比较两个幂的

大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与同底与同指数的特点，即为或，如例2中的(3)．

及时演练（1） 与 ( 2 )0.80.1与0.80.2

5

( 3 ) 与

（４）

3.52.1和

2.72.0

【例4】比较大小n1an与nan1(a＞0且a≠1，n＞1)．n1解ann1naa1n(n1)

1当0＜a＜1，∵n＞1，＞0，n(n1)＜1，∴n1an＜nan11当a＞1时，∵n＞1，＞0，n(n1)∴a∴a1n(n1)1n(n1)＞1，n1an＞nan1

【例５】已知函数f(x)＝a－

1

，若f(x)为奇函数，则a＝________. 2x＋1

【解析】 解法1：∵f(x)的定义域为R，又∵f(x)为奇函数， 11

∴f(0)＝0，即a－0＝0.∴a＝2.

2＋1解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 111

即a－－x＝x－a，解得a＝2.

2＋12＋11

【答案】 2

3x2－5x＋6【例6】求函数y＝()的单调区间及值域．4

3解 令u＝x2－5x＋6，则y＝()u是关于u的减函数，而u＝x2－5x455＋6在x∈(∞，]上是减函数，在x∈[，∞)上是增函数．∴函数22

3x2－5x＋655y＝()的单调增区间是(∞，]，单调减区间是[，∞)．4226

5211又∵u＝x－5x＋6＝(x)≥，2443u1函数y＝()，在u∈[，∞)上是减函数，4443x2－5x＋6108所以函数y＝()的值域是(0，]．43

2及时演练

1x1x【例7】求函数y＝()()＋1(x≥0)的单调区间及它的最大值．42111131解 y＝[()x]2()x1[()x]2，令u＝()x，∵x≥0，

22224211∴0＜u≤1，又∵u＝()x是x∈[0，＋∞)上的减函数，函数y＝(u)22231111在u∈(0，]上为减函数，在[，1)上是增函数．但由0＜()x≤422221111得x≥1，由≤()x≤1，得0≤x≤1，∴函数y＝()x()x＋1单调增

2242区间是[1，＋∞)，单调减区间[0，1]当x＝0时，函数y有最大值为1．

ax1【例8】已知f(x)＝x(a＞1)

a1(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；

(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R．

ax1ax1f(－x)＝xx＝－f(x)，

a1a1∴函数f(x)为奇函数．

ax11yy1(2)函数y＝x，∵y≠1，∴有ax＝＞0－1＜y＜1，

y11ya1即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)

axl1ax212(axlax2)＝xl1x21＝xl，∵a＞1，x1＜x2，ax1＜ax2，(ax1＋1)xaa(a1)(a21) (ax2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，故f(x)在R上为增函数．备选例题

1．比较下列各组数的大小：

7

（1）若 （2）若 （3）若 （4）若 （5）若

，比较 ，比较 ，比较

与 与 与 ，且 ，且

； ； ；

，比较a与b； ，比较a与b．

解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．

（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．

（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．

（4）应有

．从而

．因若 ，则 ．又 矛盾．

，故 ，这样 ．又因 ，故

，这与已知

（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且

，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．

小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．

,

2.已知(a22a5)3x(a22a5)1x，则x的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵a22a5(a1)24≥41，

∞)上是增函数， ∴函数y(a22a5)x在(∞，，∞ ∴3x1x，解得x．∴x的取值范围是．

14143. 解方程3x232x80．

8

解：原方程可化为9(3x)2803x90，令t3x(t0)，上述方程可化为9t280t90，解得

t9或t1（舍去），∴3x9，∴x2，经检验原方程的解是x2． 9 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 4. 为了得到函数y93x5的图象，可以把函数y3x的图象（ ）．

A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

分析：注意先将函数y93x5转化为t3x25，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵y93x53x25，∴把函数y3x的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单

位长度，可得到函数y93x5 的图象，故选（C）．

评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以

要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

5. 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值

1解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以t9，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即

3x=2时f(x)取最小值-24。

｜｜

5. 函数y＝ax(a>1)的图像是( )

分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1：(分类讨论)：

ax　　　　　(x0),去绝对值，可得y＝1x

(x0).()　　　　a又a>1，由指数函数图像易知，应选B. ｜｜

解法2：因为y＝ax是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝ax是增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数. ∴应选B.

指数函数练习题

一． 选择题：

1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）

A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个

9

2．在统一平面直角坐标系中，函数f(x)ax与g(x)ax的图像可能是（ ） yyyy 1 111 xoxoxooxDABC

3．设a,b,c,d都是不等于1的正数，yax,ybx,ycx,ydx在同一坐标系中的图像如图所示，

yxybycx则a,b,c,d的大小顺序是（ ）

yaxydxA.abcd B.abdc C.badc D.bacd

x

o4.若1x0，那么下列各不等式成立的是（ ） A.2x2x0.2x B.2x0.2x2x C.0.2x2x2x D.2x2x0.2x

5函数f(x)(a21)x在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）

A.a1 B.a2 C.a2 D.1a2 6．函数y1的值域是（ ） 2x1A.(,1) B.(,0)(0,) C.(1,) D.(,1)(0,)

ax17．当a1时，函数yx是（ ）

a1A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数

8．函数yax21.(a0且a1)的图像必经过点（ ）

A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0) D.(2,2)

9．若x0是方程2x1的解，则x0（ ） xA.(0.1,0.2) B.(0.3,0.4) C.(0.5,0.7) D.(0.9,1)

10．某厂1998年的产值为a万元，预计产值每年以n％递增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（ ）

10A.a(1n％)13 B.a(1n％)12 C.a(1n％)11 D.(1n％)12

9二． 填空题： 1．

35已知f(x)是指数函数，且f()，则f(3)

22510

2． 3． 4． 5．

设0a1，使不等式ax22x1ax23x5成立的x的集合是

11若方程()x()xa0有正数解，则实数a的取值范围是

42函数y(3x1)082x的定义域为 函数y2x2x的单调递增区间为

12三、解答题：

1．设0x2，求函数y4

2函数f(x)ax(a0且a1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大

a•2xa2,(xR)试确定a的值，使f(x)为奇函数。 3．设aR，f(x)x21a，求a的值。 2x3•2x5的最大值和最小值。

11

124．已知函数y()x6x17 （1）求函数的定义域及值域；

2（2）确定函数的单调区间。

11)x3 （1）求函数的定义域； 5．已知函数f(x)(x212（2）讨论函数的奇偶性； （3）证明：f(x)0

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