初三二次函数最后一题答案

初三二次函数最后一题答案

二次函数综合题型精讲精练

题型一：二次函数中的最值问题

例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得

解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0所以解析式为y=﹣x2+x． （2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM

∴OM+AM=BM+AM

连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小 过点A作AN⊥x轴于点N， 在Rt△ABN中，AB=因此OM+AM最小值为

=．

=4，

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方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。

A A

B B M

或者 M A’ B’ 例2：如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

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，解得

；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．

已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN×OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为

．

（0＜m＜3）；

方法提炼：因为△BNC的面积不好直接求，将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。然后将△BNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。

题型二：二次函数与三角形的综合问题

例3：如图，已知：直线yx3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线yx3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

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解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）

∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组

a19a3bc0c3 解得：b4 c3abc0∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示， 若△ABO∽△AP1D，则

AOOB ADDP1∴DP1=AD=4 , ∴P1(-1,4)

若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4,

∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M， 即点M与点C重合 ∴P2（1，2） （3）如图设点E (x,y)，则

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SADE1AD|y|2|y| 2①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE

11242|y| 22 = 4+y

∴2y=4+y ∴y=4 ∵点E在x轴下方 ∴y=-4

代入得： x2-4x+3=-4,即 x24x70 ∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解

②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = 2+y ∴2y=2+y ∴y=2

∵点E在x轴下方 ∴y=-2 代入得：x2-4x+3=-2 即 x24x50，∵△=(-4)2-4×5=-4<0 ∴此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。

方法提炼：①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。

例4：如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

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（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

解析：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOC=60°， 又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×∴点B的坐标为（﹣2，﹣2

）；

=2

，

（2）∵抛物线过原点O和点A．B， ∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A（4，0），B（﹣2．﹣2

）代入，得

， 解得

∴此抛物线的解析式为y=﹣（3）存在，

， x2+

x

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）， ①若OB=OP， 则22+|y|2=42，

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解得y=±2当y=2

，

=

，

时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即P、O、B三点在同一直线上， ∴y=2

不符合题意，舍去，

） |2=42，

∴点P的坐标为（2，﹣2②若OB=PB，则42+|y+2解得y=﹣2

，

故点P的坐标为（2，﹣2），

|2，

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2解得y=﹣2

，

），

故点P的坐标为（2，﹣2

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2

），

方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。

题型三：二次函数与四边形的综合问题

例5：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标；

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（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

解析：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3． ∵点A在点B的左侧，

∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）． 当x=0时，y=3． ∴C点的坐标为（0，3）

设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0）， 则

， 解得

，

∴直线AC的解析式为y=3x+3． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4）． （2）抛物线上有三个这样的点Q，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）； ②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3， 代入抛物线可得点Q2坐标为（1+

，﹣3）；

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③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3， 代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣综上可得满足题意的点Q有三个，分别为： Q1（2，3），Q2（1+

，﹣3），Q3（1﹣

，﹣3）． ，﹣3）；

（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点． 连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求， 过点B′作B′E⊥x轴于点E． ∵∠1和∠2都是∠3的余角，

∴∠1=∠2． ∴Rt△AOC～Rt△AFB， ∴

，

由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3， ∴AC=∴∴BF=

，AB=4． ， ，

，

∴BB′=2BF=

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB， ∴∴

， ，即

．

∴B′E=，BE=， ﹣3=，

． ）．

∴OE=BE﹣OB=

∴B′点的坐标为（﹣

设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．

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∴

， 解得

x+

， ，

∴直线B'D的解析式为：y=

联立B'D与AC的直线解析式可得：∴M点的坐标为（

，

）．

， 解得，

方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。 题型四：二次函数与圆的综合问题

例6：如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线

y32xbxc过A、B两点． 3（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；

（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

解析：（1）如答图1，连接OB． ∵BC=2，OC=1 ∴OB=413 ∴B（0，3）

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将A（3，0），B（0，3）代入二次函数的表达式

32393bc0b得3 ，解得：3 ，

c3c3∴y3223xx3． 33（2）存在．

如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的点P．

∵B（0，3），O（0，0）， ∴直线l的表达式为y3．代入抛物线的表达式， 2交点即为

得y32233xx3； 33210， 2解得x1∴P（1103，）． 22（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H． 设M（xm，ym ），

111则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB

222111=(ym3)xm(3xm)ym33 222=333xmym3 222∵ym3223xmxm3， 33

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∴SΔMAB=33322333xm(xmxm3) 2233232333393xmxm(xm)2 22228∴当xm393时，SΔMAB取得最大值，最大值为． 28题型五：二次函数中的证明问题 例8：如图11，已知二次函数y点A(-4，3），B(4，4). （1）求二次函数的解析式： （2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）将A(-4，3），B(4，4)代人y1(x2)(axb)中，整理得： 481(x2)(axb)的图像过484a-b72a13  解得

4ab32b-20 ∴二次函数的解析式为：y1315 整理得： x 2 y  x-48861(x2)(13x-20) ， 48

13215xx-0208 613x26x-400x12,x2 （2）由 48 整理

1320（，0） ∴C （-2，0） D 13 从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65

∴ AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形

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1315 （3）设p(x，x2x-) （X<0）

4886201315 PH=x2x- HD=-x AC=13 BC=213

134886PHHD ①当△PHD∽△ACB时有： ACBC1321520xx--x13251258613xx-0 即：48 整理 2443913213352050 x2（舍去）此时，y1

1313135035 ∴ p1(-，）

1313DHPH ②当△DHP∽△ACB时有： ACBC ∴x1-2013215-xxx-134886 整理 13x217x-3050 即：488781321328420122y1 ∴ x1- x2（舍去）此时，13

1313 ∴ p2(-122284，） 13135035122284，），） p2(- 13131313 综上所述，满足条件的点有两个即p1(-题型六：自变量取值范围问题

例10：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．

（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式； （2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，

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P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

解析：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=； Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3； OA=AD﹣OD=2，即：

A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得： 2×（﹣3）a=4，a=﹣； ∴抛物线：y=﹣x2+x+4．

（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣； 由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：

，解得：，；

由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5． （3）∵S△APE=AE•h，

∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大； 若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；

设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，

﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0； 求得：b=

，即直线L：y=﹣x+；

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可得点P（，）． 由（2）得：E（5，﹣则点F（

），则直线PE：y=﹣

；

×（

+）=

．

．

x+9；

，0），AF=OA+OF=

∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=×

综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为题型七：二次函数实际应用问题

例11：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 解析：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100） =﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800； （2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800， 解这个方程得x1=25，x2=43 所以，销售单价定为25元或43元，

将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，

因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元； （3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，

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当25≤x≤43时z≥350， 又由限价32元，得25≤x≤32，

根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，

∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）， 因此，所求每月最低制造成本为648万元．

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