函数与方程、零点

一、考点聚焦

1．函数零点的概念

对于函数yf(x)(xD)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点，注意以下几点：

（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。 （2）函数的零点也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标。 （3）一般我们只讨论函数的实数零点。 （4）求零点就是求方程f(x)0的实数根。 2、函数零点的判断

如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在x0(a,b)，使得f(x0)0，这个x0也就是方程f(x)0的根。

但要注意：如果函数yf(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)f(b)0.

3．函数零点与方程的根的关系

根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程f(x)0，所得实数根就是f(x)的零点。 4．函数零点具有的性质

注意：①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程f(x)0没有实数根，则函数f(x)没有零点。

5、二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步副近零点，进而得到零点近似值的方法。

用二分法求函数零点近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在的区间。

6．用二分法求函数零点的近似值的探究

在应用二分法求函数的变号零点的近似值x0时，从精确度出发，确定需经过多次取区间[a,b]的中点找到零点的近似值，使其达到精确度的要求。

注意：这里指的精确度是指区间[a,b]的长度。

二、点击考点

［考题1］若一次函数f(x)axb有一个零点2，则二次函数g(x)bx2ax的零点是

。

［考题2］求函数yx37x6的零点。

［考题3］若方程axxa0有两个根，则a的取值范围是（ ） A．(1) C．(0,) ［考题

B．(0,1) D．

4］无论m取哪个实数值，函数

3y{x23x2}m(x)的零点个数都是（ ）

2A．1 B．2 C．3 D．不确定 ［考点

5］设函数

x2bxc,x0,f(x)3,x0,若

则函数yf(x)x的零点的个数为（ ） f(4)f(0),f(2)2，

A．1

B．2

C．3

D．4

［考点6］已知a2，且函数f(x)13xax21在区间(0,2)31上是减函数，则方程x3ax210在区间(0,2)上的实根个数为（ ）

3A．0

B．1

C．2

D．3

［考题7］函数f(x)lnxA．(1,2) 故选B。

2的零点所在的大致区间是（ ） x1B．(2,3) C．(1,)和(3,4) D．(e,)

e［考题9］已知yx(x1)(x1)的图象如图所示，因考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，则方程式f(x)0（ ）

A．有三个实根

B．当x1时，恰有一实根 C．当1x0时，恰有一实根 D．当x1时，恰有一实根

三、夯实双基

1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）

2．已知函数f(x)x2mxm2，则f(x)（ ） A．有一个零点

2 21.45

B．有两个零点 D．无零点 3 －7.82 C．4个

4 11.57

5 53.76 D．5个

6 －126.49 C．有一个或两个零点

3．已知函数f(x)的图象是连续不间断的，有如下的x,f(x)对应值表（ ） x f(x) A．2个

1 123.56 函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有（ ）

B．3个

4．下列方程在区间(0,1)内存在实数解的是（ ） A．x2x10 C．x210

B．x2x30 D．x21x0 25．下面关于二分法的叙述正确的是（ ） A．用二分法可求函数的所有零点近似解

B．用二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一位数字 C．二分法根本无规律可循，无法在计算机上进行 D．只在求函数的零点时，才用二分法

6．若函数f(x)的图象是连续不间断的，且f(0)0,f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是（ ）

A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点

B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点

7．函数f(x)x3x2x1在[0,2]上（ ） A．有三个零点

B．有两个零点

C．有一个零点

D．没有零点

8．已知方程2x15x，则该方程的解会落在区间（ ）内。 A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4)

9．二次函数f(x)ax2bxc的图象开口向下，对称轴为x1，在图象与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1(2,3)，则有（ ）

A．abc0

B．abc0

C．acb

D．3b2c

10．根据下表，能够判断方程f(x)g(x)有实数解的区间是

x f(x) g(x) 取值范围为

。

－1 －0.677 －0.530 0 3.011 3.451 1 5.432 4.890 2 5.980 5.241 3 7.651 6.892 11．关于x的方程x2(a21)xa20的两根x1,x2满足(x11)(x21)0，则a的

四、感悟高考

2．（理）已知函数f(x)ax22ax4(0a3).若x1x2,x1x21a，则（ ） A．f(x1)f(x2) C．f(x1)f(x2)

B．f(x1)f(x2)

D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定

3．设f(x)3ax22bxc，若abc0,f(0)0,f(1)0，求证： （1）a0且2b1； a（2）方程f(x)0在(0,1)内有两个实数。

4．三次方程x3x22x10在下列哪些连续整数之间有根？（ ） A．2与1之间 D．1与2之间

B．1与0之间 E．2与3之间

C．0与1之间

7．已知二次函数yf1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反比例函数yf2(x)的图象与直线yx的两个交点间的距离为8，f(x)f1(x)f2(x).

（1）求函数f(x)的表达式；

（2）证明：当a3时，关于x的方程f(x)f(a)有三个实数解. .

夯实双基参考答案：

1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．C 9．D 10．(0,1) 11．2a1

数学1（必修）函数的应用--综合训练B组

一、选择题

1。若函数yf(x)在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线， 则下列说法正确的是（ ）

A．若f(a)f(b)0，不存在实数c(a,b)使得f(c)0；

B．若f(a)f(b)0，存在且只存在一个实数c(a,b)使得f(c)0；

C．若f(a)f(b)0，有可能存在实数c(a,b)使得f(c)0； D．若f(a)f(b)0，有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)0； 2．方程lgxx0根的个数为（ ）

A．无穷多错误！未指定书签。 B．3 C．1 D．0 3．若x1是方程lgxx3的解，x2是10x3 的解， 则x1x2的值为（ ）

x321错误！未指定书签。 B． C．3 D．

323124．函数yx在区间[,2]上的最大值是（ ）

21A． B．1 C．4 D．4

4A．

5．设fx33x8,用二分法求方程33x80在x1,2

xx内近似解的过程中得f10,f1.50,f1.250, 则方程的根落在区间（ ） A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定

6．直线y3与函数yx6x的图象的交点个数为（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

7．若方程axa0有两个实数解，则a的取值范围是（ ） A．(1,) B．(0,1) C．(0,2) D．(0,)

x2二、填空题

1．1992年底世界人口达到54.8亿,若人口的年平均增长率为x%,2005年底世界人口

为y亿,那么y与x的函数关系式为 ． 2．yxa24a9是偶函数，且在(0,)是减函数，则整数a的值是 ．

x123．函数y(0.58)的定义域是 ．

4．已知函数f(x)x21，则函数f(x1)的零点是__________．

2m5．函数f(x)(mm1)x22m3是幂函数，且在x(0,)上是减函数，则实数m______.

三、解答题

1．利用函数图象判断下列方程有没有实数根，有几个实数根： ①x7x120；②lg(xx2)0； ③x3x10； ④3

3．证明函数f(x)

4．某电器公司生产A种型号的家庭电脑，并以纯利润2%1996年平均每台电脑的成本5000元，

标定出厂价.1997年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台电脑出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.

2000年的每台电脑成本；

3x122lnx0。

x2在[2,)上是增函数。

参考答案

一、选择题

1. C 2. C 3. D 4. C 5. B 6. A 7． A 二、填空题

1． y54.8(1x%) 2. 1,3,5或1 3. (3,) 4. 0,2

2mm115. 2 ，得m2

2m2m3013

数学1（必修）函数的应用--提高训练C组

一、选择题

1．函数yx3（ ）

A．是奇函数，且在R上是单调增函数 B．是奇函数，且在R上是单调减函数 C．是偶函数，且在R上是单调增函数 D．是偶函数，且在R上是单调减函数

2．已知alog20.3,b20.1,c0.21.3，则a,b,c的大小关系是（ ） A．abc B．cab C．acb D．bca

3．函数f(x)xx3的实数解落在的区间是( ) A．[0,1] B．[1,2] C．[2,3] D．[3,4]

4．在y2,ylog2x,yx,这三个函数中，当0x1x21时，

x25x1x2f(x1)f(x2)恒成立的函数的个数是（ ） )22A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

使f(5．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，

那么下列命题中正确的是（ ） A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间2,16内无零点 D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点

6．求f(x)2xx1零点的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4

3

7．若方程xx10在区间(a,b)(a,bZ,且ba1)上有一根，则ab的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

3二、填空题

1. 函数f(x)对一切实数x都满足f(x)f(x)，并且方程f(x)0有三个实根，则这三个实根的和为 。

22．若函数f(x)4xxa的零点个数为3，则a______。

12123．一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒。

4．函数yx与函数yxlnx在区间(0,)上增长较快的一个是 。 5．若x2，则x的取值范围是____________。 三、解答题 1．已知2256且log2xx2x2x1，求函数f(x)log2log222x的最大值和最小值． 2 2．建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数。

3．已知a0且a1，求使方程loga(xak)loga2(xa)有解时的k的取值范围。

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