点电荷场中的重力单摆及简谐振动

物理与工程Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．３　２０１５　夫学生囤地　点电荷场中的重力单摆及简谐振动　唐安琪　陈　钢　朱国斌　李成金　（苏州大学物理与光电能源学部，江苏苏州　２１５００６）　摘　要　单摆是力学中的最基本模型，点电荷电场是电学中的最基本模型．将带电小球单摆置　于点电荷电场中，带电小球既受到重力作用也受到点电荷电场的作用，由于点电荷电　场是非均匀场，带电小球在重力的均匀场和点电荷的非均匀电场中摆动．本文讨论了　带电小球做简谐振动的条件，发现在点电荷非均匀场中带电小球做小幅摆动仍可产生　简谐运动，给出简谐振动的周期，并指出其等效场的意义．　关键词　点电荷电场；单摆；简谐振动；等效　ＧＲＡＶＩＴＹ　ＰＥＮＤＵＬＵＭ　ＡＮＤ　ＨＡＲＭｏＮＩＣ　ＶＩＢＲＡＴＩｏＮ　ＩＮ　ＴＨＥ　ＦＩＥＬＤ　ｏＦ　ＰＯＩＮＴ　ＣＨＡＲＧＥ　Ｔａｎｇ　Ａｎｑｉ　Ｃｈｅｎ　Ｇａｎｇ　Ｚｈｕ　Ｇｕｏｂｉｎ　Ｌｉ　Ｃｈｅｎｇｊｉｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｏｐｔｏｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｎｅｒｇｙ，Ｓｏｏｃｈｏｗ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｕｚｈｏｕ，ｊｉａｎｇｓｕ　２１５００６）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｍｏｓｔ　ｂａｓｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｉｎ　ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｐｏｉｎｔ　ｃｈａｒｇｅ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｅｌｅｃｔｒｉｃｉｔｙ．Ｔｈｅ　ｃｈａｒｇｅｄ　ｂａｌｌ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｉｓ　ｐｌａｃｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｐｏｉｎｔ　ｃｈａｒｇｅ．Ｔｈｅ　ｃｈａｒｇｅｄ　ｓｍａｌｌ　ｂａｌｌ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ａｆｆｅｃｔｅｄ　ｂｙ　ｇｒａｖｉｔｙ　ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ａｆｆｅｃｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｐｏｉｎｔ　ｃｈａｒｇｅ．Ｂｅｃａｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｐｏｉｎｔ　ｃｈａｒｇｅ　ｉｓ　ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ　ｆｉｅｌｄ，ｔｈｅ　ｃｈａｒｇｅｄ　ｂａｌｌ　ｓｗｉｎｇｓ　ｉｎ　ａ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ　ｆｉｅｌｄ　ａｎｄ　ａ　ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ａ　ｐｏｉｎｔ　ｃｈａｒｇｅ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ，ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃｈａｒｇｅｄ　ｂａｌｌ，ｗｈｉｃｈ　ｓｔｉｌｌ　ｙｉｅｌｄｓ　ａ　ｓｉｍｐｌｅ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｍｏｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｐｏｉｎｔ　ｃｈａｒｇｅ　ｕｎｄｅｒ　ｄｕｒｉｎｇ　ａ　ｓｍａｌｌ　ＳＷｉｎｇ　ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｐｅｒｉｏｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｉｍｐｌｅ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ，ａｎｄ　ｓｉｇｎｉｆｉ—　ｃａｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｆｉｅｌｄ　ｉｓ　ｐｏｉｎｔｅｄ　ｏｕｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｐｏｉｎｔ　ｃｈａｒｇｅ；ｓｉｎｇｌｅ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ；ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　单摆的运动是均匀重力场中最基本的周期运　伸长的摆线ｚ悬挂于点０，小球在重力作用下的自　动形式，满足小幅摆动条件时单摆作简谐运动．点　然平衡位置为点Ａ．另有一个与电荷ｑ同性的　电荷是电学中最基本的模型，点电荷的电场是非均　点电荷Ｑ位于Ａ点竖直位置正上方Ｃ处，ＡＣ—ｈ　匀场，将点电荷的电场与重力场相叠加，使单摆小　（＾＞ｚ），小球在重力场与点电荷电场的叠加场作　球带电并置于由均匀重力场和非均匀点电荷电场　叠加而形成的复合场中，此时带电单摆的运动代表　用下作单摆运动．　了两种典型场叠加作用下的典型运动，本文讨论不　由图１，ＯＡ—ＯＢ—Ｚ；ＡＣ—ｈ，由于ｅ角很　同情况下在点电荷电场中重力单摆保持简谐运动　小，取ＯＰ上ＣＢ（见图１（ｂ）），可以求得　—的条件，并求出相应情况下简谐运动的周期．　ＣＥ—一　＋Ｚ（ｃｏｓ０—１）　１点电荷位于平衡位置的竖直方向　收稿日期：２０１４一１０—０９　基金项目：苏州大学２０１３年重点教改项目——基础物理“大班授　Ｉ．Ｉ　点电荷位于平衡位置的竖直方向上方　课Ｉ，Ｊ、班研讨，，新型教学模式的探索与实践；苏州大学２０１４年度　如图１所示，有荷质比为予的小球，用不可　唐２０安１４－琪３，　：　。　物理与工程Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．３　２０１５　、　、　、　（ａ）　（ｂ）　图ｉ带电单摆，点电荷Ｑ在单摆上方　一ＢＣ一　干２　下　（　Ｃ６ｉ　一ｈｌ一　ｃｏｓＯ）　一嚣・ｃｏ—　ｌｓｉｎ０（ｈ—Ｚ）　垒二　！　、　＝二＿　小球受到的电场力Ｆ一是　一是　小球受到的回复力是重力和电场力沿圆周切线的　分量，其大小为　，一　ｇ　ｎ　十走　ｓｉｎ　ｃＢｏ—　ｍｇｓｉｎＯ＋ＥｋＱｑｓｉｎＯ（ｈ－－ｚ）］／｛Ｅｈ　＋２ｌ　＋２（ｈｌｃｏｓＯ　一　ｚ—ｚ。ｃｏｓＯ）］Ｊｈ　＋２／　＋２（矗ｚｃｏｓ　一　ｚ—ｚ。ｃｏｓＯ）｝　显然，单摆在点电荷场中所受回复力为非线　性作用力，单摆的运动必然是复杂的非线性运动．　考虑单摆的小角度摆动，则有当０很小时ｃｏｓＯ≈　１，ｓｉｎＯ≈０，回复力可化简为　厂一（　＋　０　显然，回复力正比于角坐标０，单摆的非线性运动　在小角度条件下可近似为简谐运动，单摆的运动　方程为　＋（　＋　＼＼Ｊ　ｌＯ—ｏ　ｄｔ　＋（　。＼Ｚ　＋　　。　ｍｌｈ　。　一－　０一—ｏ　　与标准形式　ｄＯ２＋　ｚ０—０相比较丽　，求得简谐　振动圆频率　∞２一手＋　—　得简谐振动的周期　Ｔ一　一—＝＝　一　＝一一　垒　垒二　厂———　—一　√　（２）　由式（２）可知，在点电荷作用下的小幅摆动的　单摆运动为简谐振动，点电荷的作用等效于叠加　了场强为ｇｌ一　的重力场，叠加场增　ｍ　，０　大了原重力场强，叠加场强的大小与点电荷的位　置ｈ有关，当ｈ＝ｚ时，点电荷位于单摆的悬点位　置，叠加场强ｇ　：０，即点电荷对单摆的运动没有　影响，这是由于点电荷电场是以场源为中心的球　对称场，电场力沿球半径方向，当单摆的运动轨迹　恰在某一等势球面上，电场力沿单摆运动切线方　向没有分量，此种情况下叠加的点电荷电场力不　影响单摆的运动．　１．２点电荷位于平衡位置的竖直方向下方　如图２所示，当点电荷位于Ａ点下方Ｄ处，　一ｈ（　＞Ｚ），　可求得　一ＢＤ一　干　二　＿ｃＯ　二　一（　＋Ｚ）ｓｉｎＯ　ｓｉｎ￣ＤＢＧ一　ＢＤ　一　垒±　、　干　＿二二　丽　小球受到的回复力为　ｆ＝ｍｇｓｉｎ０一是皇ｓＢＤ　ｉｎ，￣ＤＢＧ—　ｍｇｓｉｎＯ－－［ｋＱｑｓｉｎＯ（ｈ＋１）］／｛［　＋２ｚ　＋２（ｈｌ－－　ｈｌｃｏｓＯ－－ｌ　ｃｏｓａ）］√ｈ２＋２ｌ　＋２（　一ｈ￡ｃｏ　一￡　ｃｏｓＯ）｝　当０很小时，ｃｏｓＯ≈ｌ，ｓｉｎＯ≈０，回复力可简　化为　厂一（　一　０　（３）　可得简谐振动的周期　丁一　一．＝＝　：一一　∞　／墨一生　垡　垒±　＾√Ｚ　ｍｌｈ　０　———ｌ——　／ｋＱｑ（ｈ＋１）・　（４）　由式（４）可知，当满足ｇ＞　时，在点电　荷作用下小幅摆动的单摆运动为简谐振动，点电　荷的作用等效于叠加了场强为ｇ　一　｛　的重力场，叠加场减弱了原重力场强．由于须满足　ｇ＞—ｋＱｑ　（ｈ—丁＿－ｑ－１）的条件式（４）才有物理意义，可以　对式（４）做数量级估算．电磁系数ｋ一９×１０　Ｎ・　ｍ　・Ｃ～，取ｈ—Ｚ—ｌｍ，ｍ一２×１０～ｋｇ，ｑ—Ｑ　一４×１０一Ｃ，则ｇ　一　一１．４４ｍ．Ｓ－－２　＜ｇ，通常情况下可以满足ｇ＞ｇ　条件成立．　１．３　等量同种电荷位于平衡位置的上、下对称　位置　如图３所示，两个带电量均为Ｑ的电荷分别　对称地位于Ａ点上方ｈ（　＞ｚ）处的Ｃ点和Ａ点　下方ｈ处的Ｄ点，带电单摆小球受到的回复力为　图２带电单摆，点电荷　图３带电单摆，点电荷Ｑ分　Ｑ在单摆下方　别在单摆上下对称处　ｆ＝ｍｇｓｉｎ６＋［ｋＱｑｓｉｎ８（ｈ—ｚ）］／　｛［　４－２ｌ　４－２（ｈｌｃｏｓＯ－－ｈｌ—ｚ　ｃｏｓ０）］×　物理与工程Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．３　２０１５　、／／　＋２ｌ　＋２（ｈｌｃｏｓＯ－－ｈｌ－－Ｚ　ｃｏｓ０）｝一　￣ｋＱｑｓｉｎＯ（ｈ＋ｚ）３／｛［　。＋２ｌ　＋２（ｈｌ—ｈｌｃｏｓ０一　ｚ　ｃｏｓ０）］×￣／　。＋２ｌ。＋２（ｈｌ－－ｈｌｃｏｓＯ－－ｚ　ｃｏｓ０））　当０很小时ｃｏｓ０≈１，ｓｉｎ０≈０，回复力可简化　为　厂一（　一２ｋＱ　。ｑｌ　（５）　可得简谐振动的周期　一隶　丌丝ｍ　　．０　‘√　Ｖ　优专　）一　＾　　由式（６）可知，当满足ｇ＞　２ｋＱｑｌ时，在两个对称　点电荷作用下小幅摆动的单摆运动为简谐振动，　点电荷的作用等效于叠加了场强为ｇｌ一　的重力场，叠加场减弱了原重力场强．取ｈ—Ｚ—　ｌｍ，ｍ一２×１０～ｋｇ，ｑ—Ｑ一４×１０　Ｃ，则ｇ　一　一１．４４ｍ．Ｓ－－２＜ｇ，通常情况下可以满足　ｇ＞ｇ　条件成立．　１．４等量异种电荷位于平衡位置的上、下对称位置　带电量为Ｑ的点电荷位于Ａ点上方　处的Ｃ　点，带电量为一Ｑ的点电荷位于Ａ点下方ｈ处的　Ｄ点（　＞Ｚ），带电单摆小球受到的回复力为　—ｍｇｓｉｎＯ＋ＥｋＱｑｓｉｎＯ（ｈ—　ｆ　｛ｒ　＋２Ｚ　＋２（ｈｌｃｏｓＯ－－ｈｌ—　。ｃｏｓ０）］×　Ｖｈ　＋２ｌ　＋２（ｈｌｃｏｓＯ－－ｈｌ—Ｚ　ｃｏｓＯ）｝＋　ＥｋＱｑｓｉｎ０（　＋ｚ）／：ｈ　＋２ｌ　＋２（ｈｌ—ｈｌｃ。ｓ０一　当０很小时ｃｏｓ０≈１，ｓｉｎ０≈０，回复力可简化　为　厂一（　＋２ｋＱ　ｑ）０　（７）　，可得简谐振动的周期　Ｔ＝　一　７【ｌ　㈣　丝　＾√Ｚ　。　Ｚ　０　由式（８）可知，两个对称异种点电荷作用下小　幅摆动的单摆运动为简谐振动，点电荷的作用等　效于叠加了场强为ｇ　一２　的重力场，叠加场　增强了原重力场强．　１．５　电偶极子在平衡位置的竖直方向　如图４所示，有电偶极子Ｐ一　位于单摆平　物理与工程Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．３　２０１５　当０很小时，ｃｏｓ０≈１，ｓｉｎ０≈　ＤｌＢ一　位于Ｄ、Ｆ两点，关于Ｃ点对称，且　ｂ．　一ｈ，而一　当０很小时，ｃｏｓ０≈１，ｓｉｎ０≈０　√√４卜褊［料（　一睾）‘］　志　ｓｉｎＬＯＢＤ—　ＢＤ　ｓｉｎ　ＯＢＦ—　ＦＢ一　忌赤（　一号）　＋＾　　√　４卜　［　。＋（　一鲁）　］　是赤是南×　南愚　ｉｎ　∞Ｆ＝＝＝　　两ｘ　　小球受到的回复力　ｍｇｓｉｎ０　ｑ－ｋ　×　／（４ｌ。一ｂ　）　一４ｂＯ（ｈ＋１）＋ｂ　√　［　＋（　＋睾）　］　易知单摆在关于Ｃ点对称点电荷的作用下做　复杂的非线性运动，这正是点电荷非均匀电场作　用的一般效果．　／（４１。一ｂ　）０　＋４ｂ０（　一１）＋ｂ　√　［抖（　一号）　］　运动．　Ｆ　（１１）　易知单摆在该点电荷的作用下做非线性　如图６所示，考虑一对等量同种点电荷分别　综上可知，位于单摆平衡位置竖直方向线上　的点电荷对带电单摆的作用，单摆的小幅摆动仍　然是简谐运动；当点电荷不在单摆平衡位置的竖　直方向线上时，单摆的运动是非线性运动，所以点　、、　电荷场与重力场叠加时的方向关系是带电单摆保　：　＼　；　持简谐运动的首要因素．　参　考　文　献　［１］袁庆新，李亮．任意振幅单摆周期近似公式［Ｊ］．物理与工　程，２００９，１９（５）：１１－１２．　［２］　魏薇．单摆振动实验数字化演示的定量分析ＥＪ３．物理与工　程，２０１１，２１（５）：６－９．　ｇ　８　、　Ｉ－３］侯昭武．带电单摆在匀电场中的运动初探［Ｊ］．广西教育学　院学报，２００５，７７（３）：８９—９１．　、　、　、　［４］邱红梅，杨燕舞，王秀琴．电场对单摆动力学行为的影响　Ｉ－Ｊ］．江苏技术师范学院学报，２００７，１３（２）：６４—６７．　图６　等量同种电荷位于单摆竖直方向正上方两侧　一