第十七章17.2勾股定理的逆定理同步练习

同步练习

（答题时间：60分钟）

微课程：原命题、逆命题同步练习

一、选择题

1. 下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形 D. 直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. （浙江温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ） A. a2 B. a1 C. a1 D. a2 二、填空题 3. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_______命题。（填入“真”或“假”） 4. 请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题__________。 三、解答题 5. 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明： （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）垂直于同一条直线的两直线平行； （3）相等的角是内错角； （4）有一个角是60°的三角形是等边三角形。 微课程：勾股定理的逆定理及其应用同步练习 一、选择题 1. 已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2。分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（ ） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 2. 已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（ ） A. 30 B. 60 C. 78 D. 不能确定 3. 下列结论中：①三个内角之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；②直角三角形的三个内角之比为1∶2∶3；③三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；④直角三角形的三条边长之比为3∶4∶5。其中，正确的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4. 三角形的三边长分别为a，b，c，且满足（a＋b）2＝c2＋2ab，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

二、填空题

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5. 某个三角形的三边长分别是15，39，36，则这个三角形______（填“是”或者“不是”）直角三角形，理由为 。 6. 下列各组数中：① 4，5，6；②6，8，10；③0.6，0.8，1；④6 000，8 000，10 000。其中，是勾股数的有 组。

7. 已知△ABC中，AB＝12，BC＝9，那么当AC2＝______或______时，△ABC是直角三角形。

三、解答题

8. 如图，小正方形网格中，小方格的边长为1，试判断ABC的形状。 9. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个四边形的面积。 微课程：勾股定理、逆定理综合应用同步练习 一、选择题 1. 在△ABC中，三边长满足BC2＋AC2＝AB2，且∠A＝30°，AB＝8，则BC＝（ ） A. 4 B. 43 C. 8 D. 不确定 2. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ） A. （2，0） B. （51,0） C. （101,0） D. （5,0） 3. 已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足c2b2a2＋|a−b|＝0，则△ABC的形状为（ ） A. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形

B. 直角三角形 D. 等边三角形

二、填空题

4. 若在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADC的度数是_________度。

5. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置。若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝______度。

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三、解答题

6. 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。 （1）求DC的长； （2）求AB的长；

（3）求△ABC的面积。

7. 如图所示，网格中每个小正方形的边长均为1， ABC的顶点在格点上，在边AB的左侧分别以ABC的三边为直径作三个半圆围成图中的阴影部分。

（1）图中ABC是什么特殊的三角形? （2）求图中阴影部分的面积。

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初二数学人教新课标版（2012教材）第十七章第2节勾股定理的逆定理

同步练习参考答案

微课程：原命题、逆命题同步练习

一、选择题

1. D 解析：A. 全等三角形的对应角相等的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，此逆命题是假命题；

B. 等边三角形是锐角三角形的逆命题是：锐角三角形是等边三角形，此逆命题是假命题；

C. 两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形逆命题是：如果两个图形是全等形，那么这两个图形关于轴对称，此逆命题是假命题； D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，此逆命题是真命题；

故选：D。

2. A 解析：选项A，a2满足a2＞1，但不满足a＞1，故命题A就是用来证明原命题是假命题的反例；选项B，a1不满足原命题的题设a2＞1，故命题B不会是反例；选项C，a1不满足原命题的题设a2＞1，故命题C不会是反例；选项D，把a2代入命题“若a2＞1，则a＞1”的题设和结论都成立，故不是反例。故选A。

二、填空题 3. 假 解析：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题。

4. 对顶角相等 解析：本题是一道开放性题目，答案不唯一，只要符合条件即可。

三、解答题 5. 解：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题； （2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题； （3）内错角相等，假命题；例如：图中∠1与∠2是内错角，但不相等；

（4）等边三角形有一个角是60°，真命题。

微课程：勾股定理的逆定理及其应用同步练习

一、选择题

1. D 解析：①∵22＋32＝13≠42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意； ②∵32＋42＝52 ，

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∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意； ③∵12＋（3）2＝22， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意。 故构成直角三角形的有②③， 故选D。 2. A 解析：∵52＋122＝132， ∴三角形为直角三角形，∵长为5，12的边为直角边， ∴三角形的面积＝1×5×12＝30，故选A。 23. B 解析：根据三角形按角分类的方法可知①正确；因为直角三角形的三个内角之比不一定为1∶2∶3，所以②不正确；根据勾股定理的逆定理可知③正确；因为直角三角形的三条边长之比不一定为3∶4∶5，所以④不正确。 4. C 解析：因为（a＋b）2＝c2＋2ab，所以a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，即a2＋b2＝c2，根据勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形。 二、填空题 5. 是，152＋362＝392 解析：根据三边判断一个三角形是否为直角三角形，就是看最长边的平方是否等于另两条边的平方和，若相等则为直角三角形；否则不是直角三角形。 6. 2 解析：根据勾股数的定义可知，①因42＋52≠62而不是一组勾股数；③因各数不是正整数而不是一组勾股数；因为62＋82＝102所以②是一组勾股数，并且把各数扩大1000倍仍是一组勾股数，即④也是一组勾股数。 7. 225或63 解析：当AC是最长边时，AC2＝AB2＋BC2＝225；当AC不为最长边时，AC2＝AB2－BC2＝63。 三、解答题 8. 解：因为AC2313， 222AB2426252， BC2128265， 222所以ACABBC， 所以该三角形是直角三角形。 9. 解：连接AC，如图

因为∠ADC＝90°，所以△ACD是直角三角形，

AD2CD242325cm，

22222又因为ACBC51213， AB2132，

222所以ACBCAB，

所以AC＝所以△ACB是直角三角形，

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所以四边形ABCD的面积为：S四边形S△ACBS△ADC

11ACBCADCD＝ 22115124324cm2。 22

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一、选择题 1. A 解析：∵BC2＋AC2＝AB2，∴∠C＝90°，又∵∠A＝30°，AB＝8， ∴BC＝1AB＝4。 22.C 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝∴AM＝ AC＝10 ， ∴BM＝AM－AB＝10－3， 又∵点B的坐标为（2，0）， AB2BC2＝ 3212＝10， ∴点M的坐标为（2＋10－3，0），即（10－1，0），故选C。 3. C 解析：∵c2b2a2＋|a−b|＝0，∴c2－a2－b2＝0，a－b＝0，解得：a2＋b2＝c2，a＝b，∴△ABC的形状为等腰直角三角形。 二、填空题 4. 90 解析：∵AB＝5cm，BC＝6cm，AD＝4cm，又∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝6×＝3，∴AB2＝AD2＋BD2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠ADC的度数是90度。 5. 135° 12 解析：连接EE′，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE＝1，BE＝2，CE＝3，∴∠EBE′＝90°，BE＝BE′＝2，AE＝E′C＝1，∴EE′＝22，∠BE′E＝45°，∵E′E2＋E′C2＝8＋1＝9，EC2＝9，∴E′E2＋E′C2＝EC2，∴△EE′C是直角三角形， ∴∠EE′C＝90°，∴∠BE′C＝135°。

三、解答题 6. 解：（1）∵CD⊥AB于D，且BC＝15，DB＝9，AC＝20 ∴∠CDA＝∠CDB＝90°

在Rt△CDB中，DC2＋DB2＝CB2，

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∴DC2＋92＝152 ∴DC＝12；

（2）在Rt△CDA中，DC2＋AD2＝AC2 ∴122＋AD2＝202 ∴AD＝16， ∴AB＝AD＋DB＝16＋9＝25。 （3）∵CD⊥AB 由（1）可知DC＝12。 又∵AD＝16， ∴AB＝AD＋DB＝16＋9＝25， ∴△ABC的面积＝1×25×12＝150。 27. 解：（1）ABC是等腰直角三角形。 （2）设以AC，BC，AB为直径的半圆的面积分别为S1,S2,S3。 方法一：在等腰直角三角形ABC中，因为AB＝8，由勾股定理可得AC＝BC＝32。3213211所以S阴影S1S2SABCS3＝22222＝16。 方法二：由图形可知： 223221422S阴影S1S2SABCS3 11AB1AC1BC222=SACBCABSABC ABC2228222在RtABC中，由勾股定理可知， AC2BC2AB2， 1所以S阴影SABC8416。 2 222

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