高考必会轨迹法解带电粒子在匀强磁场中的运动问题

专题：轨迹法解带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的匀速圆周运动

一、知识提要

带电粒子（不计重力）以垂直于磁场方向的初速度进入匀强磁场，受洛伦兹力而做匀速圆周运动。根据洛伦兹力充当向心力：

mv2qvB，推导出该圆周运动的半径公式和周期公式：

rrmv2m,TBqBq。

二、方法指导

轨迹法（画圆心，定半径，）充分利用几何关系作题。 ．．．．．．．．．．三、针对训练

类型一：有确定的磁场边界和确定的单一入射方向

1．图中MN表示真空室中垂直于纸面的平板，它的一侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B。一带电粒子从平板上的狭缝O处以垂直于平板的初速v射入磁场区域，最后到达平板上的P点。已知B、v以及P到O的距离l ，不计重力，求此粒子的电荷q与质量m之比。

2．一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点S的坐标。

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O P v x

v S y B M P l B

v O N 高二物理提高班讲义 2011.6.18

3.如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场。沿将磁场的磁感应强度变为原来的2倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是

A.在b、n之间某点 B.在n、a之间某点 C.在a点 D.在a、m之间某点

d c a m v n B b 4．如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？（不考虑正、负电子间的相互作用）

5．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60º。一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。

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A2 Ⅱ A1 30º 60º A3

Ⅰ A4 M O v N B 高二物理提高班讲义 2011.6.18

6. 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60º角，求该带电粒子的荷质比。

7．如图所示，在x<0与x>0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1>B2。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

类型二：有确定的磁场边界，但入射速度不单一确定

8．如图所示，长方形abcd长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7 kg、电荷量q=+2×103C的带电粒子以速度v=5×l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁

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y A B O x y B1 O B2 x 场区域

A．从Od边射人的粒子，出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射人的粒子，出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边 D．从aO边射人的粒子，出射点分布在ab边和bc边

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v a B O b e

d c 高二物理提高班讲义 2011.6.18

9．如图所示，MN是一荧光屏，当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏能够发光。MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PQ与MN垂直。一群质量为m、带电荷量q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场方向射入磁场区域，且分布在与PQ夹角为θ的范围内，不计粒子间的相互作用。则以下说法正确的是

A．在荧光屏上将出现一个圆形亮斑，其半径为

mv qBM

B θ Q  θ mvB．在荧光屏上将出现一个半圆形亮斑，其半径为

qB2mvC．在荧光屏上将出现一个条形亮线，其长度为1cos

qBP N

D．在荧光屏上将出现一个条形亮线，其长度为

2mv1sin qB10．如图所示是一个截面为内径R1=0.10m、外径R2=0.20m的环状区域，O点为该环状区域的圆心，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0.50T。将带电粒子源置于环状区域内侧的A点，若带电粒子源能沿垂直磁场方向连续地向各个方向射出氦核，已知氦核的比荷q/m=4.8×107C/kg，不计带电粒子之间的相互作用力及其所受的重力。

（1）若某氦核从A点沿半径方向射出后，恰好不能穿出磁场，求此氦核的速度大小。 （2）若沿垂直磁场方向向各个方向射出氦核都不能穿出磁场，求速度的大小范围。

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R2 R1 O A B 高二物理提高班讲义 2011.6.18

11. 如图所示，在0xa、0ya/2范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。 坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0~90º范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

⑴速度的大小；

⑵速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

类型三：没有确定的磁场边界，甚至粒子的入射速度不唯一

12. 在以原点O为中心的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场。质量m、电荷q的带电粒子由O开始沿x正方向运动,初速度为v。离开磁场后经过y轴上的P点, 此时速度与y轴夹角为θ=30º, PO距离为L。不计重力, 求磁感应强度B的大小和磁场区域的半径R。

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O a/2 B a x

y 高二物理提高班讲义 2011.6.18

13. 如图所示，一带电质点的质量为m，电荷为q，以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面，磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径．（重力忽略不计．）

14．如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：⑴此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；⑵此匀强磁场区域的最小面积。

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A B D C a y v O b x 高二物理提高班讲义 2011.6.18

25．两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原

点，如图所示。在y>0，00， x>a的区域由垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

y轴范围：0-2a；x轴范围：2a-2133a 

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y O a x