2020 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)

2020 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 2020 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 在等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎9=13, 𝑎13=1,则 log𝑎113 的值为__________. 在椭圆𝐹中，𝐴为长轴的一个端点，𝐵为短轴的一个端点，𝐹1,𝐹2 为两个焦点，若|𝐴𝐵|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐹1⋅⃗𝐴𝐹 的值为__________. 2+𝐵𝐹1⋅𝐵𝐹2=0，则 |𝐹1𝐹2| 设𝑎>0，函数𝑓(𝑥)=𝑥+100𝑥在区间(0,𝑎]上的最大值为𝑚1, 在区间[𝑎,+∞) 上的最小值为 𝑚2，若 𝑚1𝑚2=2020，则𝑎的值为__________. 1 / 3 2020 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 𝑧−2设 𝑧 为复数。若 𝑧−𝑖 为实数 ( 𝑖 为虚数单位 ) ,则 |𝑧+3| 的最小值为__________. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=6,𝐵𝐶=4，边 𝐴𝐶 上的中线长为 √10. 则sin62+cos62的值为__________. 正三棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶 的所有棱长均为1，𝐿,𝑀,𝑁 分别为棱 𝑃𝐴,𝑃𝐵,𝑃𝐶 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面 𝐿𝑀𝑁所截的截面面积为__________. 设𝑎,𝑏>0，满足: 关于 𝑥 的方程√|𝑥|+√|𝑥+𝑎|=𝑏恰有三个不同的实数解𝑥1,𝑥2,𝑥3,且 𝑥1<𝑥2<𝑥3=𝑏，则𝑎+𝑏的值为__________. 2 / 3 𝐴𝐴2020 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 现有10张卡片，每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同. 将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5的五个盒子中，规定写有𝑖,𝑗 的卡片只能放在 𝑖 号或 j号盒子中。一种放法称为“好的”，如果 1 号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则“好的”放法共有__________种。 在 𝛥𝐴𝐵𝐶 中 ,sin𝐴= 对正整数n和实数𝑥(0≤𝑥<𝑛)，定义 𝑓(𝑛,𝑥)=(1−{𝑥})⋅C𝑛+{𝑥}⋅C𝑛[𝑥][𝑥]+1√2. 求 cos𝐵2+√2cos𝐶 的取值范围。 其中[𝑥]表示不超过实数x的最大整数，{𝑥}=𝑥−[𝑥]。若整数𝑚,𝑛≥2满足 12𝑚𝑛−1)=123 𝑓(𝑚,)+𝑓(𝑚,)+⋯+𝑓(𝑚,𝑛𝑛𝑛求𝑓(𝑛,𝑚)+𝑓(𝑛,𝑚)+⋯+𝑓(𝑛, 在平面直角坐标系中, 点 𝐴,𝐵,𝐶 在双曲线 𝑥𝑦=1 上,满足 △𝐴𝐵𝐶 为等腰直角三角形. 求 𝛥𝐴𝐵𝐶 的面积的最小值. 12𝑚𝑛−1𝑚)的值。 3 / 3