2012年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷

2012年上海市普通高等学校春季招生考试

数 学 试 卷

后二位 校验码 号 码

考生注意：

1. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上

条形码.

2. 本试卷共有23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.

一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直

接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 已知集合A1,2,k，b2,5，若AB1,2,3,5，则k__________. 2. 函数yx1的定义域为__________. 3. 抛物线y28x的焦点坐标为__________.

4. 若复数z满足iz1i（i为虚数单位），则z__________. π5. 函数f(x)sin2x的最小正周期为__________.

46. 方程4x2x10的解为__________.

7. 若(2x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a0a1a2a3a4a5__________.

(x2)(xm)为奇函数，则实数m__________.

x49. 函数ylog2xx[2,4]的最大值为__________.

log2x8. 若f(x)10. 若复数z满足zi2（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为

__________.

11. 某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志

愿者中，男、女生都有的概率为__________.

12. 若不等式x2kxk10对x(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是__________.

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13. 已知等差数列an的首项及公差均为正数，令bnana2012n(nN*，n2012). 当

bk是数列bn的最大项时，k__________.

aaa14. 若矩阵1112满足：a11,a12,a21,a221,1，且11a21a21a22a120，则这样的互不相等的a22矩阵共有__________个.

二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.

x2y2x2y215. 已知椭圆C1: 1，C2: 1，则

124168(A) C1与C2顶点相同. (C) C1与C2短轴长相等.

(B) C1与C2长轴长相等. (D) C1与C2焦距相等.

[答] ( )

16. 记函数yf(x)的反函数为yf1(x). 如果函数yf(x)的图像过点(1,0)，那么函数

yf1(x)1的图像过点

[答] ( )

(A) (0,0). (C) (1,1).

(B) (0,2). (D) (2,0).

[答] ( )

17. 已知空间三条直线l、m、n. 若l与m异面，且l与n异面，则

(A) m与n异面. (C) m与n平行.

(B) m与n相交.

(D) m与n异面、相交、平行均有可能.

18. 设O为△ABC所在平面上一点. 若实数x、y、z满足xOAyOBzOC0(x2y2z20)，

则“xyz0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的 (A) 充分不必要条件. (C) 充要条件.

三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤.

(B) 必要不充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.

[答] ( )

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19. （本题满分12分）本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，高为2，MA1D1B1C1为线段AB的中点. 求： (1) 三棱锥C1MBC的体积；

(2) 异面直线CD与MC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.

某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长短差异）.

(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求

内环线列车的最小平均速度；

(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30

千米/小时. 现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问：内、外环线应各投入几列列车运行？

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

ADMBC y2已知双曲线C1: x1.

42

(1) 求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P4,3的双曲线C2的标准方程；

(2) 直线l: yxm分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点. 当OAOB3时，求

实数m的值.

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22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分.

已知数列an、bn、cn满足(an1an)(bn1bn)cn(nN*).

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3

小题满分9分.

(1) 设cn3n6，an是公差为3的等差数列. 当b11时，求b2、b3的值； (2) 设cnn3，ann28n. 求正整数k，使得对一切nN*，均有bnbk；

1(1)n(3) 设cn2n，an. 当b11时，求数列bn的通项公式.

2n定义向量OM(a,b)的“相伴函数”为 f(x)asinxbcosx；函数f(x)asinxbcosx的“相伴向量”为OM(a,b)（其中O为坐标原点）. 记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S.

π(1) 设g(x)3sinx4sinx，求证：g(x)S；

2(2) 已知h(x)cos(xα)2cosx，且h(x)S，求其“相伴向量”的模；

(3) 已知M(a,b)(b0)为圆C: (x2)y1上一点，向量OM的“相伴函数”f(x)在

22xx0处取到最大值. 当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围.

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参考答案及评分标准

说明

1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.

2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.

3. 第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4. 给分或扣分均以1分为单位.

答案及评分标准

一. （第1至14题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

1. 3. 6. 11.

x1.

2. [1,∞). 3. 8.

(2,0).

4. 1i. 5. π.

7. 1. 2. 9. 5. 14. 8.

10. 2π.

14. 1512. (∞,2]. 13. 1006.

二. （第15至18题）每一题正确的给5分，否则一律得零分.

题 号 代 号 三. （第19至23题）

19. （本题满分12分）本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

15 D 16 B 17 D 18 C 111(1) S△MBC1，

224又C1C为三棱锥C1MBC的高

········· 3分 ········· 6分

1111VC1MBCS△MBCC1C2.

3346(2) CD//AB，

C1MB为异面直线CD与MC1所成的角（或其补角）.

········· 8分

上海市教育考试院 保留版权 数学2012春 (答案)—第1页 (共5页)

联结BC1，AB平面BCC1B1，ABBC1， D1A1C1B11在Rt△MBC1中，BC1415，MB. 2tanC1MB525， 12······ 10分 C1MBarctan25，

即异面直线CD与MC1所成角的大小为arctan25. ······ 12分 ADMBC 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分. (1) 设内环线列车运行的平均速度为v千米/小时.

由题意可知，解得v20.

所以，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，列车的最小平均速度是20千米/小时.

········· 7分

306010， 9v ········· 4分

(2) [解法一] 设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18x)列列车运行，内、外环线

乘客最长候车时间分别为t1、t2分钟， 则t130603072，t2， 606025xx30(18x)18x72601， x18x ········· 9分 ······· 11分

于是有t1t221501731611418180x150x12960,x即2 解得，

22x114x12960,又xN*，所以x10.

所以，当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.

······· 14分

[解法二] 设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1、t2分钟， 则t130603072，t2， 606025xx30(18x)18x72601， x18x ········· 9分 ······· 11分

于是有t1t2数学2012春 (答案)—第2页 (共5页)

记f(x)7260(x18，xN*)，则f(x)是单调递减函数， xx18又f(9)1.33，f(10)0.30，f(11)2.03，所以x10.

所以，当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.

······· 14分

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. (1) 双曲线C1的焦点坐标为

5,0，5,0，

22 ········· 2分

a2b25,xy设双曲线C2的标准方程为221，则163

ab1,2ab22a4,解得2

b1. ········· 4分

x2双曲线C2的标准方程为y21.

4 ········· 6分 ········· 8分

(2) 双曲线C1的渐近线方程为y2x，y2x.

设A(x1,2x1)，B(x2,2x2).

2y2x0, 得3x22mxm20， 4yxm由Δ16m20，得m0.

m2，OAOBx1x2(2x1)(2x2)3x1x2， x1x23m23，即m3. ······· 10分 ······· 13分 ······· 14分

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分.

(1) an1an3，bn1bnn2.

b11，b24，b38.

········· 2分 ········· 4分

(2) an1an2n7，

n3. bn1bn2n7由bn1bn0，解得n4，即b4b5b6.

········· 6分

数学2012春 (答案)—第3页 (共5页)

由bn1bn0，解得n3，即b1b2b3b4. k4.

········· 8分 ······· 10分

(3) an1an(1)n1，

bn1bn(1)n1(2nn)，

bnbn1(1)n(2n1n1)(n2，nN*)（*）

······· 11分

由（*）得： b2b1211，

b3b2(1)(222)，

…，

bn1bn2(1)n1(2n2n2)， bnbn1(1)n(2n1n1).

当n2k(kN*)时，以上各式相加得

bnb1(2222n22n1)12(n2)(n1)22n1(2)n1(2)222nn，3222nn2nn5bn1

32323

······· 14分

当n2k1(kN*)时，

22n1n12nn13nbnbn1(1)(2n)1(2n).

32326n1n2nn13,n2k1,326bnn(kN*).

2n5,n2k,323 ······· 16分

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3

小题满分9分.

π(1) [证明] g(x)3sinx4sinx4sinx3cosx，

2其“相伴向量”OM(4,3)，g(x)S.

········· 2分 ········· 3分

数学2012春 (答案)—第4页 (共5页)

(2) h(x)cos(xα)2cosx

(cosxcosαsinxsinα)2cosx sinαsinx(cosα2)cosx，

········· 6分

函数h(x)的“相伴向量”OM(sinα,cosα2)， 则OM(sinα)2(cosα2)254cosα.

········· 9分

(3) OM的“相伴函数”f(x)asinxbcosxa2b2sin(xφ)，

其中cosφaab22，sinφbab22.

ππ当xφ2kπ，kZ时，f(x)取到最大值，故x02kπφ，kZ， ······· 11分

22πatanx0tan2kπφcotφ，

2ba2tanx0b2，tan2x0 2ba1tan2x0a1abb2 ······· 13分

b33b为直线OM的斜率，由几何意义知，,00,. 3a3a ······· 15分

令m323b，则tan2x0，m,00,. 133amm21mm21mm当3m0时，函数tan2x033时，函数tan2x03单调递减，0tan2x03；

当0m单调递减，3tan2x00.

综上所述，tan2x03,00,3.

 ······· 18分

数学2012春 (答案)—第5页 (共5页)