NURBS曲线的一个插值性质

NURBS曲线的一个插值性质

第22卷第2期 2002年6月 数学理论与应用

MATHEMATICALTHEORYANDAPPLICATIONS VoI.22No.2 June2002

NURBS曲线的一个插值性质. 唐小平

(株洲工学院基础课部,株洲,412008)

摘要本文介绍了非均-q有理B样条曲线,并给出了非均匀有理B样条曲线的一个插值性质

关键词非均匀有理B样条曲线插值样条函数 AnInterpolationPropertyforNURBSCurve TangXiaping

(Zhuzhouinstituteoftechaology,412008,Zhuzhou)

AbstractNon--uniformrationalB--splinecurveisintrodued,aninterpolationpropertyisgiven.

KeywordsNURBSCurveInterpolatiomSplinefunction 1引言

在函数逼近论中,数值仅仅是作为函数的一种逼近工具出现,理论上,最简单的一种插值

是:Lagrange多项式插值公式,这一公式在有些高等数学教科书中出现,但Lagrange插值无

法保证收敛到所有被逼近的函数.事实上,龙格发现对部分函数甚至会出现发散现象(称龙格

现象)[.应用上,随着被插值点的增加,插值多项式次数增大,计算费用增加,甚至出

现计算溢

出.因此在工程应用中,很少使用七次以上的Lagrange插值多项式.

低次多项式插值仅仅适合于插值节点较少的情况,对于节点很多时.一个有效途径是用分

段插值,每段用低次多项式,段与段之间保证一定的连续阶,这种方法克服了上面的缺点,又保

证了插值的简洁性,例如分段线性插值,分段三次或五次插值.分段三次Hermite插值函数插

值给定点的位置值和该点的导数值,因此是C连续的,如果使整条曲线C连续导出着名的插

值三次样条函数,三次样条函数是工程中曲线放样的一个绝佳的数学模型,因此在曲面造型中

有着很好的应用.样条函数在理论上的发展产生了B一样条函数,B一样条函数虽然缺乏插值

性,而它的良好的逼近性能在CAD中有着广泛的应用.在曲面造型中,函数的应用有其局限

性,因此产生参数形式的样条曲线,也就是B一样条曲线.在几何造型系统中,用一种统一的几

何曲线描述各种曲线模型是十分重要的,于是一种非均匀有理B一样条值(Onn—Uniform

湖南省教育厅科研课题(编号00C022) 方遣教授推荐

收稿13期:2001年6月7t:l

第2期NURBS曲线的一个插值性质123

RationalB--SplineCurve,简称NURBS曲线)应运而生,它除了能描述自由型曲线外,还能精

确表示二次曲线弧等初等曲线.本文NURBS曲线的插值性质,得到了一种插值条

件.

2非均匀有理B一样条曲线简介

设有一组有序的平面点列点d(一0,1,…,),由数据点的参数化方法(如均匀参数化 法,累积弦长参数化法,向心参数化法,福利参数化法),产生一组节点矢量 U一[\"o,U一,Un+4]

由节点矢量可定义三次B一样条函数 为:

..,,f1U,<U<U…;Ⅳ 1. 一 1o其它 )一N UiUi (\")+

Ui1Ul+^——+^+——+ k一1,2,3;一0,1,…,. 相应的B一样条曲线为: ^+3

r(\")=∑N(\"),\"∈…/-/I+4],k一0,1,…,一3.it^

只要给定控制顶点的相应函数(—o,3,…,n),则定义三次非均匀有理B一样条曲线 ^+3 ∑wiN()I^

,U∈[\"^+3,/-/I+4],k=0,1,…,n一3(2.2) wiN(\") ft^

NURBS曲线有良好的几何性质,如局部性,变差缩减性,凸包性,仿射与透视不变性等,

但是,NURBS曲线没有端点插值性,下一节,我们将讨论适当限制某些控制顶点,迫使

NURBS曲线有端点插值性质. 3NURBS曲线的插值性质

由三次B一样条函数的性质不难求得: 即 相应地有;

cu^N^.3(^+3)^+t-Ok+lN^+1.3(1+3)^+l+t-Ok+2N^+2.3(^+3)^+2 w,N^.3(\"1+3)++1N¨1.3(\"H3)+叫1+2NH2.3(\"1+3) t-Ok+lNH1.3(H4)+l+f2Ⅳ^2.3(^{4)+2++3H3.3(十4)+3 +l

Ⅳ^+1.3(+4)++2N¨2.3(^+4)+叫1+3NH(H4) (3.1) (3.2)

如果使曲线r(u)在参数值UH.处插值d+.则有:

[Ⅳ)(H3)+t-Ok+2NH2.3(^+3)]+l=w,N¨(H3)+}2NH2.3(H3)+2 d^+1二三±皇三 w,N^.3

(\"1+3)+t-Ok2NH2.3(\"^+3)(3.3)

124数学理论与应用第22卷

上式说明d,dH,d+:三个控制顶点必须共线. 综上所述,三次NURBS曲线有如下插值性质.

结论:如果相邻三个控制顶点d,d+,dH:,共线且满足(3.3),则三次NURBS曲线,I(\") 在参数值\"川处插值d川,即r(u^+)一dH.

由上面的结论,要使r(u)插值d+,但必须限制d的取值,在实际应用中,以+是事先指 定的或是随意调节的,例如往往取dH=(以+d+:)/z,则必须满足: c^+2一N^.

3(\"^+3)c^/N^+2.3(\"^+3).(3.4)

即通过选择权因子来控制插值点的位置. 参考文献

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