2016年高考真题(理科数学)
分类汇编与详解
模块1 集合与常用逻辑用语 ............................................................................................................ 2 模块2 函 数 .................................................................................................................................... 2 模块3 导数及其应用 ........................................................................................................................ 4 模块4 三角函数与解三角形 ............................................................................................................ 6 模块5 平面向量、数系的扩充与复数的引入 ................................................................................ 8 模块6 数 列 .................................................................................................................................... 8 模块7 不等式、推理与证明 .......................................................................................................... 10 模块8 立体几何 .............................................................................................................................. 11 模块9 平面解析几何 ...................................................................................................................... 14 模块10 计数原理、概率、随机变量及其分布 ............................................................................ 17 模块11 统计、统计案例及算法初步 ............................................................................................. 19 模块12 坐标系与参数方程 .............................................................................................................. 21 模块13不等式选讲 ........................................................................................................................... 22 参考答案与解析 ................................................................................................................................. 23
模块1 集合与常用逻辑用语 .................................................................................................. 23 模块2 函 数 .......................................................................................................................... 23 模块3 导数及其应用 .............................................................................................................. 24 模块4 三角函数与解三角形 .................................................................................................. 28 模块5 平面向量、数系的扩充与复数的引入 ...................................................................... 31 模块6 数 列 .......................................................................................................................... 32 模块7 不等式、推理与证明 .................................................................................................. 34 模块8 立体几何 ...................................................................................................................... 36 模块9 平面解析几何 .............................................................................................................. 40 模块10 计数原理、概率、随机变量及其分布 .................................................................... 43 模块11 统计、统计案例及算法初步 ..................................................................................... 46 模块12 坐标系与参数方程 .................................................................................................... 47 模块13 不等式选讲 ................................................................................................................ 48
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模块1 集合与常用逻辑用语
1．(2016·高考全国卷乙)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝( ) 3
－3，－ A.231， C.23
－3， B.23D.2，3
2．(2016·高考全国卷甲)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( ) A．{1}
C．{0，1，2，3}
B．{1，2}
D．{－1，0，1，2，3}
3．(2016·高考全国卷丙)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝( ) A．[2，3] C．[3，＋∞)
B．(－∞，2]∪[3，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)
4．(2016·高考山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝( ) A．(－1，1) C．(－1，＋∞)
B．(0，1) D．(0，＋∞)
5．(2016·高考浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n D．既不充分也不必要条件 模块2 函 数 1．(2016·高考全国卷乙)若a＞b＞1，0＜c＜1，则( ) A．ac＜bc C．alogbc＜blogac B．abc＜bac D．logac＜logbc x＋1 2．(2016·高考全国卷甲)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图像的 x交点为(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝( ) i＝1m A．0 B．m C．2m D．4m 2 3．(2016·高考全国卷丙)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( ) A．b＜a＜c C．b＜c＜a B．a＜b＜c D．c＜a＜b 4 32513 4．(2016·高考四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A.2018年 C．2020年 B．2019年 D．2021年 5．(2016·高考全国卷乙)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图像大致为( ) 56．(2016·高考浙江卷)已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝______，b＝____． 27．(2016·高考浙江卷)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－2}，其中min{p，q}＝ p，p≤q， q，p＞q. (1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围； (2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在区间[0，6]上的最大值M(a)． 3 模块3 导数及其应用 1．(2016·高考全国卷甲)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________． 2．(2016·高考全国卷丙)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 3．(2016·高考全国卷乙)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点． (1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2. x－2x4．(2016·高考全国卷甲)(1)讨论函数f(x)＝e的单调性，并证明当x>0时，(x－2)ex＋x＋2＞0； x＋2ex－ax－a (2)证明：当a∈[0，1)时，函数g(x)＝(x＞0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a) x2的值域． 4 5．(2016·高考全国卷丙)设函数f(x)＝αcos 2x＋(α－1)(cos x＋1)，其中α＞0，记|f(x)|的最大值为A. (1)求f′(x)；(2)求A；(3)证明|f′(x)|≤2A. 6．(2016·高考北京卷)设函数f(x)＝xeax＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x － ＋4. (1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间． 5 模块4 三角函数与解三角形 π3 1．(2016·高考全国卷甲)若cos4－α＝5，则sin 2α＝( ) 7117A. B. C．－ D．－ 255525 32．(2016·高考全国卷丙)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( ) 4644816A. B. C．1 D. 252525 π13．(2016·高考全国卷丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( ) 433101010310 A. B. C．－ D．－ 10101010 4．(2016·高考天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 π 2x－的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的5．(2016·高考四川卷)为了得到函数y＝sin 3点( ) π A．向左平行移动个单位长度 3π C．向左平行移动个单位长度 6 π B．向右平行移动个单位长度 3π D．向右平行移动个单位长度 6 π 6．(2016·高考全国卷甲)若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴 12为( ) kππ A．x＝－(k∈Z) 26kππ C．x＝－(k∈Z) 212 kππ B．x＝＋(k∈Z) 26kππ D．x＝＋(k∈Z) 212 πππ ω＞0，|φ|≤，x＝－为f(x)的零点，x＝为y7．(2016·高考全国卷乙)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)244π5π ＝f(x)图像的对称轴，且f(x)在18，36单调，则ω的最大值为( ) A．11 B．9 C．7 D．5 8．(2016·高考全国卷丙)函数y＝sin x－3cos x的图像可由函数y＝sin x＋3cos x的图像至少向右平移________个单位长度得到． 45 9．(2016·高考全国卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，513a＝1，则b＝________． 6 10．(2016·高考全国卷乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. 33(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 2 4π 11．(2016·高考江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝. 54π A－的值． (1)求AB的长；(2)求cos6 12．(2016·高考浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. a2 (1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小． 4 tan A 13．(2016·高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝ cos B＋tan B . cos A (1)证明：a＋b＝2c；(2)求cos C的最小值． 7 模块5 平面向量、数系的扩充与复数的引入 1．(2016·高考全国卷乙)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( ) A．1 B.2 C.3 D．2 2．(2016·高考全国卷甲)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( ) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 3．(2016·高考全国卷甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( ) A．－8 B．－6 C．6 D．8 4i4．(2016·高考全国卷丙)若z＝1＋2i，则＝( ) zz－1A．1 B．－1 C．i D．－i 1 5．(2016·高考山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数 3t的值为( ) 99 A．4 B．－4 C. D．－ 44 1331→→ 6．(2016·高考全国卷丙)已知向量BA＝，，BC＝，，则∠ABC＝( ) 2222A．30° B．45° C．60° D．120° 7．(2016·高考全国卷乙)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________． a 8．(2016·高考天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________． b 模块6 数 列 1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A．100 C．98 B．99 D．97 2．(2016·高考天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( ) A．充要条件 C．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(2016·高考全国卷乙)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2„an的最大值为________． 4．(2016·高考浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________． 8 5．(2016·高考全国卷甲)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1 000项和． 6．(2016·高考全国卷丙)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝ 7．(2016·高考四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*. (1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式； 4n－3ny252 (2)设双曲线x－2＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋„＋en>n－1. an33 31 ，求λ. 32 9 模块7 不等式、推理与证明 1．(2016·高考全国卷丙)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，„，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( ) A．18个 C．14个 B．16个 D．12个 2．(2016·高考北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 x－y＋2≥0，3．(2016·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，则目标函数z＝2x＋5y的最小值为 3x＋2y－9≤0，( ) A．－4 C．10 B．6 D．17 4．(2016·高考浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由x－2≤0， 区域x＋y≥0，中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( ) x－3y＋4≥0 A．22 B．4 C．32 D．6 x－y＋1≥0，5．(2016·高考全国卷丙)若x，y满足约束条件x－2y≤0，则z＝x＋y的最大值为____． x＋2y－2≤0，6．(2016·高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元． 7．(2016·高考全国卷甲)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 10 模块8 立体几何 1．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l C．n⊥l B．m∥n D．m⊥n 2．(2016·高考全国卷乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是( ) A．17π C．20π 3．(2016·高考全国卷甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A．20π C．28π 4．(2016·高考全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) A．18＋365 C．90 5．(2016·高考全国卷丙)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( ) 9π32πA．4π B. C．6π D. 23 6．(2016·高考全国卷乙)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( ) A. 3231 B. C. D. 2233 B．54＋185 D．81 B．24π D．32π B．18π D．28π 28π ，则它的表面积是3 7．(2016·高考全国卷甲)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 11 8．(2016·高考全国卷乙)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E-BC-A的余弦值． 9．(2016·高考全国卷甲)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F5 分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10. 4 (1)证明：D′H⊥平面ABCD； (2)求二面角B-D′A-C的正弦值． 12 10．(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． (1)证明MN∥平面PAB； (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 11．(2016·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 13 模块9 平面解析几何 1．(2016·高考全国卷甲)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( ) 4A．－ 3C.3 3B．－ 4D．2 x2y2 2．(2016·高考全国卷乙)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4， m＋n3m－n则n的取值范围是( ) A．(－1，3) C．(0，3) B．(－1，3) D．(0，3) 3．(2016·高考全国卷乙)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( ) A．2 C．6 B．4 D．8 x2y24．(2016·高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x ab1 轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( ) 3 A.2 C.3 3B. 2D．2 x2y2 5．(2016·高考全国卷丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别 ab为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) 1123A. B. C. D. 3234 x2y26．(2016·高考天津卷)已知双曲线－2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆 4b与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( ) x23y2x24y2x2y2x2y2 A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 444344412 7．(2016·高考全国卷丙)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________． 8．(2016·高考浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________． 14 9．(2016·高考全国卷乙)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． x2y2 10．(2016·高考全国卷甲)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0) t3的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. (1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围． 15 11．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点． (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． x2y23 12．(2016·高考北京卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0， ab20)，△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N. 求证：|AN|·|BM|为定值． 16 模块10 计数原理、概率、随机变量及其分布 1．(2016·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) 1A. 32C. 3 1B. 23D. 4 2．(2016·高考全国卷甲)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 C．12 B．18 D．9 3．(2016·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，„，xn，y1，y2，„，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) 4nA. m4mC. n 2nB. m2mD. n 4．(2016·高考全国卷乙)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案) 5．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________． 1 x2－的展开式中x7的系数为________．(用数字作答) 6．(2016·高考天津卷)x 7．(2016·高考山东卷)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两32 人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、43乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX. 8 17 8．(2016·高考全国卷乙)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？ 9．(2016·高考全国卷甲)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 18 模块11 统计、统计案例及算法初步 1．(2016·高考全国卷乙)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( ) A．y＝2x C．y＝4x 2．(2016·高考全国卷甲)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝( ) A．7 C．17 3．(2016·高考全国卷丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 4．(2016·高考全国卷丙)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( ) A．3 C．5 B．4 D．6 B．12 D．34 B．y＝3x D．y＝5x 19 5．(2016·高考天津卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 6．(2016·高考全国卷丙)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据： yi＝9.32, yi＝40.17, i＝1 i＝1 7 7 i＝1 （yi－y）2＝0.55，7≈2.646. 7 i＝1 （ti－t）（yi－y） ， n 参考公式：相关系数r＝ n 2n i＝1 i＝1 （ti－t） （yi－y）2 ^^^ 回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ^b＝ i＝1 （ti－t）（yi－y） （ti－t）2 n n ^^，a＝y－bt. i＝1 20 模块12 坐标系与参数方程 1．(2016·高考北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，则|AB|＝________． x＝acos t，2．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞ y＝1＋asin t， 0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. 3．(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； x＝tcos α，(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率． y＝tsin α x＝3cos α 4．(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐 y＝sin α π θ＋＝22. 标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin4 (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； (2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 1x＝1＋t， 2 5．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为3y＝2t (t为参数)， x＝cos θ， 椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长． y＝2sin θ 21 模块13不等式选讲 1．(2016·高考全国卷乙)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)画出y＝f(x)的图像； (2)求不等式|f(x)|＞1的解集． 11 x－＋x＋，M为不等式f(x)＜2的解集． 2．(2016·高考全国卷甲)已知函数f(x)＝22(1)求M； (2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|. 3．(2016·高考全国卷丙)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集； (2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围． aa 4．(2016·高考江苏卷)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4| 22 参考答案与解析 模块1 集合与常用逻辑用语 33 x＞，则A∩B＝，3.选D. 1．解析：选D.由题意得，A＝{x|1＜x＜3}，B＝x222．解析：选C.由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C. 3．解析：选D.集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0，2]∪[3，＋∞)． 4．解析：选C.法一：(通性通法)集合A表示函数y＝2x的值域，故A＝(0，＋∞)．由x2 －1＜0，得－1＜x＜1，故B＝(－1，1)．所以A∪B＝(－1，＋∞)．故选C. 法二：(光速解法)由函数y＝2x的值域可知，选项A，B不正确；由02－1＜0可知，0∈B，故0∈A∪B，故排除选项D，选C. 5．解析：选D.根据含有量词的命题的否定的概念可知． 6．解析：选D.取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|, 得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|, 故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D. 模块2 函 数 1．解析：选C.对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c＞0，所以y＝xc为增函数，又abbb是减函数，所以B＞b＞1，所以a＞b，A错．对于选项B，ab＜ba⇔＜，又y＝aaac c c c c x 错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C. x＋1x＋11 2．解析：选B.因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝的图像 xxxm 都关于点(0，1)对称，所以 xi=0, yi＝³2＝m，故选B. 2 m m i＝1 i＝1 3．解析：选A.因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c. 4．解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130³1.12n1.由130³1.12n1>200，两边同时取对数，得n－1> － － 4 31325151313lg 2－lg 1.3 ，又 lg 1.12 23 lg 2－lg 1.30.30－0.11 ≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金 lg 1.120.05开始超过200万元，故选B. 5．解析：选D.当x≥0时，令函数f(x)＝2x2－ex，则f′(x)＝4x－ex，易知f′(x)在[0，ln 4)1上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又f′(0)＝－1＜0，f′f′(1)＝4－e＞0，f′(2)2＝2－e＞0，1 0，是函数f(x)的极小值点，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，＝8－e2＞0，所以存在x0∈2在(x0，2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D. 515 6．解析：由于a＞b＞1，则logab∈(0，1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝， 2logab2 1 1 所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以a2＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b， 2 b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4. 答案：4 2 7．解：(1)由于a≥3，故 当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0， 当x＞1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)． 所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围为[2，2a]． (2)①设函数f(x)＝2|x－1|， g(x)＝x2－2ax＋4a－2， 则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2， 所以由F(x)的定义知 m(a)＝min{f(1)，g(a)}， 0，3≤a≤2＋2， 即m(a)＝2 －a＋4a－2，a＞2＋2. ②当0≤x≤2时，F(x)＝f(x)≤max{f(0)，f(2)}＝2＝F(2)， 当2≤x≤6时， F(x)＝g(x)≤max{g(2)，g(6)} ＝max{2，34－8a}＝max{F(2)，F(6)}． 34－8a，3≤a＜4， 所以M(a)＝ 2，a≥4. 模块3 导数及其应用 1．解析：设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2 ＋1))． 24 1 则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)， x11 y－ln(x2＋1)＝(x－x2)， x2＋1 11x2 化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)， x1x2＋1x2＋1 依题意， x ln x＋1＝－x＋1＋ln（x＋1）， 1 22 2 11＝，x1x2＋1 1 解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 2答案：1－ln 2 1 2．解析：由题意可得当x＞0时，f(x)＝ln x－3x，则f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，则在点(1， x－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1. 答案：y＝－2x－1 3．解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． (ⅰ)设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点． (ⅱ)设a＞0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 3aa b2－b又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln，则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a222＞0， 故f(x)存在两个零点． (ⅲ)设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)． e 若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， 2因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增．又当x≤1时f(x)＜0， 所以f(x)不存在两个零点． e 若a＜－，则ln(－2a)＞1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0；当x∈(ln(－2a)，＋∞) 2时，f′(x)＞0.因此f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点． 综上，a的取值范围为(0，＋∞)． (2)不妨设x1＜x2.由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2)＜0. 由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0， 25 所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2. 设g(x)＝－xe2x－(x－2)ex， － 则g′(x)＝(x－1)(e2x－ex)． － 所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，故当x＞1时，g(x)＜0. 从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，故x1＋x2＜2. 4．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． （x－1）（x＋2）ex－（x－2）exx2ex f′(x)＝＝≥0， （x＋2）2（x＋2）2且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞f(0)＝－1. 所以(x－2)ex＞－(x＋2)，(x－2)ex＋x＋2＞0. （x－2）ex＋a（x＋2）x＋2 (2)g′(x)＝＝3(f(x)＋a)． x3x 由(1)知，f(x)＋a单调递增．对任意的a∈[0，1)，f(0)＋a＝a－1＜0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈(0，2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0. 当0＜x＜xa时，f(x)＋a＜0，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x＞xa时，f(x)＋a＞0，g′(x)＞0，g(x)单调递增． 因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为 exa－a（xa＋1）exa＋f（xa）（xa＋1）exa g(xa)＝＝＝. 2xax2xa＋2a x e（x＋1）exexaex于是h(a)＝，由x＋2′＝（x＋2）2＞0，得x＋2单调递增． xa＋2 1e0exae2e2 所以，由xa∈(0，2]，得＝＜h(a)＝≤＝. 20＋2xa＋22＋24 1e2ex因为单调递增，对任意的λ∈2，4，存在唯一的xa∈(0，2]，a＝－f(xa)∈[0，1)， x＋21e使得h(a)＝λ，所以h(a)的值域是2，4. 1e 综上，当a∈[0，1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是2，4. 5．解：(1)f′(x)＝－2αsin 2x－(α－1)sin x. (2)当α≥1时， |f(x)|＝|αcos 2x＋(α－1)(cos x＋1)| ≤α＋2(α－1) ＝3α－2＝f(0)． 因此A＝3α－2. 当0＜α＜1时，将f(x)变形为f(x)＝2αcos2x＋(α－1)cos x－1. 26 2 2 令g(t)＝2αt2＋(α－1)t－1， 1－α 则A是|g(t)|在[－1，1]上的最大值，g(－1)＝α，g(1)＝3α－2，且当t＝时，g(t)取得 4αα＋6α＋11－α 极小值，极小值为g＝－. 8α4α 1－α1 令－1＜＜1，得α＞. 4α5 1 (i)当0＜α≤时，g(t)在[－1，1]内无极值点，|g(－1)|＝α， 5|g(1)|＝2－3α，|g(－1)|＜|g(1)|，所以A＝2－3α. 1－α1－α1 (ii)当＜α＜1时，由g(－1)－g(1)＝2(1－α)＞0，知g(－1)＞g(1)＞g54α.又g4α－|g(－1)|＝ （1－α）（1＋7α） ＞0， 8α 2 2 1－αα＋6α＋1 所以A＝g4α＝8α. 综上，A＝α＋6α＋11 ，＜α＜1，8α53α－2，α≥1. 2 1 2－3α，0＜α≤， 5 (3)证明：由(1)得 |f′(x)|＝|－2αsin 2x－(α－1)sin x|≤2α＋|α－1|. 1 当0＜α≤时，|f′(x)|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A. 51α13 当＜α＜1时，A＝＋＋＞1，所以|f′(x)|≤1＋α＜2A. 588α4当α≥1时，|f′(x)|≤3α－1≤6α－4＝2A. 所以|f′(x)|≤2A. 6．解：(1)因为f(x)＝xeax＋bx， － 所以f′(x)＝(1－x)eax＋b. － a2 f（2）＝2e＋2，2e＋2b＝2e＋2， 依题设，即a－2 f′（2）＝e－1，－e＋b＝e－1， － 解得a＝2，b＝e. (2)由(1)知f(x)＝xe2x＋ex. － 由f′(x)＝e2x(1－x＋ex1)及e2x＞0知，f′(x)与 － － － 1－x＋ex －1 同号． － － 令g(x)＝1－x＋ex1，则g′(x)＝－1＋ex1. 所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减； 27 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)． 故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 模块4 三角函数与解三角形 πππ23 －α＝coscos α＋sin sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α1．解析：选D.因为cos4442532187 ＋cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故选D. 52525 sin α32．解析：选A.法一：(通性通法)由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得 cos α4 4cos α＝5 3sin α＝， 5 或 24164864 则sin 2α＝2sin αcos α＝，则cosα＋2sin 2α＝＋＝. 252525254 cos α＝－5， 2 3 sin α＝－，5 cos2α＋4sin αcos α1＋4tan α1＋364 法二：(光速解法)cosα＋2sin 2α＝＝＝＝. 925cos2α＋sin2α1＋tan2α 1＋16 2 1π 3．解析：选C.设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin ＝3423295 c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b222252292 c＋c－c 2b＋c－a21010 ＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故选C. 22bc1010 2³c³c 2 2 2 2 4．解析：选A.设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b， 解得b＝1，即AC＝1. ππ 2x－＝sin2x－，所以只需把函数y＝sin 2x的图象上5．解析：选D.因为y＝sin36π 所有的点向右平行移动个单位长度即可，故选D. 6 π 6．解析：选B.函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表 12πππkππ x＋，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称达式为y＝2sin 21212226 28 kππ 轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B. 26 πππkT 7．解析：选B.因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图像的对称轴，所以＝ 4422π5πT2ππ11 ，单调，所以T≥，k≤，又当＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在18364622k＋1π5ππ5πππ ，不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在，k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在1836183644单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9. π x－的图像可由函数y＝sin x＋3cos x＝8．解析：函数y＝sin x－3cos x＝2sin3π2π x＋的图像至少向右平移个单位长度得到． 2sin33 2π答案： 3 45 9．解析：法一：因为cos A＝，cos C＝， 513 31235412 所以sin A＝，sin C＝，从而sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝ 51351351363abasin B21 .由正弦定理＝，得b＝＝. 65sin Asin Bsin A13 45312 法二： 因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，从而cos B＝－cos(A＋C) 5135134531216acasin C20 ＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－×＋×＝.由正弦定理＝，得c＝＝.51351365sin Asin Csin A1321 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b＝. 13 45312 法三：因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝， 513513acasin C20 由正弦定理＝，得c＝＝. sin Asin Csin A1321 从而b＝acos C＋ccos A＝. 13 5512 法四：如图，作BD⊥AC于点D，由cos C＝，a＝BC＝1，知CD＝，BD＝. 1313134316 又cos A＝，所以tan A＝，从而AD＝. 541321 故b＝AD＋DC＝. 1321答案： 13 10．解：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 29 2cos Csin(A＋B)＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. 1π 可得cos C＝，所以C＝. 23133 (2)由已知，absin C＝. 22π 又C＝，所以ab＝6. 3 由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7， 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周长为5＋7. 4 11．解：(1)因为cos B＝，0 由正弦定理知＝，所以AB＝＝＝52. sin Bsin Csin B3 5(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)， πB＋ 于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos4π π ＝－cos Bcos ＋sin Bsin， 4443 又cos B＝，sin B＝， 5542322 故cos A＝－×＋×＝－. 525210因为0 .因此， 10 431－5＝5. 2πππ2372172－6A－＝cos Acos ＋sin Asin ＝－×＋cos ×＝. 6661021022012．解：(1)证明：由正弦定理得 sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以， B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B， 所以A＝2B. 30 a21a2 (2)由S＝，得absin C＝，故有 4241 sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B， 2因为sin B≠0，所以sin C＝cos B， π 又B，C∈(0，π)，所以C＝±B. 2ππ 当B＋C＝时，A＝； 22ππ 当C－B＝时，A＝. 24ππ 综上，A＝或A＝. 2413．解：(1)证明：由题意知 sin Asin Bsin Asin B＋2＝＋cos Acos Bcos Acos Bcos Acos B， 化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B， 即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B， 因为A＋B＋C＝π. 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A＋sin B＝2sin C. 由正弦定理得a＋b＝2c. a＋b (2)由(1)知c＝， 2a2＋b2－c2 所以cos C＝＝ 2ab3ab11＋－≥， ＝8ba42 当且仅当a＝b时，等号成立． 1故cos C的最小值为. 2 a＋ba＋b－22 2 2 2ab 模块5 平面向量、数系的扩充与复数的引入 1．解析：选B.因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝ 选B. 2．解析：选A.由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以 m＋3＞0， 解得－3＜m＜1，故选A. m－1＜0， 12＋12＝2， 31 3．解析：选D.由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D. 4i4i4．解析：选C.＝＝i. zz－1（1＋2i）（1－2i）－15．解析：选B.由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0， 即tm·n＋n2＝0， n2n2所以t＝－＝－ m·n|m|·|n|cos〈m，n〉 |n|4 ＝－＝－3³＝－3³＝－4.故选B. 1|m|3 |m|³|n|³ 3 1331 →→³＋³ 22BA²BC223 6．解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC＝＝＝，2→→1³1 |BA|²|BC|则∠ABC＝30°. 7．解析：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a⊥b ，则m＋2＝0， 所以m＝－2. 答案：2 |n|2 模块6 数 列 1．解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C. 2．解析：选C.由题意得，an＝a1qn1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n2＋a1q2n1＝a1q2n2(1＋q)．若 － － － － q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充 － 分条件，故选C. 1 3．解析：设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3 21 ＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2„an≤a1a2a3a4＝64. 2 答案：64 a1＋a2＝4 4．解析：由于，解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所 a2＝2a1＋1 111313 Sn＋，所以{Sn＋}是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝³3n－以Sn＋1＋＝3222222 1 3n－1 ，即Sn＝，所以S5＝121. 2 答案：1 121 32 5．解：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通项公式为an＝n. b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2. 1，10≤n＜100， (2)因为b＝ 2，100≤n＜1 000，3，n＝1 000， n 0，1≤n＜10， 所以数列{bn}的前1 000项和为1³90＋2³900＋3³1＝1 893. 1 6．解：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a≠0. 1－λ1 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0， an＋1λ所以＝. anλ－1 1λ1λn－1 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝. 1－λλ－11－λλ－1λλ31λ311(2)由(1)得Sn＝1－λ－1.由S5＝得1－λ－1＝，即λ－1＝. 323232 n 5 5 解得λ＝－1. 7．解：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1， 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立． 所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列． 从而an＝qn1. － 由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得 2a3＝3a2＋2，得2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0， 由已知，q>0，故q＝2. 所以an＝2n1(n∈N*)． － (2)证明：由(1)可知，an＝qn1. － y22（n－1） 所以双曲线x－2＝1的离心率en＝1＋a2. n＝1＋qan 2 54由e2＝1＋q2＝得q＝. 33因为1＋q2(k －1) >q2(k －1) ，所以1＋q2（k－1） >qk1(k∈N*)． － 于是e1＋e2＋„＋en>1＋q＋„＋q n－1 qn－1 ＝， q－1 33 4n－3n 故e1＋e2＋„＋en>n－1. 3 模块7 不等式、推理与证明 1．解析：选C.设a1，a2，a3，„，ak中0的个数为t，则1的个数为k－t， t≤k≤2tk≤8 由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，则. t≤4k，t∈N法一：当t＝1时，k＝1，2，当t＝2时，k＝2，3，4， 当t＝3时，k＝3，4，5，6，当t＝4时，k＝4，5，6，7，8， ∴“规范数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)． t≤k≤2t k≤8 法二：问题即是表示的区域的整点(格点)的个数， t≤4k，t∈N 如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范数列”共有14个． 2．解析：选B.若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C；故选B. x－y＋2≥0， 3．解析：选B.法一：(通性通法)如图，已知约束条件2x＋3y－6≥0，所表示的平面区 3x＋2y－9≤0域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0，2)，B(3，0)，C(1，3)．根据目标函2z 数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3，0)时，z取得最小值2³3＋5³0＝6. 55 34 x－y＋2≥0， 法二：(光速解法)由题意知，约束条件2x＋3y－6≥0，所表示的平面区域的顶点分别为 3x＋2y－9≤0A(0，2)，B(3，0)，C(1，3)．将A，B，C三点的坐标分别代入z＝2x＋5y，得z＝10，6，17，故z的最小值为6. 4.解析：选C.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形， 又C(2，－2)，D(－1，1)， 所以|AB|＝|CD|＝（2＋1）2＋（－2－1）2＝32. 1 1，、(0，1)和(－2，－1)为顶点的三角形，5．解析：约束条件对应的平面区域是以点213 1，时，z取得最大值. 当目标函数y＝－x＋z经过点22 3 答案： 2 6．解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性 x＋0.3y≤90， 约束条件为5x＋3y≤600， x≥0，y≥0， 216 000(元)． 1.5x＋0.5y≤150， 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由 x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax＝2 100³60＋900³100＝ 35 答案：216 000 7．解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A. 答案：1和3 模块8 立体几何 1．解析：选C.因为α∩β＝l.所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l. 1 2．解析：选A.由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为8742873 r，故³πr3＝π，所以r＝2，表面积S＝³4πr2＋πr2＝17π，选A. 83384 3．解析：选C.该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝22＋（23）2＝4，圆柱的高h＝4，所以该几1 何体的表面积S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C. 2 4．解析：选B.由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为35和3，故面积都为95，则该几何体的表面积为2(9＋18＋95)＝54＋185. 5．解析：选B.由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球334π279π 可与上下底面相切，此时球的半径R＝，该球的体积最大，Vmax＝πR3＝³＝. 24382 6．解析：选A.因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为 3，选A. 2 7．解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误： 36 如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立． 命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确． 由平面与平面平行的定义知命题③正确． 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确． 答案：②③④ 8．解：(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC. 又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC. (2)过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF. →→ 以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz. 由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝3， 可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，3)． 由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF. 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，∠CEF＝→→→ 60°.从而可得C(－2，0，3)．连接AC，则EC＝(1，0，3)，EB＝(0，4，0)，AC＝(－3，－4，3)， → AB＝(－4，0，0)． →EC＝0，x＋3z＝0，n· 设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即 →4y＝0，EB＝0，n·所以可取n＝(3，0，－3)． →AC＝0，m· 设m是平面ABCD的法向量，则 →AB＝0，m· n·m219 同理可取m＝(0，3，4)．则cos〈n，m〉＝＝－. |n||m|19 37 219故二面角E-BC-A的余弦值为－. 19 9．解：(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. AECF 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF. ADCD因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6得 DO＝BO＝AB2－AO2＝4. OHAE1 由EF∥AC得＝＝. DOAD4所以OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2， 故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H， 所以D′H⊥平面ABCD. →→→ (2)如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴正方向，HD的方向为y轴正方向，HD′的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0，0，0)，A(－3，－1，0)，B(0，－5，→→→ 0)，C(3，－1，0)，D′(0，0，3)，AB＝(3，－4，0)，AC＝(6，0，0)，AD′＝(3，1，3)． 设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则 →3x1－4y1＝0，AB＝0，m·即 →3x＋y＋3z＝0，1AD′＝0，11m· 所以可取m＝(4，3，－5)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量， →AC＝0，n·6x2＝0， 则即 →3x＋y＋3z＝0，222AD′＝0，n·所以可取n＝(0，－3，1)． －14m·n75 于是cos〈m，n〉＝＝＝－， |m||n|2550³10295sin〈m，n〉＝. 25 295 因此二面角B-D′A-C的正弦值是. 252 10．解：(1)证明：由已知得AM＝AD＝2. 3取BP的中点T，连接AT，TN. 38 1 由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2. 2 又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB. (2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝AB2－BE2＝ BCAB－2＝5. 2 2 → 以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知， P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，2，0)，N 5→，1，2，PM＝2 55→→ (0，2，－4)，PN＝，1，－2，AN＝，1，2. 22 2y－4z＝0，→PM＝0，n· 设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即5 →x＋y－2z＝0，PN＝0，n·2可取n＝(0，2，1)． → |n·AN|85→ 于是|cos 〈n，AN〉|＝＝， 25→ |n||AN|85则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为. 2511．证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F， 所以直线DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1， 所以B1D⊥平面A1C1F. 因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 39 模块9 平面解析几何 l1．解析：选A.由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1，4)，|a＋4－1|4 由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得a＝－，故选A. 3a2＋1 2．解析：选A.由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3. 3．解析：选B.由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，4p16p ，22，D－，5，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得2＋8＝＋5，得p＝4，可取Ap2p4所以选B. c2y2y2c2 4．解析：选A.设F1(－c，0)，将x＝－c代入双曲线方程，得2－2＝1，所以2＝2－1 abbab2 22 b2b21|MF1|ab2c－aca＝2，所以y＝±.因为sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝＝＝＝－aa3|F1F2|2c2ac2ac2a2ce122 ＝－＝，所以e2－e－1＝0，所以e＝2.故选A. 22e42 mcxy －c，m－，5．解析：选A.设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知Maammcmm m－－ a22c10，m和B(a，0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝. 2a3－c－a 6．解析：选D.根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线bb 方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得 22xA＝ 42b32b2，y＝，故四边形ABCD的面积为4xy＝2＝2b，解得b＝12，故所AAA224＋b4＋b4＋b 2 x2y2 求的双曲线方程为－＝1，故选D. 412 7．解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长|AB|＝212－d2＝23，得d＝3，即|3m－3| m2＋1 ＝3，解得m＝－ 3 ，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝3 |AB| ＝4. cos 30° 答案：4 8．解析：由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9. 答案：9 40 9．解：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC. 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4， 所以|EA|＋|EB|＝4. x2y2 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 43(2)当l与x轴不垂直时， 设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． y＝k（x－1），22由xy得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 4＋3＝1，4k2－128k2 则x1＋x2＝2，x1x2＝2， 4k＋34k＋312（k2＋1） 所以|MN|＝1＋k|x1－x2|＝. 4k2＋3 212 过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为2， kk＋1所以|PQ|＝2 22 4－2＝4 k＋1 2 4k2＋3 . k2＋1 11＋2. 4k＋3 1 故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12 2 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83)． 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83)． 10．解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0. x2y2 当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0)． 43π 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为. 4因此直线AM的方程为y＝x＋2. x2y2 将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0. 431212 解得y＝0或y＝，所以y1＝. 77 11212144 因此△AMN的面积S△AMN＝2³³³＝. 27749 x2y2 (2)由题意知t＞3，k＞0，A(－t，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入＋＝1得 t3(3＋tk2)x2＋2t²tk2x＋t2k2－3t＝0. 41 t2k2－3tt（3－tk2） 由x1²(－t)＝得x1＝，故 3＋tk23＋tk26t（1＋k2） |AM|＝|x1＋t|1＋k＝. 3＋tk226kt（1＋k2）1 由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋t)，故同理可得|AN|＝.由2|AM| k3k2＋t＝|AN|得 2k ，即(k3－2)t＝3k(2k－1)． 2＝23＋tk3k＋t 3k（2k－1）3 当k＝2时上式不成立，因此t＝. k3－2 k3－2k2＋k－2（k－2）（k2＋1）k－2 t＞3等价于＝＜0，即＜0. k3－2k3－2k3－2 k－2＞0，k－2＜0，3 由此得3或3解得2＜k＜2. k－2＜0k－2＞0， 3因此k的取值范围是(2，2)． 1 11．解：由题知F2，0.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0， 22 ab111a＋b，a，B，b，P－，a，Q－，b，R－，且A. 222222 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0. (1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 a－ba－b1－ab k1＝＝＝＝－b＝k2.所以AR∥FQ. 2＝2a1＋aa－aba 1|a－b|11 x1－，S△PQF＝(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|. 22221|a－b| x1－＝由题设可得|b－a|，所以x1＝0(舍去)或x1＝1. 22设满足条件的AB的中点为E(x，y)． 2y 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)． a＋bx－1而 a＋b ＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以，所求轨迹2 方程为y2＝x－1. 12．解：(1)由题意得1解得a＝2，b＝1. ab＝1，2 a＝b＋c， 2 2 2 c3＝，a2 42 x22 所以椭圆C的方程为＋y＝1. 4(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1)． 2 设P(x0，y0)，则x20＋4y0＝4. y0当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)． x0－22y02y0令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋|. x0－2x0－2y0－1 直线PB的方程为y＝x＋1. x0 x0x0令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋|. y0－1y0－1所以|AN|·|BM|＝|2＋ x02y0|²|1＋| y0－1x0－2 2 x20＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4＝|| x0y0－x0－2y0＋2 4x0y0－4x0－8y0＋8＝|| x0y0－x0－2y0＋2＝4. 当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4. 综上，|AN|²|BM|为定值． 模块10 计数原理、概率、随机变量及其分布 1．解析：选B.由题意得图： 1由图得等车时间不超过10分钟的概率为. 2 2．解析：选B.由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6³3＝18种走法，故选B. 0≤xn≤12 3．解析：选C.设由构成的正方形的面积为S，x2n＋yn＜1构成的图形的面积为 0≤yn≤1 1 πS′4m4m S′，所以＝＝，所以π＝，故选C. S1nn rr5－rr5－rr4．解析：由(2x＋x)5得Tr＋1＝Cr(2x)(x)＝2Cx5－，令5－＝3得r＝4，此时55 22系数为10. 答案：10 43 33 2，， 5．解析：由题意知，试验成功的概率p＝，故X～B44 33 所以E(X)＝2³＝. 423答案： 2 6．解析：二项展开式的通项＝3，故x7的系数为－C38＝－56. 答案：－56 7．解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD. 由事件的独立性与互斥性，得 P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋ P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)·P(C)P(D) 3232123231322＝³³³＋2³(³³³＋³³³)＝. 43434343434332所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. 3 (2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得 11111 P(X＝0)＝³³³＝， 4343144 31111211105 P(X＝1)＝2³(³³³＋³³³)＝＝， 4343434314472 313131121231121225 P(X＝2)＝³³³＋³³³＋³³³＋³³³＝， 434343434343434314432111132121 P(X＝3)＝³³³＋³³³＝＝. 434343431441232313212605 P(X＝4)＝2³(³³³＋³³³)＝＝， 43434343144123232361 P(X＝6)＝³³³＝＝. 43431444可得随机变量X的分布列为 X P 0 1 1441 5 722 25 14444 28－r Tr＋1＝Cr8(x) 16－3r－1＝(－1)rCr x，令16－3r＝7，得r8 xr 3 1 124 5 126 1 4所以数学期望EX＝0³ 152515123＋1³＋2³＋3³＋4³＋6³＝. 14472144121246 8．解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而 P(X＝16)＝0.2³0.2＝0.04； P(X＝17)＝2³0.2³0.4＝0.16； P(X＝18)＝2³0.2³0.2＋0.4³0.4＝0.24； P(X＝19)＝2³0.2³0.2＋2³0.4³0.2＝0.24； P(X＝20)＝2³0.2³0.4＋0.2³0.2＝0.2； P(X＝21)＝2³0.2³0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2³0.2＝0.04. 所以X的分布列为 X P (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时， EY＝19³200³0.68＋(19³200＋500)³0.2＋(19³200＋2³500)³0.08＋(19³200＋3³500)³0.04＝4 040. 当n＝20时， EY＝20³200³0.88＋(20³200＋500)³0.08＋(20³200＋2³500)³0.04＝4 080. 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. 9．解：(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55. (2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝3因此所求概率为. 11 (3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为 X P 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 P（AB）P（B）0.153 ＝＝＝. P（A）P（A）0.5511 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 EX＝0.85a³0.30＋a³0.15＋1.25a³0.20＋1.5a³0.20＋1.75a³0.10＋2a³0.05＝1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 45 模块11 统计、统计案例及算法初步 1．解析：选C.运行程序，第1次循环得x＝0，y＝1，n＝2， 1 第2次循环得x＝，y＝2，n＝3， 23 第3次循环得x＝，y＝6， 2 此时x2＋y2≥36，输出x，y，满足C选项． 2．解析：选C.由程序框图知， 第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0³2＋2＝2，k＝1； 第二次循环：a＝2，s＝2³2＋2＝6，k＝2； 第三次循环：a＝5，s＝6³2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C. 3．解析：选D.由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D错误． 4．解析：选B.运行程序框图，第1次循环，a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第2次循环，a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第3次循环，a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第4次循环，a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4，结束循环，故输出的n＝4. 12C113C4＋C35．解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 2C103 1 所以，事件A发生的概率为. 3 (2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2. 22 C243＋C3＋C4 P(X＝0)＝＝， 2C1015111C173C3＋C3C4 P(X＝1)＝＝， 2C10151C143C4P(X＝2)＝2＝. C1015 所以，随机变量X的分布列为 X P 0 4 151 7 152 4 15474随机变量X的数学期望E(X)＝0³＋1³＋2³＝1. 1515156．解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t＝4， (ti－t)2＝28， i＝17 46 i＝1 （ti－t）2=0.55, 7 i＝1 (ti－t)(yi－y)= tiyi-t y＝40.17－4×9.32＝2.89， i＝1 i＝1 777 r＝ 2.89 ≈0.99. 0.55³2³2.646 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系． 7 9.32^(2)由y＝≈1.331及(1)得b＝ 7 i＝1 (ti－t)(yi－y) ＝i＝1 （ti－t 7 2.89 ≈0.103， 28 ^^ a＝yy－bt≈1.331－0.103³4≈0.92. ^ 所以，y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t. ^ 将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10³9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨． 模块12 坐标系与参数方程 1．解析：将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x－3y－1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，又(1，0)在直线x－3y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2. 答案：2 2．解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆． 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 22ρ－2ρsin θ＋1－a＝0， ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上． 47 所以a＝1. 3．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos2α－44. 3151515由|AB|＝10得cos2α＝，tan α＝±.所以l的斜率为或－. 8333x22 4．解：(1)C1的普通方程为＋y＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0. 3(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cos α，sin α). 因为C2是直线， 所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值， d(α)＝| 3cos α＋sin α－4|α＋π－2. ＝2sin32 31π 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为2，2. 6y2 5．解：椭圆C的普通方程为x＋＝1. 4 2 1x＝1＋t， 2y22 将直线l的参数方程代入x＋＝1，得 43 y＝t 2 161621＋1t＋＝1，即7t＋16t＝0，解得t＝0，t＝－.所以AB＝|t－t|＝. 1212 2477 2 2 3t2 模块13 不等式选讲 3x－2，－1＜x≤3，2 1．解：(1)f(x)＝ 3－x＋4，x＞，2 y＝f(x)的图像如图所示． (2)由f(x)的表达式及图像知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3； 1 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5. 3 x－4，x≤－1， 48 1x＜或x＞5. 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}；f(x)＜－1的解集为x3所以|f(x)|＞1的解集为 1 xx＜或1＜x＜3或x＞5. 3 112．解：(1)f(x)＝1，－2＜x＜2， 12x，x≥2.1 当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1； 211 当－＜x＜时，f(x)＜2； 22 1 当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1. 2所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}． (2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2 ＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0. 因此|a＋b|＜|1＋ab|. 3．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当x∈R时， f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x| ≥|2x－a＋1－2x|＋a ＝|1－a|＋a. 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.① 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解． 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范围是[2，＋∞)． aa 4．证明：因为|x－1|<，|y－2|<， 33 aa 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a. 33 1 －2x，x≤－， 2 49 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容