点、线、面之间的位置关系练习题

点、线、面之间的位置关系练习题（1）

一、选择题： 1．以下命题正确的是

（ ）

A．两个平面可以只有一个交点

B．一条直线与一个平面最多有一个公共点 C．两个平面有一个公共点，它们可能相交 D．两个平面有三个公共点，它们一定重合 2．下面四个说法中，正确的个数为

（ ）

（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 （2）两条直线可以确定一个平面

（3）若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l （4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内 A．1 C．3

B．2 D．4

3．ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是

（ ）

B．M、O、A1、A四点共面 D．B、B1、O、M四点共面

（ ）

D．α∥β或α与β相交

A．A、M、O三点共线 C．A、O、C、M四点共面

4．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 A．α∥β

B．α与β相交

C．α与β重合 （ ）

5．两等角的一组对应边平行，则

A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行

C．另一组对应边也不可能垂直 D．以上都不对

6．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2， E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是（ ）

A．1

B．2

C．

2 2D．

1 27．平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点， 则EF与α的关系是 A．平行

B．相交

（ ） C．垂直 （ ）

D．有无数个 D．不能确定

8．经过平面外两点与这个平面平行的平面 A．只有一个

B．至少有一个 C．可能没有

9．已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对 角线AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于（ ） A．10

B．15

C．20

D．25

（ ）

10．若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是 A．三个平面共线；

B．有两个平面平行且都与第三个平面相交；

C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交； D．三个平面两两相交。

二、填空题．

11．如图所示，平面M、N互相垂直，棱l上有两点A、B， ACM，BDN，且AC⊥l，AB＝8cm，AC＝6 cm， BD＝24 cm，则CD＝_________．

12．如图所示，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是 △ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN＝___________． 13．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过P点的两条直 线PAC、PBD分别交α于A、B，交β于C、D，且PA=6， AC=9，AB=8，则CD的长为___________．

14．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，D1到B1C的 距离为_________， A到A1C的距离为_______． 三、解答题

15．设P是△ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，∠BAC为直角. 求证：平面PCB⊥平面ABC．

16．（12分）如图所示，三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

17．（12分）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点，G为DD1上一点，且D1G：GD＝1：2，AC∩BD＝O，求证：平面AGO//平面D1EF．

18．（12分）如图所示，已知空间四边形ABCD，E、F分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且

19．（14分）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a． （1）求证：MN∥平面PAD； （2）求证：平面PMC⊥平面PCD．

20．（14分）如图2－72，棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，

（1）求证：E、F、B、D四点共面； （2）求四边形EFDB的面积．

CFCG2，求证直线EF、GH、AC交于一点． CBCD3

参考答案

一、CADDD BACAC

二、11．26 cm；12．2；13．20或4；14．6a ，6a；

23三、15．证明：如答图所示，取BC的中点D，连结PD、AD， ∵D是直角三角形ABC的斜边BC的中点 ∴BD=CD=AD，又PA=PB=PC，PD是公共边

A ∴∠PDA=∠PDB=∠POC=90°

B

∴PD⊥BC，PD⊥DA，PD⊥平面ABC ∴又PD平面PCB ∴平面PCB⊥平面ABC.

16．证明：如答图所示，设已知平面α、β、γ， α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，如果l1、 l2、 l3中有任意两条交于一点P，设l1∩ l2＝P，即P∈l1， P∈l2，那么P∈α，P∈γ，则点P在平面α、γ的 交线l3上，即l1、 l2、 l3交于一点如（a）图；如果l1、 l2、 l3中任何两条都不相交，那么，因为任意两条都共 面，所以l1∥ l2∥ l3如（b）图.

17．如答图所示，设EF∩BD＝H，在△DD1H中，

DO2DG，

DH3DD1P D

C P l1 l2

β α γ (a)

l3

l1 α γ β l3 l2 (b)

D1

A1

G D O A

E

H B

F

C1

B1

C ∴GO//D1H，又GO平面D1EF，D1H平面D1EF， ∴GO//平面D1EF，

在△BAO中，BE＝EF，BH＝HO，∴EH//AO

AO平面D1EF，EH平面D1EF，∴AO//平面D1EF AO∩GO＝O，∴平面AGO//平面D1EF.

18．如答图所示，∵AE＝EB，AH＝HD，∴EH//BD，且EH＝

A 12BD， ∵CFCBCGCD23，∴FG//BD，且FG＝23BD，

∴EH//FG，且EH≠FG，

故四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交， 设交点为P，P∈平面ABC，又P∈平面DAC， 又平面BAC∩平面DAC＝AC，故P∈AC， 即EF、GH、AC交于一点.

19．证明：如答图所示，⑴设PD的中点为E，连结AE、NE，由N为PD的中点知EN//12DC， 又ABCD是矩形，∴DC//AB，∴EN//12AB 又M是AB的中点，∴EN//AN， ∴AMNE是平行四边形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD ∴MN∥平面PAD

证明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD， 又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD， ∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD， ∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，

H

E

D G

B

F

C

P E N D C

A

M

B

又MN平面PMC， ∴平面PMC⊥平面PCD.

20． ⑴证明：如答图所示，连结B1D1，在△C1B1D1中，C1E＝EB1，C1F＝FD1 ，∴EF//B1D1，且EF＝

1B1D1，又A1A//B1B，A1A//D1D，∴B1B//D1D，∴四边形BB1D1D2D1 A1 D A

H B F C1 B1 E G C

是平行四边形. ∴B1D//BD，EF//BD，∴E、F、D、B四点共面 ⑵由AB＝a，知BD＝B1D1＝2a，EF＝

2a， 2DF＝BE＝

2aBBB1E＝a5a， 222122EF2 过F作FH⊥DB于H，则DH＝DBa24∴FH＝DF2DH25a22a218a232a

41616413232292

四边形的面积为SEFBD1(EFBD)FH1(2a2a)32a＝aa22482224