第三章_可测函数的知识要点与复习自测

一、可测函数的定义的知识要点：

◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。

◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。

◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过

m2m1kk1对值域区间作不交区间分解（即[0,]{[m,m)}[m,]），再借助逆象集

k022导出可测集E的有限不交可测分解的方法，即

m2m1kk1EE[x0f(x)]E[xmf(x)m]E[xf(x)m]，

k022并能根据这样的分解将非负可测函数f(x)具体表示成一列单调递增非负简单函数列{m(x)}的极限，即f(x)limm(x)，其中

mkkk1,xE[xf(x)]k0,1,,m2m1mmm22m(x)2。

m,xE[xf(x)m]◇ 掌握一般可测函数的定义及等价条件，并能根据定义及等价条件证明一些具体实函数的可测性（比如：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；R1上的区间上的单调函数等），并能正确说明可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数；

◇ 能根据可测函数的定义及等价定义中所涉及的逆象集的可测性证明R1上的区间，开集，闭集，Borel集在可测函数下的逆象集仍为可测集。

复习自测题：

1、证明：

（1）设ER为可测集，f(x)为E上的非负简单函数，Gp(f,E)表示f(x)在E上的下方图形，则Gp(f,E)为Rnn1n上的可测集，并给出mGp(f,E)的一个计算公式； 上的可测集，并给出mGp(f,E)的一个计算公式。

（2）设ER为可测集，f(x)为E上的非负可测函数，Gp(f,E)表示f(x)在E上的下方图形，则Gp(f,E)为Rnn12、证明：可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数。

1,xEn3、（1）设ER，E(x)（xR）为E的示性函数，证明：E(x)为n0,xR\\ERn上的可测函数E为Rn中的可测集；

n（2）利用（1）据理说明：设ER为可测集，f(x)为E上的非负简单函数（或非负可测函数），Gp(f,E)ER1Rn1表示f(x)在E上的下方图形，则

G1,x,yGp(f,E)1(x,y)，， x,yER(f,E)1p0,x,yER\\G(f,E)p1n1为ERR上的可测函数。

4、设ER为可测集，f(x)为E上的可测函数，证明： （1）对R上的任意区间I，f1(I)为R上的可测集；

（2）对R上的开集G和闭集F，f1(G)和f1(F)为R上的可测集； （3）对R上的G型集G和F型集F，f1(G)和f1(F)为R上的可测集； （4）对R上的Borel集G，f1(G)为R上的可测集。

5、（1）设ER为可测集，f(x)为E上的实函数，证明：f(x)为E上的可测函数n对任意a,bR，ab，Exf(x)都是R中的可测集； xaf(x)b和En1nn111nnn提示：

Exaf(x)Exaf(x)Exf(x) Exak1f(x)akExf(x).k1n（2）设ER为可测集，f(x)为E上的几乎处处有限的实函数，证明：f(x)为E上

n的可测函数对任意a,bR，ab，Exaf(x)b是R中的可测集。

16、证明：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；R上的区间上的单调函数都是可测函数。

7、设ER为可测集，且mE，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数， （1）证明：对任意0，存在可测子集EE，使得f(x)在E上有界，且

nmE\\E；

（2）利用（1）和可测集与闭集的关系进一步证明：对任意0，存在闭子集EE，使得f(x)在E上有界，且mE\\E。

Exf(x)k提示：Exf(x)k，Exf(x)k单调递减。 1

二、可测函数的基本性质的知识要点：

◇ 掌握可测函数的基本性质，并能熟练地利用性质来判断一些函数的可测性； ◇ 掌握一般几乎处处有限的可测函数与简单函数列的极限关系，并体会此关系在讨论可测函数与连续函数之间关系（Lusin定理）中的作用。

利用可测函数的定义和等价条件

◇ 归纳判断函数可测性的常用方法

利用可测函数的基本性质

复习自测题：

1、利用可测函数的子集性和并集性证明：

（1）设f(x)定义在(a,b)上，若对任意的0，f(x)为[a,b]上可测函数，则f(x)必为(a,b)上的可测函数；

（2）设ER为可测集，f(x)为E上的可测函数，则

nf(x),xE[xf(x)0]f(x)sgnf(x)0,xE[xf(x)0]，

f(x),xE[xf(x)0]为E上的可测可测函数；

2、利用可测函数列的极限性证明：

（1）若一元实函数f(x)在(,)上可导，则导函数f(x)必为(,)上的可测函数；

（2）若将（1）中的“(,)”改为“有限开区间(a,b)”，则如何证明f(x)仍为(a,b)上的可测函数。

3、设ER为可测集，f(x)为E上的有限可测函数，F(u)为GR1上的连续函数，且f(E)G，则Ff(x)Ff(x)为E上的可测函数。

4、设ER为可测集，f(x)为E上的有限可测函数，F(x,y)为R（1）对任意固定的xE，F(x,y)为y的连续函数， （2）对于任意固定的yR1，F(x,y)为E上的可测函数 证明：F(x,f(x))为E上的可测函数。

nn1n上实函数，满足：

三、可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系（叶果洛夫定理）的知识要点：

◇ 能正确的写出叶果洛夫定理，理解并掌握叶果洛夫定理的条件和结论；注意体会定理中的条件在定理证明中的作用，体会导致定理结论成立的关键条件，即

0，limmE[xfk(x)f(x)]0，

nkn明白为什么叶果洛夫定理中“mE”和“可测函数列中每一项函数以及它的极限函数都要求是几乎处处有限的”这两个条件都是不可缺少的条件的原因。

◇ 叶果洛夫定理中导致结论成立的关键条件：

0，limmE[xfk(x)f(x)]0，

nknx)fx(a)e.于.E以及除了能导致定理的结论成立外，为什么还能导出limfn(n于E，进而明白条件： fn(x)f(x)0，limmE[xfk(x)f(x)]0，

nkn实际上是

（1）limfn(x)f(x)a.e.于E，

n（2）fn(x)f(x)于E，

（3）fn(x)在E上本性一致收敛于f(x)，

这三者之间的纽带。

◇ 掌握叶果洛夫定理结论在应用中便于应用的两种细致形式： 设E为可测集，且mE，fn(x)（n1,2,），f(x)都是E上几乎处处有限的可测函数，若limfn(x)f(x)a.e.于E，则

n（1）存在E的一列可测子集En，使得在每个En上，fn(x)一致收敛于f(x)，

1且mE\\En，进而mE\\En0；

nn1（2）存在E的一列单调递增的可测子集En，使得在每个En上，fn(x)一致

1收敛于f(x)，且mE\\En，进而mE\\En0。

nn1◇ 能正确的写出叶果洛夫定理的逆定理，并掌握叶果洛夫定理的逆定理的证明，并体会叶果洛夫定理结论的细致形式在证明中所起的作用（实际上叶果洛夫定

理的逆定理的证明方法也是证明一个函数列几乎处处收敛时所采用的常用方法）。

◇ 能根据叶果洛夫定理以及它的逆定理据理说明：在mE的条件下， （1）limfk(x)f(x)a.e.于E，

k（2）关键条件：0，limmE[xfk(x)f(x)]0，

nkn（3）叶果洛夫定理结论：fk(x)在E上本性一致收敛于f(x)， 三者之间的关系是等价关系。

复习自测题：

1、利用叶果洛夫定理证明：设ER为可测集，且mE，fk(x)k1,2,，f(x)n都是E上几乎处处有限的可测函数，若limfk(x)f(x)a.e.于E，则对任意0，存在可测

k子集EE，使得fk(x)在E上一致有界，且mE\\E；

提示：利用“二”中的自测题的第6题和叶果洛夫定理。

2、设ER为可测集，fk(x)k1,2,，f(x)都是E上几乎处处有限的可测函数，

n若0，limmE[xfk(x)f(x)]0，则

nknlimfk(x)f(x)a.e.于E。

k3、设ER为可测集，fk(x)k1,2,，f(x)都是E上几乎处处有限的可测函数，

n若0，limmE[xfk(x)f(x)]0，则

nkn0，存在可测子集EE，使得fk(x)在E上一致收敛于f(x)，且mE\\E。

4、设ER为可测集，fk(x)k1,2,，f(x)都是E上几乎处处有限的可测函数，

n若0，limmE[xfk(x)f(x)]0，则

nkn0，limmE[xfn(x)f(x)]0，即fk(x)f(x)于E。

n

四、可测函数列几乎处处收敛与依测度收敛之间的关系的知识要点：

◇ 掌握几乎处处有限的可测函数列依测度收敛的定义以及依测度收敛的若干性质，并能从中体会验证函数列依测度收敛的方法。

◇ 掌握几乎处处有限的可测函数列几乎处处收敛与依测度收敛关系的两个方面：即

整体方面：两者完全独立，没有必然联系（注意：记住两个经典的反例）

Lebesgue定理（在“mE”

下，由几乎处处收敛可以推出依测度收敛）

局部方面：在一定条件下，两者有一定的联系 Riesz定理（在考虑子列收敛的

前提条件下，由依测度收敛可以推出存在某个子列几乎处处收敛）

◇ 仔细体会：当mE时，连续函数与依测度收敛的可测函数列的复合仍依

测度收敛的证明思想（反映了Riesz定理与Lebesgue定理的综合应用）。并会用这样的结论解决依测度收敛的的乘法运算性和商的运算性，以及判断一些复杂可测函数列的依测度收敛。

复习自测题：

n1、设ER为可测集，fk(x)k1,2,，gk(x)k1,2,，f(x)和g(x)都是E上

几乎处处有限的可测函数，若fk(x)f(x)于E，gk(x)g(x)于E，则

（1）fk(x)gk(x)f(x)g(x)于E； （2）fk(x)f(x)gk(x)g(x)0于E。

2、（1）设ER为可测集，且mE，fk(x)k1,2,，f(x)都是E上的几乎

n处处有限可测函数，F(u)为GR1上的连续函数，且fk(E),f(E)G，若fk(x)f(x)于

E，则

①Ffk(x)和Ff(x)都是E上的几乎处处有限可测函数； ②Ffk(x)Ffk(x)Ff(x)Ff(x)于E； ③试利用②证明：

nfk(x)f(x)1fk(x)f(x)20于E；

cosfk(x)f(x)1。 1cos2fk(x)f(x)22（2）设ER为可测集，且mE，fk(x)k1,2,，gk(x)k1,2,，f(x)和g(x)都是E上的几乎处处有限可测函数，F(u,v)为GR上的连续函数，且

fk,gk(E)G，f,g(E)G，

若fk(x)f(x)于E，gk(x)g(x)于E，则

①Ffk(x),gk(x)Ff(x),g(x)于E；

②试利用①证明：fk(x)gk(x)f(x)g(x)于E；fk(x)/gk(x)f(x)/g(x)于E，其中gk(x)0,g(x)0。

3、（1）设ER为可测集，fk(x)k1,2,，f(x)都是E上的几乎处处有限可测函

n1数，F(u)为GR上的一致连续函数，且fk(E),f(E)G，若

fk(x)f(x)于E，

则 ①Ffk(x)和Ff(x)都是E上的几乎处处有限可测函数；

②Ffk(x)Ffk(x)Ff(x)Ff(x)于E。 ③试利用②证明：

nfk(x)f(x)1fk(x)f(x)20于E；

cosfk(x)f(x)1。 21cosfk(x)f(x)2（2）设ER为可测集，fk(x)k1,2,，gk(x)k1,2,，f(x)和g(x)都是

E上的几乎处处有限可测函数，F(u,v)为GR2上的一致连续函数，且

fk,gk(E)G，f,g(E)G，

若fk(x)f(x)于E，gk(x)g(x)于E，则Ffk(x),gk(x)Ff(x),g(x)于E。

五、可测函数的结构（及可测函数与连续函数的关系）的知识要点：

◇掌握几乎处处有限的可测函数与连续函数在测度意义下的关系，此关系有如下三个方面：

Lusin定理及Lusin定理的逆定理，以及Lusin定理的细致形式（第4章§3的例1）

Rn上Lusin定理的延拓形式

Rn上可测函数与连续函数列的极限关系

复习自测题：

1、设EE1E2Rn，其中E1和E2都是闭集，f(x)是定义在E上的有限实函数，若f(x)分别在E1和E2上连续，则f(x)在E上也连续。

n2、（1）设ER为可测集，f(x)是E上的几乎处处有限可测函数，则对任意0，存

在闭子集EE以及R上的连续函数(x)，使得，

①xE，(x)f(x)； ②mE\\E。

提示：利用Lusin定理和闭集上连续函数的延拓定理。

（2）利用（1）证明：设ER为可测集，f(x)是E上的几乎处处有限实函数，则f(x)是E上的可测函数存在R上的一列连续函数k(x)，使得limk(x)f(x)a.e.于E。

nknn

六、思考题：

给定的集列{En}产生单调递增的集列有两种方法：

通过Ek，

k1n通过Ek，

kn



这两列集合与集列{En}之间满足的关系是：

knEkEnEk

k1n（Ⅰ）在叶果洛夫定理的细致形式（P74的推论）的证明中，我们是通过选择Ekk1n来产生可测集E的一列满足要求单调递增的可测子集。试问通过选择Ek所得到的

kn



集列是否也能满足要求？（注意通过两个方面来回答1、在Ek上，fn(x)是否能

kn一致收敛于f(x)；2、limmEkmE是否能成立。）

nkn（Ⅱ）试在Lusin定理的细致形式（Ｐ８０的例１）中，考虑类似的问题。