悬臂边界下带粘弹性层的纤维增强复合薄板固有特性研究

模。基于正交多项式法表示振型函数,并通过Ritz法对固有特性进行求解。搭建了测试系统，并以由ZN33粘弾性

橡胶和TC300碳纤维/树脂基分别为内层和外层的复合薄板为研究对象，实际测试了固有特性和模态振型。结果 表明，前5阶模态振型的计算结果与测试结果相一致，且固有频率的计算误差处于2. 9%~7.3%,验证了所提出的

固有特性计算方法的正确性。关键词：粘弾性层；复合薄板；纤维增强；固有特性；悬臂边界；正交多项式DOI：10. 11990/jheu.201806073网络出版地址：http://www. cnki.net/kcms/detail/23. 1390. u.20190509.1455.006.html中图分类号:TB535文献标志码:A文章编号：1006-7043( 2019) 11-1911-06

Inherent characteristics of fiber-reinforced composite thin plate with viscoelastic layrr undrr canhlrvrr boundary conditionRONG Wanchong1，2 , ZHOU Na1，2 , ZHANG Tinan1，2 , LIU Yang1，2 , LI Hui1，2(1.School of Mechanical Engineering and Automation，Northeastern University，Shenyang 110819，China ； 2.Key Laboratory of Vilra-

tion and Control of Aery-Propu/ion System/ Ministry of Education of China，Northeastern University，Shenyang 110819，China)Abstract: Considering the shortcomings i the inherenp characteristics reseerch of a fiber-reinforced composite thii

pla/e with a viscoelastic layec undec the existing contilevec boundary，the inherene characteristics arc calculated and

verified by combining theoreticd and practicd procedures. Atheoreticd model is rtab/shed by coniidering the in- fluencc of sher deformation in the viscoelastic tayec on the structural strain eneray. The meteod of orthogona poly- nomits is used e express the vibrating mode function， and the inherent characteris/cs ara solved using the Rite

method. A tet system was sd up e mesue tee inherent frequencies and modai shape of the composite plate， which was composed of tee TC300 corbon fiber/resin foe the outer layee and ZN33 viscoelastic rubbee foe the innee

layer. The eesults show that tee colculated first fivv-rrde modal shapes are consistent with the epeimente nults, and the colculation eroe of inherent frequencies is within 2. 9% 〜7. 3% ; this yeifies the accuncy of the paposed method of inherent characte/s/cy colculation.Keywords: viscoelastic layee; composite thin plate; fiber reinforcement; inherent characte/sticy; contilever bound-

sy； orthoeonl polynomials带粘弹性层的纤维增强复合材料是近年来出现 性能好等一系列优点[1]+目前，该类型复合材料制

的一种新型复合材料，由粘弹性层和纤维树脂层交

替粘接而成，具有重量轻、减振降噪能力强、抗冲击收稿日期:2018-06-27. 网络出版日期：2019-05-13.基金项目：国家自然科学基金项目(51505070，51535082，U1708257);中央高校基本科研业务费专项资金项目(N160313002, N160312001，N170302001，N180313006);国家留学基金 委项目(201806085032).作者简介:荣万崇，男，博士；李晖，男，副教授，博士后.通信作者:荣万崇，E-mait ：1013832230@ qq.com.

成的薄板结构件广泛应用于航空、航天、船舶、国防 等领域〔I +固有特性是深入研究结构系统振动特性的基 础，掌握复合材料结构系统的固有特性对于动力学

性能预测和动态优化设计都具有十分重要的作 用⑷+近年,带粘弹性层的纤维增强复合材料薄板 的固有特性有了很多进展。Johnson等⑸使用 MSC/NASTRAN有限元软件,计算了三明治结构的

-1912 -哈尔滨工程大学学报第40卷固有频率，但求解缺少详实过程，也未进行实验验 证。Fujimoto等〔对粘弹性聚乙烯与碳纤维材料交 替排布的复合材料梁的固有频率进行了计算和测 试。Cupim等［计算了带粘弹性层的三层复合薄板

'

— A . U(J,A 、

\"(/

< /

'(X,y,z,t$

x,y,t$ \\

在简支边界条件下的固有频率和损耗因子。NayaK 等〔8*应用高阶剪切变形理论计算了聚氯乙烯芯层 的三明治复合薄板的固有特性但仅得到了无量纲固 有频率。Wang等［%*应用哈密顿原理在四边简支边 界条件下推导并计算获得了蜂窝芯夹层板的固有频

8x,y,z,t$ = 8\"( (80( 一&-------,A

一一---( (J----J

''x,y,t)80(1 $'式中:/0、'o、8分别表示薄板中面位移;力代表时间。粘弹性层

纤维层1率和振型。A*{jo等研究了具有频率依赖性的

核心层为粘弹性材料的三明治薄板的固有特性问 题,但仅在简支边界下计算获得了固有频率。胡明 勇等〔基于Reddy分层理论推导出四边简支边界

条件下纤维/粘弹性层合板的动力学方程,并分析了 固有频率的影响因素。Xiaohui等〔12*提出了一种改

进的zia-zay理论，该方法克服了软芯层（soft-core $ 三明治层合板应用高阶剪切变形理论预测固有频率 过大的问题。杨坤等［⑶利用Kelvin粘弹性本构模 型，求解了四边简支边界条件下结构的固有频率等

振动特性。赵晓春等）14*在简支边界条件下，使用 ANSYS有限元软件求解了带有粘弹性橡胶芯层的 三明治铝板的各阶固有频率及损耗因子。姜东 等［⑸提出了一种蜂窝夹层复合三明治薄板的等效 模拟方法,并获得了自由边界条件下固有频率的数 值计算结果。虽然人们对带粘弹性层的纤维增强复

合薄板的固有特性问题开展了一定程度的研究，但

上述研究绝大部分针对理想的边界条件，尚未发现

在悬臂边界条件下开展研究的文献报道。为此，本 文针对上述问题，基于正交多项式法口＞*来表示振型

函数,并通过Rm法对带粘弹性层的纤维增强复合 薄板的固有频率进行求解和计算，并通过实验验证

了上述分析方法的正确性。1固有特性理论求解模型建立本文所研究的带粘弹性层的纤维增强复合薄板

理论模型如图1所示。其上、下两层是由B层具有 正交各向异性的纤维与基体组合铺设而成，粘弹性

层则处于其芯层位置。首先,将粘弹性层的中面设 置为参考平面，并建立坐标系，并假设复合板长

度为2 ,宽度为3 ,纤维层厚度为h 1 ,粘弹性层厚度为

G 2,总厚度h = 2h 1 0h 2 +另外,假设其处于一端约束

的悬臂边界条件下,且在纤维层中,总的铺层数为

b,各铺层厚度均为h 1 /n,纤维纵向与（方向的夹角

为++由于所建立的模型为对称结构,故不存在弯曲

和拉伸的耦合关系,根据小挠度薄板理论，其沿着

（、J、-方向的位移分量/、'、8可表示为：图1带粘弹性层的纤维增强复合薄板的理论模型Fig. 1 Theoretical model of fiber-reinforced compositethin plate with viscoelastic layrr undrr cantbever eoundary基于经典薄板理论，带粘弹性层的纤维增强复 合薄板任意一点的应变可用位移表示为：'

_du _ o '28\"&二—二----------------------£2&''''o

' 80 二-----二-------- ——---------

v J

'J'

'J J(2$yXJU

''

u0 ''小'2 8 二--------''j-------二-------------------------2 ------- '（ j '（ '（ j£-二二）宓二0''0式中：&、&、&和）-、）（、）（分别代表（J和-方向 的线应变与剪应变。&、&、&代表（J和-方向的

线应变,冷、）（、）（代表（J和-方向的剪应变。所以，其应力-应变关系的表达式为：\\11 \\12 0 ］「&* 二QuQ220 &(? $*（」Q66 - -对于复合材料层，式中的各个元素见文献）2 * +对于粘弹性层，式中的各个元素可表示为:E2

712 E2Q11 二 Q22 二1---------- 2，

\\12 二 \\1 二-----------2一 72 1 一 7222( 1 + 72 $式中：2和71为粘弹性材料的弹性模量和泊松比; 211、22和412分别为纤维层中沿着纤维纵向、横向 和剪切方向的弹性模量;712和721分别为相应的泊

松比。在纤维层中,如图1所示,纤维方向与（轴的 夹角为+,利用转轴公式将应力-应变的关系推第11期荣万崇,等:悬臂边界下带粘弹性层的纤维增强复合薄板固有特性研究-1913 -/ '导为:*(?[K2Qn巧$/[|韵(韵(韵]1 1 r 严/2

h/2r / '/

2'

2( '8\\ ]2++dzdA**(-QY7 .亍J J '1

212 JaJ -h2/2+

L Q16式中偏轴刚度矩阵元素见文献)2] +|

\"(5)+ *&z+-------- + —-— dzdA(.) 24

z2 (.) 2\\ ,z24 /在粘弹性层中,考虑剪切变形在(和J方向产 生的应变能，应力J .和TJ表示为:'.z(15)

'*'.(式中:和P2分别代表纤维层和粘弹性层的密度;A

代表薄板的面积。将式(1)、(2)代入式(14)(( 15),再将式(4)代

''('z'.Jz -'.('*z''((6)'z其中:'$ 二8\"--Qn —'28\"

2 +'(2$Q12 J-'$ 8\"

*'28\"z 二--Q12 -'(T +2Q22(7)J'$ 8\"二-2zQ66 —'(—y将式(7)代入式(5 )、( 6),运用切应力边界

条件：iz=e^ 二\"(8).z二\"

(9)可以求出切应力.和.：y1 Ad /( 、I( z2 &Gh242\\1 , &h(2 #zh# T(10)亍1 (. 、/ 2 h22\\ hhj(z) (z

g# T(11)其中:('8\"'2 8A((,J)二 Q11 -3- +(Q12 + 2Q66 )'(J(⑵ 8AJ( (J = ( Q12 + 2Q66 ) '2 8 '?—'(2 — 'J

+ Q22 —'J3-(13)在薄板的弯曲振动中，所建立模型的纤维层的 动能和应变能可分别表示为:+JX1\" + 1 [(幣(养 + (汀]dzAh 2

Y1T□」*&+*& + *&)dzA[k3I a/：2\"+ +1 /[(第 (第(第-A&h2 2

TJaJ-G/2 ( *&+*&+*&)也制(14)粘弹性层的动能和应变能可分别表示为：入式！ 14),并且将式(3)、( 1\")和(11)代入式(15)

中，可获得纤维层和粘弹性层的动能和应变能通过

中面位移8\"的表达式：22Xf J22f.G/2h/2

2 /'28\"\\ 2 + 2 /'28\"\\2 JAh2/2P[z ['(J

z I +\\'y't)(曽22)dzdA1

h/2TJJI +Aa J -h-2/2z2 I2222(/'r2 8\"\\2dzdA22vl1

'丿 J -h$ 2/' 8o\\ + 2 (' 228)$ 2 I +A -h2z1\\ j'A('/ '\"2

8\"\\、 2PIfM-MAh2/ '2Y1 丿.8\"\\ 2 —

8\" '28\"i

-仃z2Q11| ―'(r

) '2$ A h$2+ 2 Q12 —'(2

'JT +—」''28\" 28\"-,\"2' 8\"\\

24Q16( \"''(' y+ Q 「—' (、z) +—'2 Q28\" 28\"4 - '28\"246'J'(y +Q66 (/ '(yj) 、dzdAI$ $S『 -h2$2(鋼,22 2 '“2 8\" '“2 8\"

z] Q11 I

+、 2Q12”'( 'J +

'$ 8\"d%\"

(',“2 8”..\"\\24Q16'(22 '(' y + Q22 I ―'J ) +2r'28\" '28\" 4Q\" 'J '(y(/'爲)28\"\\ 2\\+ 4Q66 +卅3'28\"Qu加(Q12 + 2Qa ) —'('J22)-(_勺)'2 8\"+(((Q12+ 2Q>6)-'(22- 'J +

2Q22zz2dzdA|2 「22 -'228\" ' 8\"S -h22

2 [ Qn ('空(2)+ 2Q12 +-1914 -' wo\\4\\+\\dy2 /+dxdy

'8'8' 8o \\4 \\4 \\>60dy2 d^dy \\dxdy)2 2 2 00

'8'82

16

6 、 (厂)冇-+ ( )泅2

$2 哈尔滨工程大学学报第40卷特征向量@ m［ S11 , S12，…，Sn ］T。若使式(23 )有 解，则特征向量@的系数矩阵行列式为0,即：det( K - $21) - 0

(24)2 2 2 2

0\"

d求解式(24)即可获得结构的各阶固有频率,其 精度由M、N的值确定,M、N的值越大，所获得结果

将各层的动能和应变能相加，可获得总的动能和应变能为：{E= Ek1 + [+ E? lY Y+ % + Yk 2 二 的精度越高。一般令Mm 8、Nm8即可满足计算精 度。最后，将所获得各阶固有频率代入式(23)中,

可获得九的各待定参数,再代入式(17)中，即可获

(16)i ?根据正交多项式法,可将中面位移表示成为:M N得各阶固有频率对应的模态振型。基于Matlab软 件,编写了相应的程序,并给出了固有特性的分析流

8-二 & & AmnPm() Pn() sin((17)% N二 1 B 二 1-,式中:M和为Ritz法求解时的截断系数;S为待 定Ritz参数;$为角固有频率;<%(-)和Pn(,)为正

交特征多项式。其具体的表达式为：•<1(-)二 5(-) ,<1(,)二 5(,){ <2( 0) . (0 - L) <1( 0), 0 P.2( 0) (0-L) P一 1( 0) -)P_2( 0) (18)式中:L?和)k为系数参数;4(-)和5(,)为确定边

界条件的多项式函数,它们的表达式为：1LL _丿- $0( 0) ) <-( 0) * 200? T1I a(0) ) P-10(0) * 2d0$a( 0)一 0 P-1( 0) P2( 0)00「a0)[ p_2(0)* 2d0

4(-)二-p(-1 x/2- —, 5(,) - , (1 - ,)s0 -p,,；p ,, - y/b式中:a( 0)为正交化过程中使用的加权函数，通常 取1 ；p、q、「、5根据自由、简支和固支不同的边界条

件分别取值为0,1,2 +将式！ 17)代入式(16)中，分别令cos ( $) m 1

和sin($)m 1即可得到含有待定Ritz参数的最大

动能［严和%的表达式：% -［嘗 ++ E%L ++ EL (19)Yjx - y；x

(20)能量方程可表示为：L - EL - Y5xx

(21)为了求解该类型复合薄板的固有特性，就要求

解Ritz参数，令：dA-0,% - 1,2，…，M, B - 1,2,…，$

(22)%n求解能量方程(21)的待定参数的广义特征值

问题,可得：(K - $21) @ - 0

(23)式中：K为复合薄板的刚度矩阵,1为其质量矩阵,

程图，如图2所示。图2固有特性分析流程图Fig.2 The analysis flow chart of the inherent characteristic2 实验验证以由TC300碳纤维/YD127树脂基为外层，粘

弹性材料ZN33为内层的复合薄板为研究对象。其 长、宽、厚分别为270 mmX170 mmX3 mm,纤维层厚 度为2 mm,铺层方式为正交铺设，即［(0/90) s* ,共

有16层，上下各有8层，铺层具有相同的厚度和纤 维体积分数，纤维纵向和横向弹性模量分别为 136 GPa 和 7. 92 GPa,泊松比 0. 32,密度 1 618 Kg/m3。

粘弹性层的厚度为1 mm,剪切模量5 MPa,泊松比 0. 49,密度 930 Kg/m3。为了验证所提出的固有特性计算方法的正确

性,搭建图3所示的实验系统+首先,通过夹具将 带粘弹性层的复合薄板的一边有效夹紧+然后,

采用PCB086C01模态力锤对其进行激励,并通过 BK-4517轻质加速度传感器来测试其振动响应+ 设定测试带宽为800 Hz,并在试验中将频率分辨

率设定为0. 125 Hz。为提高测试精度,分别对激 励信号和响应信号添加力指数窗函数和指数窗函 数+对激励信号和响应信号使用LMS采集仪进行 实时采集,通过辨识实验获得的频响函数可获得

前5阶固有频率结果,如表1所示。然后建立

第11期荣万崇，等:悬臂边界下带粘弹性层的纤维增强复合薄板固有特性研究・ 1915 -15x7测点的线框模型，采用多点激励单点响应的

方式,并通过LMS Testlab软件来辨识获得前5阶

表1计算和测试获得的带粘弹性层的复合薄板前5阶固

有频率和模态振型Table 1 The first 5 inherent frequencies and modal stapes模态振型。同时,将通过Matlab程序计算获得的

复合薄板固有频率与振型结果分别列入表1和 图4中,为了便于证明该方法的准确性,将使用文

of composite thin plate with viscoelastic layer ob@

tainer by tlie calcelation and experiment献［5 *的有限元方法计算获得复合薄板固有特性

也分别列入表1和图4,并对两者误差进行了 比较。参数测试频率F/Hz模态阶次1234541.370.3272.544.275.4280.6334.5788.0323.8765.4337.3759.2计算频率G/Hz有限元计算9/Hz计算误差丨g-f\\/f/%有限元误差h-f\\/f/%43.675.0285.27.07.36.73.04.73.28.32.93.75.6通过与实验结果进行对比验证可知,利用本文 所采用的理论方法,其获得的复合薄板前5阶模态 振型,与实验及有限元法获得的模态振型相一致，且

固有频率的计算误差处于2. 9%〜7. 3% ,与有限元 法获得的计算结果也十分接近，进而验证了该计算 方法的正确性。但仍有必要对上述误差原因进行分

析，首先，在理论误差方面，建模时没有考虑粘弹性 层与纤维层的层间应力，纤维层的横向剪切应力、以

图3带粘弹性层的纤维增强复合薄板固有特性测试系统Fig.3 Test system of inherent characteristic of fiber-rein­

及复合材料参数分散性的影响;在实验误差方面，传

感器附件质量和测试时边界条件也会对实验精度造

forced composite thin plate with viscoelastic layer成影响。图4测试、计算和有限元法获得的带粘弹性层的复合薄板前5阶模态振型Fig.4 The firss 5 modal shapes of composite ttiin plate wie viscoelastic layer obtained by tese calculation and finiterlrmrnemrehod3结论1）在考虑粘弹性层剪切变形的基础上,推导 了带有粘弹性层的纤维增强薄板的动力学方程,

2）利用本文所采用的理论方法，其获得的复合

薄板前5阶模态振型,与实验及有限元法获得的模

基于正交多项式法获得最大动能和应变能,并最

态振型相一致，且固有频率的计算误差处于2. 9%〜 7.3%,与有限元法获得的计算结果也十分接近，进 而验证了该计算方法的正确性。本文的研究方法可用于高性能飞机机翼的减振 降噪预测,具有一定的工程应用前景。终通过Ritz法计算获得了悬臂边界下的固有频率 和振型。-1916 -哈尔滨工程大学学报第40卷参考文献：[1] 孟光，瞿叶高.复合材料结构振动与声学)M].北京：国

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