高等代数期末试题及解答

学 号 评定成绩 （分） 学生姓名 担任教师

《 高等代数 》 期末 A 卷考试题

一、填空（每小题2分，共10分）

1.设向量空间V{(x1,x2,xn)|x1x2xn0,xiR}，则V是 n-1 维空间。 2．A，B均为3阶方阵，A的特征值为1，2，3，B1，则A*BB -84

2223．设二次型f(x1,x2,x3)2x1x2x32x1x2tx2x3正定，则t满足t2。

4．设矩阵A满足条件A25A6E0，则矩阵A的特征值是 2 ，3 5．三维线性空间V的秩为2，则零度为 1 。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号

内。每小题2分，共20分）

1．设是n阶可逆矩阵A的属于特征值的特征向量，在下列矩阵中，不是（ D ） 的特征向量

（A）(AE) （B）-3A （C）A* （D）AT 2．已知A，B为同阶正交矩阵，则下列（ C ）是正交阵。

（A）AB （B）A-B （C）AB （D）kA

3， 设A为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ C ）

（A）若A可逆，则矩阵A的属于特征值的特征向量也是矩阵A的属于特征值

121的特

征向量

（B）若矩阵A存在属于特征值的n个线性无关的特征向量，则AE

（C）矩阵A的属于特征值的全部特征向量为齐次线性方程组(EA)X0的全部解 （D）A与AT有相同的特征值

4．若A为n阶实对称矩阵，P为n阶正交阵，则P1AP为（ A ）。 （A）实对称阵 （B）正交阵 （C）非奇异阵 （D）奇异阵 5．设A，B都是正定阵，则（ C ） （A）AB，A+B一定都是正定阵

（B）AB是正定阵，A+B不一定是正定矩阵 （C）AB不一定是正定阵，A+B是正定阵 （D）AB，A+B都不是正定阵 6．当（ C ）时，Aa0bc是正交阵。  （A）a1,b2,c3, （B）abc1 （C）a1,b0,c1 （D）ab1,c0 7．设A，B均为n阶矩阵，且A与B合同，，则( D)

（A）A,B有相同的特征值 （B）A,B 相似 （C）AB （D）r(A)r(B)

1008. R3上的线性变换T在基01,11,10下的矩阵为

001121 A012 111则基在1,22,3下的矩阵为（ A ）

141141121（A）011441 （B） （C）01210121 211119．对于n阶实对称矩阵A，结论（ C ）正确。

24D）0222242 （ （A）A一定有n个不同的特征值 （B）A一定有n个相同的特征值

（C）必存在正交矩阵P，使P1AP成为对角矩阵 （D）A的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的

10． 设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，则矩阵AB 的充分条件是（C）

（A）A与B有相同的特征值

（B）A与B有相同的特征向量 （C）A与B与同一矩阵相似 （D）A一定有n个不同的特征值

三、计算题（每小题8分，共64分）

1.设n阶矩阵 (n2) 111 A111 111

求A的特征值和特征向量，并判断A是否相似于对角阵

111n1解：AE111n1111n1

111 (n)00n(n)

00所以A的特征值为

12n10,nn（3分）

11

1 111100代入特征值0，A的特征向量为c10c21cn10（2分）

001

11代入特征值n，A的特征向量为k1 （2分）

1

A有n个线性无关的特征向量，所以A可以对角化 （1分）

2T2．已知向量(1,k,1)是矩阵A1112111的逆矩阵A1的特征向量，求常数k。 2

2T解：由于向量(1,k,1)是矩阵A1112111的逆矩阵A1的特征向量，所以也是矩阵2A的特征向量，根据特征值和特征向量的定义，得： A，（3分）

代入得

2 11121111（2分） 1kk，

121得方程组

2k1 12k1k 解得：k2,or1k2k1（2分）

所以当k2,

3．设 4维空间的两组基为

12（A）10021,20000,31000 ,4321k1时，向量是A的特征向量（1分）

10（B）10002,20001,32010,4

12

1）求基（A）到（B）的过渡矩阵

2）求向量416223在（A）下的坐标。

解：1）过渡矩阵C1 对矩阵11得00001000010000123411234

23134|143232313234作初等变换化为行最简形

23000020132（2分） 321

132所以过渡矩阵C30043232313132 （2分） 3210020

46（2分） 4202）416223123

64263故在A下的坐标为 C2400 （2分） 

4．设 1,2,3为线性空间的一组基，线性变换T在基1,2,3下的矩阵为

11121010 1在基1,2,3下的坐标为(1,2,3)，求T在基1,2,3下的坐标。

1解：TT(1,2,3)(1,2,3)1121010（4分） 1

8所以T在基1,2,3下的坐标1 （4分）

2

15．设矩阵Ax31431y，已知A有3个线性无关的特征向量，2是A的二重特征5值，试求可逆矩阵P，使得P1AP为对角阵

解：因为A有3个线性无关的特征向量，2是A的二重特征值，故A的属于2线性无关的特征向量必有两个，秩r(2E 经行初等变换得：

A)1 ( 2分 )

111(2EA)x2y333

解得x2,y2 （2分）

1所以矩阵A231431001x2xy

00112，求得特征值122,36 5

对于特征值122，解得特征向量p1(1,1,0)T,p2(1,0,1)T （ 2分）

36的特征向量p3(1,2,3)T 1 所以可逆矩阵P1010112 3则有

21 PAP0016．设矩阵A01020020

00 （2分） 610，矩阵B(kEA)2，其中k为实数，求对角阵，使B与 1

相似，并求k为何值时，B为正定阵

解：先求A的特征值，得

1020101(2 )

2 01

得A的特征值122,30（2分）

故得B的特征值12(k2)2,3k2 （2分）

k2所求对角阵000(k2)020 （2分）

2(k2)0 当k2

7．已知三阶实对称矩阵A的三个特征值为8，2，2，对应特征值2的特征向量为

X1(1,1,1),X2(1,1,0)，求：（1）8对应的特征向量X3；（2）问A是否与对角

TTandk0 B为正定阵（2分）

矩阵相似，若相似，给出与之相似的对角矩阵，并求出矩阵P，使P1PA。

T解：由题意X3与X2,X1正交，令X3(x1,x2,x3)

TT 得方程组X3X2X3X10解得X3(12,12,1) （3分）

T2由于A有三个线性无关的特征向量，所以A与对角矩阵2相似, （2分） 8 1P11110121,使P1PA。 （3分） 21

2228．将二次型f(x1,x2,x3)x14x24x34x1x24x1x38x2x3化为标准型，并写出变换

矩阵。

1解：二次型的矩阵为A2224424，则A的特征多项式 42421 EA22244(9)1分） （

4

由此得A的特征值120,39（1分）

对于120，解齐次线性方程组(0EA)X0，得基础解系

22 p11,p20 （1分）

01

对于39，得特征向量p3(1,2,2)T （1分）

2253541,正交化，单位化得：125355035132,2 （1分）

323

0对角阵 （1分） 90

251所以得正交变换的矩阵为Q50235435535132323 （1分）

二次型的标准形为f9y （1分）

也可用配方法

3

四、证明题（6分）

设A是3阶实对称方阵，A有n个互异的特征值其1,2,3，对应的特征向量依次为

1,2,3。令123，证明：,A,A2线性无关

证明：123(1)

AA(123)11223(32 A2A2(123)22211223

（3分）

令k21k2Ak3A0，分别代入（1），（2），（3）

得 k1k2k30 （3分）

(33 ))