六年级数学割补法求圆与扇形的面积(含答案)

课前预习

彩虹的传说

一个圆的故事（又名：彩虹的传说）从前，有一个非常完美的圆，没有任何缺口和毛刺，甚至连一点点划痕在它身上都找不到。圆长得非常可爱，胖鼓隆冬的，从小就特别招人喜欢，时间久了，就自然觉得自己是世界上最完美的。

圆有很多好朋友：三角（快速灵活）、方块（稳重平和）、平行四边形（勇敢自信）、五角星（理性谦卑）、六边形（经验丰富）、心形（牺牲成全）。它们每天在一起玩儿得很开心。有一天，圆遇上了月亮姐姐，它对月亮姐姐说：“姐姐、姐姐，你挂在天空上可真漂亮啊！不过，为什么一定要有时圆有时缺呢？嘿嘿！如果我能像你一样挂在天空上，也放出光芒那该多好啊！”月亮姐姐淡淡地笑了，对圆说：“我告诉你一个地方，到了那里你就找到了智慧。”圆迟疑地问道：“智慧是什么？我为什么要找它？”

月亮姐姐说：“因为只有找到了智慧才能够回答你提出的这些问题，帮你实现愿望啊！”

圆似懂非懂地点了点头，把这个消息告诉了它的好朋友们。突然，三角大声地号召：“不如我们一起去月亮姐姐说的那个地方吧，人多力量大，我们这么多人一定能找到那个叫智慧的东西。”于是大家都纷纷响应，收拾起行囊浩浩荡荡地上路了。它们经历了千辛万苦，淌过了虚荣河，越过了贪婪海，走过了嗔恨桥，翻过了愚痴山。有一天，终于来到了智慧门前。这是一扇看起来很普通的门，长方形的门框没有任何修饰。不同的是，这道门很矮小，也很窄。几个小伙伴只能调整好最佳的位置，否则很难钻进去。

圆有些失望地对大家说：“我们经历了这么多坎坷，就是为了进这么一个门啊！”三角、方块、平行四边形、五角星、六边形、心形纷纷点头，觉得不可思议。

三角总是最有主意，行动最快的一个。它放下所有行李跟大家说：“无论如何，我们费了这么大劲儿才找到这扇门，我的身体最小，我先进去。”话音刚落，它哧溜一下，钻进了门里。方块的为人正像它的体形，正直稳重。它沉着冷静地紧跟其后，也顺利进入门内。平行四边形的棱角比较尖锐，它自信地说了一句：“不成功就成仁！”，稍微一侧身，勇敢地冲进门里。五角形的体形比较大，只见它用小于自己身体比重的双脚，蹒跚地走到门前。它的两只手和头部都卡在了门外。圆、六边形和心形都为它捏了把汗。这时，只见五角星谦卑地把头低下，双手合十，顺利地进入门内。该轮到六边形了，六边形是几个小伙伴当中年龄最大的一个，它的身体也特别丰硕。不过六边形懂得吸取前几个伙伴的经验，来到门前又弯腰又鞠躬，费力调整了好几个姿势，终于缓缓地进入门内。

两颗心形手拉着手走到了智慧门前，它们心里知道智慧门只能一次通过一个人。两颗深深相爱的心形早有心理准备，它们默契地相视一笑，各自削去了自己的一半身体，与另一半连在一起，立刻重新组合了一颗心。这下它们可以在一起，永远不分开了。这回该轮到最胖最丰满的圆了。只见它不慌不忙盘腿坐了

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下来，片刻之后，它突然想到了月亮姐姐，于是快速将自己对折再对折，变成了一弯新月的形状，侧身进入了智慧大门。看到好朋友圆形顺利通过了大门，大家开始欢呼雀跃起来。突然，它们发现自己的身体变得通透无碍，同时发出了极亮的光芒。三角是红色、方块是橙色、平行四边形是黄色、五角星是绿色、六边形是青色、心形是蓝色、圆形是紫色。它们紧紧地抱在一起，照亮了整个天空。

有人说：彩虹本来是一个圆环，一半在天堂，一半在人间。当你在人间看到彩虹时，它的另外一半一定在天堂朝你微笑着。

知识框架

圆的知识：

1. 当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，

点O叫做这个圆的圆心.

2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径. 3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径. 4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧. 5. 圆周长=直径×π.=半径×2π 圆面积=π×半径2.

扇形的知识：

1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做

圆心角. 2. 我们经常说的

111圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆246心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是

n． 360nrnrnr23. 扇形中的弧长= .扇形的周长= +2r.扇形的面积= =

180180360.

弓形的知识：

1. 弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形.【一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半

圆)】

2. 常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

3. 割补法：将不规则的组合图形经过分割（用连线分割）、切拼、拼合后，转化成一个规则的几何

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图形，从而交易求得面积的方法，就是割补法求面积.

重难点

重点：掌握什么是割补法求面积.能运用割补法求组合图形的面积.

难点：在图形中，准确巧妙的对图形进行分割，正确选择数据计算图形面积.

例题精讲

【例1】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)：_1

2（1）

_1 _1

（2）

3（3）（4）

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】

（1）阴影部分为一个正方形的面积=1平方厘米 （2）阴影部分为二分之一个正方形的面积=2平方厘米 （3）阴影部分为一个等腰直角三角形的面积=4.5平方厘米 （4）阴影部分合为一个长方方形的面积=平方厘米 【答案】 （1）1平方厘米 （2）2平方厘米 （3）4.5平方厘米 （4）平方厘米

【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)： 五年级奥数.几何. 割补法 .教师版 Page 3 of 16

4（1）（2）

222

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】

（1）阴影部分为一个等腰直角三角形的面积=25平方厘米 （2）阴影部分为一个正方形的面积=16平方厘米 【答案】 （1）25平方厘米 （2）16平方厘米

【例2】如图，在18×8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几?

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16=54个，其中分有6+6+8=20个，而1个

和1个

部分有6+6+8=20个，

部

正好组成一个完整的小正方形，所以阴影部分共包含54+20=74

个完整小正方形，而整个方格纸包含8×18=144个完整小正方形． 所以图中阴影面积占整个方格纸面积的

7437，即． 14472【答案】

37. 72【巩固】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几？

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【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】一共有28个小方格，阴影合为：6+3=9个小格. 所以阴影面积占值班面积的

19. 28【答案】

19. 28【例3】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】

割补法，如图所示，格线部分的面积是36平方厘米. 【答案】36平方厘米

【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】割补法，如图所示，格线部分的面积是36平方厘米.

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【答案】36平方厘米

【例4】求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)

44

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】如图所示

将左下角的叶子阴影部分割开，两部分分别顺逆时针90度，则阴影部分转化为四分之一圆的面积减去一个等腰直角三角形，阴影部分的面积=【答案】4.56.

【巩固】求下图中阴影部分的面积(圆周率按3计算)：

121r-44=4.56 424【考点】圆与扇形 【难度】☆☆ 【题型】解答每两个部分的面积等于半圆面积减去一个等腰直角三角形的面积 阴影部分面积=圆面积-三角形面积=()

422144=4 2Page 6 of 16

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【答案】4

【例5】已知图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积.

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】

将阴影部分旋转后,可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的一半减去小正形的一半, 即阴影部分面积等于62242210(平方厘米). 【答案】10平方厘米

2【巩固】如图，长方形ABCD的长是8cm，则阴影部分的面积是 cm．(π3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】

阴影部分的面积实际上是上图阴影部分的一半， 长方形的长等于两个圆的直径，款等于一个圆的直径. 所以上图阴影部分的面积=8=6.88平方厘米 原题中阴影部分的面积=6.88平方厘米 【答案】平方厘米

【例6】求右图中阴影部分的面积．(π取3)

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454520cm

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积和即可，其中①、②面积相等．

易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如下图所示，则①、②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形，而AC为四分之一圆的半径，所以有AC=10．

两个四分之一圆的面积和为210503.14=157， 而①、②部分的面积和为

1421×10×10=50， 2所以阴影部分的面积为157-50=107(平方厘米)． 【答案】107(平方厘米)

【巩固】如图所示，三角形ABC为等腰直角三角形，∠ACB为直角，D是AB的中点，AB=10厘米，圆弧DE、DF是分别以A、B为圆心所作的四分之一圆，求图中阴影部分的面积.

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】两个空白的等腰直角三角形合为一个1个腰长为5厘米的等腰直角三角形 阴影部分的面积=1个半径为5厘米的半圆面积－1个腰长为5厘米的等腰直角三角形的面积 阴影部分的面积=（12.5π-12.5）=26.75（平方厘米） 【答案】26.75平方厘米

【例7】求图中阴影部分的面积.（圆周率按3计算）

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【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】图中阴影部分面积=扇形面积－三角形面积×2

S阴影11202-20102=100平方厘米 42【答案】100平方厘米

【巩固】图形中的正方形的边长为4，求阴影部分面积的大小；

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】

阴影的面积有大圆的面积减去正方形的面积.设大圆的直径是d.如下图，由勾股定理可得： d2=42+42=32. 大圆的面积是d【答案】9.12

【例8】如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积．(取3)

BC218, 阴影的面积是8169.12 4FADE

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】

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BMNCWFA讲左边的阴影部分翻转到右边.

DE

因为ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，所以四边形BDEC为平行四边形.且角E为45度 所以阴影部分的面积=平行四边形BDEC面积 减去45度扇形DEW面积

=11 =

【答案】

【巩固】求图中阴影部分的面积(单位：cm)．

45312 3605 85 8234

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】从图上可以看出，两部分的阴影面积之和恰好是梯形的面积. 两部分的阴影面积= 【答案】

【例9】平面上有7个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少?

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与6个阴影部分的面积和．

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而图形①可以通过割补得到图形②，而图形②是一个圆心角为60的扇形，即

1圆． 6 所以，原题图中阴影部分面积为1个完整圆与6个 即原题图中阴影部分面积为2×10=20． 【答案】20

1圆，即2个圆的面积． 6【巩固】平面上有7个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是5，那么阴影部分的面积是多少?

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】图中6个，进行分割

是一个圆心角为60的扇形，即

1圆. 6原题图中阴影部分面积为1个完整圆. 即原题图中阴影部分面积为5 【答案】5

【例10】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】如下图所示

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可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，而这个正方形与图中的正方形形状、大小相同． 每个正方形的面积为(1×1÷2) ×4=0.5×4=2平方厘米，所以阴影部分的总面积为2×4=8平方厘米． 【答案】8平方厘米

【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】分割移动图形法，一定要找出图形之间的关系. 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样， 空白部分就是一个圆的内接正方形，

2设大圆半径为R，则S22rS1r2r,所以S1:S2(3.142):257:100

22

【答案】57:100

课堂检测

1、如图所示，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部 分占大圆面积的百分之几？

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】把3个阴影旋转到一个方位，我们不难发现3个阴影的面积和是大圆面积的1/4 【答案】四分之一

2、下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积.

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【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】阴影部分的面积可以分割为四个四分之三圆和中间的部分.即为3个圆的面积. 中间的部分可以用一个正方形的面积减去一个圆的面积得到.

所以阴影部分的面积=3个圆的面积+正方形的面积一个圆的面积=2个圆的面积+正方形的面积 =平方厘米 【答案】平方厘米

3、有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米?

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】如下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面积加上4个

的面积减

去4个

3144142的面积，即加上 个半径为1的圆的面积．

所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2+1×1×1 716+3.1416=19.1416平方厘米． 【答案】19.1416平方厘米

4、算图中阴影部分的面积(单位：分米).（取3）

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】

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将右边的扇形向左平移，如图所示.两个阴影部分拼成—个直角梯形. (5+10)×5÷2=75÷2=37．5(平方分米) 【答案】37．5(平方分米)

复习总结

通过观察弄清图形之间的组合关系.，运用割补法求组合图形的面积. 用割补法计算组合图形面积时，要注意分割出的图形不宜过多，尽可能分割出少的图形进行计算.

家庭作业

1、在方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．每个小方格的面积都是1，问阴影面积？

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】阴影部分的方格可以分割拼接为24个小方格. 阴影部分的面积=24 【答案】24

2、如右图所示，最外面是正方形为4米，图中阴影部分的面积为5平方厘米，那么最里面正方形的面积是多少？

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】

将图形的阴影进行适当移动，可得右下图，

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我们可以得到阴影部分最顶端的小三角形为：54441， 所以最小的正方形面积为4. 【答案】4

3、如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是 ．

2m

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】割补法

2m2m或

割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于： (22)16(m) 【答案】16

4、求下图中阴影部分与大圆的面积之比

22

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】

将阴影部分分成三种图形，观察大圆发现，大圆恰好是由这三种图形组成的，且每种都有4个.所以阴影部分与大圆的面积之比=1：4 【答案】面积之比：1：4

5、如图1，半径为7个单位的3个圆弧如图1，半径为7个单位的3个圆弧围成图示的区域，其中AB弧与AD弧的四分之一圆，而BCD弧是一个半圆，则此区域的面积是多少平方单位？

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【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】

将图1分割，如图2所示，然后平移成图3 ，易得面积为98 . 【答案】98

6、10个同样大的圆摆成如下图所示的形状，过两个圆心A，B作直线，10个圆被分为两部分.求直线上方

的面积总和与直线左下方的面积总和之比.

【考点】圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】利用割补的方法，发现直线右上方的面积总和恰好为4个圆.

直线左下方的面积总和恰好为6个圆.

直线右上方的面积总和与直线左下方的面积总和之比=4:6=2:3

【答案】2:3

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