一个常微分方程的新解法

第２９卷第６期　湖北理工学院学报　Ｖｏｌ＿２９　Ｎｏ．６　２０１３年１２月　ＪＯＵＲＮＡＩ　ＯＦ　ｔｔＵＢＥＩ　ＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｄｅｃ．　２０１３　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．２０９５－４５６５．２０１３．０６．０１３　一个常微分方程的新解法　黄华平　，周　惠　（‘湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石４３５００２；２黄石二中，湖北黄石４３５００３）　摘要：利用泛函分析中的不动点理论验证了一个二阶常微分方程的解的存在性，给出了解的一般　表达式，举例说明了其应用．　关键词：二阶微分方程；Ｖｏｈｅｒｒａ型积分方程；Ｂａｎａｃｈ不动点定理　中图分类号：０１７５．１　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９５—４５６５（２０１３）０６—００５３—０３　Ａ　Ｎｅｗ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ａｎ　Ｏｒｄｉｎａｒｙ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｈｕａｎｇ　Ｈｕａｐｉｎｇ‘Ｚｈｏｕ　Ｈｕｉ２　，（　Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｓｔｉｃｓ，Ｈｕｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｕａｎｇｓｈｉ　Ｈｕｂｅｉ　４３５００２；　Ｈｕａｎｇｓｈｉ　Ｎｏ．２　Ｍｉｄｄｌｅ　Ｓｃｈｏｏｌ，Ｈｕａｎｇｓｈｉ　Ｈｕｂｅｉ　４３５００３）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｗｏ　ｃｌａｓｓｅｓ　ｏｆ　ｃｏｍｍｏｎ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　ｉｆｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｙ　ｉｎ　ｆｕｎｔｉｏｎａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ａｎ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｏｆｆｅｒｅｄ　ｂｙ　ｖｉｒｔｕｅ　ｏｆｉｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｗｏ　ｃｌａｓｓｅｓ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｖｏｈｅｒｒａ　ｔｙｐｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｂａｎａｃｈ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　自１９２２年波兰数学家Ｂａｎａｃｈ引入以其　名字命名的Ｂａｎａｃｈ不动点定理（也叫Ｂａｎａｃｈ　』ｄ掣＇ｘ＋ｎ　（　）ａｙ　＋口ｚ（　）），：ｆ（ｘ），　∈［口，６］　压缩映像原理）以来，关于不动点理论方面的　ｔｙ（０）＝Ｃ０，Ｙ　（０）＝Ｃｌ　研究就成为数学研究领域中的热门话题，而且　（１）　具有旺盛的生命力，经久不衰．原因在于Ｂａ—　其中ａ。（　），ａ　（　），ｆ（　）∈Ｃ［ａ，ｂ］，　ｎａｃｈ不动点定理具备重要的应用价值，它在数　［ａ，ｂ］为给定区间，而ｃ［ａ，ｂ］为［ａ，ｂ］上连续　学的各领域，如微分方程及其动力系统、概率　函数的全体组成的集合，满足０∈［ａ，ｂ］，ｃ０，　论与数理统计、算子理论和抽象代数等方面都　Ｃ．为常数．关于这类方程的求解方法，通常是先　有涉猎和应用．本文首先给出一个常见的带有　采用叠加原理求出其对应的齐次方程的通解，然　初始条件的二阶微分方程，然后利用Ｂａｎａｃｈ　后用常数变易法求出非齐次方程的通解，最后代　不动点定理验证了它的解的存在性，最后通过　入初始条件求出各系数，得到原方程的解…．这　把它化为积分方程给出了解的表达式．　种方法通常求解过程很繁琐，而且计算量很大，　不太科学．另外这种方法还有一个弊端，就是在　１　主要结果及应用　求解之前没有验证原方程解的存在性．若无解，　则原方程的解根本不用求．鉴于此，笔者推陈出　考虑下列二阶变系数微分方程：　新，首先利用Ｂａｎａｃｈ不动点定理验证方程解的　收稿日期：２０１３—０９—１８　作者简介：黄华平（１９７８一），男，湖北安陆人，讲师，硕士。　湖北理工学院学报　２０１３正　存在性，然后将其化为积分方程，用逐次逼近法　先求出此积分方程的解，再求出原方程的解．下　面给出著名的Ｂａｎａｃｈ不动点定理．　引理１　设（Ｘ，ｄ）为完备的度量空间，　Ｔ：　—　为压缩映射，即　∈［０，１），使得：　ｄ（Ｔｘ，　）　ｋｄ（　，Ｙ），　Ｖｘ，Ｙ∈Ｘ　则　在　上存在唯一的不动点．　下面给出本文的主要结果及应用的例子．　定理１　考虑方程（１），设Ｍ＝ｍａｘ　ｌ口２（　）（ｔ—　）一０　（　）Ｉ，若（ｂ一口）Ｍ＜１，贝４方　程（１）存在唯一的解，而且其解为：　Ｙ＝∑　ｆ　（　—ｔ）Ｍ，　（ｔ）ｄｔ＋Ｃｌ　＋Ｃ０，　。≤　曼６　（２）　其中：　ｕ０（　）＝ｆ（　）一Ｃｌ　０】（　）一Ｃｌ　０２（　）一　Ｃｏ０２（　），ｕ　（　）＝』　［口２（　）（ｔ—　）一０Ｉ（　）］　一ｌ（ｔ）ｄｔ（ｎ＝１，２，…）　（３）　证明：　１）将原方程化为积分方程．令¨（　）＝　，ｐ（　）＝塞，　（　）∈ｃ［　］．由　初始条件，有：　ｄｙ　＝ｆ　ｎ（ｔ）ｄ￡＋Ｃｌ　（４）　ｄＹ＝』　ｐ（ｓ）ｄｓ＋Ｃ０＝　ｆ　［ｆ　“（ｔ）ｄｔ＋Ｃ　］ｄｓ＋Ｃ０＝　』　［ｆ　ｕ（ｔ）ｄｔ］ｄｓ＋Ｃｌ　＋Ｃｏ＝　ｆ　ｄ￡ｆ　（ｔ）ｄｓ＋Ｃｌ　＋Ｃ０＝　』　（　—ｔ）ｕ（ｔ）ｄｔ＋ＣＩ　＋Ｃ０　（５）　将式（４）和式（５）代入式（１）即可得到下　列与式（１）等价的Ｖｏｈｅｒｒａ型积分方程　。　］：　Ｍ（　）＝』　Ｋ（　，ｔ）“（ｔ）ｄｔ＋Ｆ（　）　（６）　这里Ｋ（　，ｔ）＝０２（　）（ｔ一　）一０Ｉ（　），　Ｆ（　）＝厂（　）一Ｃｌ口ｌ（　）一Ｃｊ　口２（　）一Ｃ０口２（　）．　２）验证积分方程解的存在性．　取Ｘ＝Ｃ［口，ｂ］，ｄ（Ｈ，＂）＝Ｉｎａｘ．Ｉ“（　）一　（　）Ｉ，“，　∈Ｘ．定义　：　＿　为：　（　）＝』　Ｋ（　，ｔ）ｕ（ｔ）ｄｔ＋Ｆ（　）　（７）　于是Ｖｕ，　∈Ｘ，有：　ｄ（Ｔｕ，　）＝ｍａｘ　Ｉ　Ｔｕ（　）一Ｔｖ（　）Ｉ＝ｍａｘ　ｌ』　（　，￡）“（ｔ）ｄ￡一ｆ　Ｋ（　，ｔ）　（ｔ）ｄ￡Ｉ：ｍａｘ　ｌ』　Ｋ（　，ｔ）［Ｍ（ｔ）一　（ｔ）］ｄｔＩ　（ｂ一　）ＭＩｎａｘ　Ｉ“（　）一　（ｔ）Ｉ＝（ｂ一口）ｇｄ（“，　）．　注意到０　（ｂ一０）Ｍ＜１，由引理１可知，　在　上存在唯一的不动点，即式（６）有唯一　的解，亦即方程（１）存在唯一的解．　３）求原方程的解．　由于Ｋ（　，ｔ），Ｆ（　）∈Ｃ［０，ｂ］，故３Ｂ，Ｃ　Ｏ，使Ｉ　Ｋ（　，ｔ）Ｉ　Ｃ，ｌｆ（　）Ｉ　Ｂ，　∈［口，　ｂ］，并且：　Ｉ“０（　）Ｉ＝Ｉ　Ｆ（　）Ｉ≤Ｂ，　Ｉ“ｌ（　）Ｉ＝　Ｉ　Ｋ（　，ｔ）Ｉ　Ｉ“０（ｔ）Ｉ　ｄｔ　ＢＣ　（ｂ一０），　Ｉ“２（　）Ｉ－ｉ　ｘ　Ｉ　Ｋ（ｘ，ｔ）　。（￡）Ｉ　ｄｔ　（ｂ一０）　，　Ｉ　（　）Ｉ＝ｆ　Ｉ　Ｋ（　，ｔ）Ｉ　Ｉ“　一Ｉ（ｔ）Ｉ　ｄｔ　（ｂ一口）ｎ　（８）　因为级数　ｎ＝Ｏ　ｎ！　（ｂ一口）ｎ是收敛的，所以　级数　ｕ　（　）是绝对收敛的，而且是一致收敛　的．令和函数为“（　），即“（　）＝　ｕ　（　）．在　式（３）等号两边作和，有：　∑。“　（　）＝』　Ｋ（　，ｔ）∑．“　（ｔ）ｄｔ　（９）　然后由式（７）有：　“（　）一　０（　）＝』　（　，ｔ）“（ｔ）ｄｔ＝　（　）一Ｆ（　）＝Ｍ（　）一Ｆ（　）　（１０）　因此“（　）＝∑　Ⅱ　（　）恰为式（６）的解，将　此式代入式（５），得到式（２）即为原方程的解．　例１　解方程：　』　ｄ业ｘ＋ｘｙ＝　＋　＋２，　吣。］　【），（０）＝１，Ｙ　（０）＝３　（１　１）　其中０＜‰＜１为常数．　解　比较式（１　１）和式（１）可得：　０ｌ（　）＝一　，　２（戈）：　，厂（戈）＝一　＋　＋２，Ｃ０＝１，Ｃｌ＝３．　从而：　Ｋ（　，ｔ）＝。２（　）（ｔ—　）一口ｌ（　）：ｘｔ，　Ｆ（　）＝ｆ（　）一Ｃｌ口ｌ（　）一ＣＩ　ｆｚ２（　）一　第６期　黄华平，周惠：一个常微分方程的新解法　５５　Ｃ０ａ２（　）＝一　＋２　于是：　ｕ０（　）＝Ｆ（　）＝一　＋２，　１１，ｌ（　）＝ｆ　Ｋ（　，ｔ）ｕｏ（ｔ）ｄｔ＝　ｆ　ｏｘｔ（一ｆ。＋２）ｄｔ＝一　＋　，　Ｍ２（　）＝』　Ｋ（　，ｔ）Ⅱｌ（ｔ）ｄｔ＝　ｆ　ｏＸｘｔ（手　）　一　＋　５，　Ｍ３（　）＝　Ｋ（　，ｔ）Ｍ２（ｔ）ｄｔ＝　／ｇ￣ｔ（一　ｔ９ｔ６＋　）ｄ　＝一　１２９＋　，　注意到：　６　Ⅱ。（　）＋“－（　）＝一　＋２，　（　）＋ｕｌ（　）＋　２（　）＝　９　一　ｏ４０。　２　’　ｌ２　／２，０（ｚ）＋“ｌ（　）＋“２（　）＋　（　）＝　一兰一ｑ－，，　４４０’。‘　故由数学归纳法可得：　（上接第５２页）　不规则节点分布比规则节点分布的计算精度　高，增加节点数可提高计算精度，但不可过密，　否则会导致计算结果失真。在计算中，同时也　发现对于半径一定的影响域内，存在一个使计　算精度很高的确定的节点数，这个数与节点的　分布和影响域半径都有关，要找到这个确定的　节点数，还需进一步的研究。　参考文献　徐婷婷，秦新强，党发宁，等．对流扩散方程的　点插值无网格算法［Ｊ］．武汉理工大学学报，　２０１０，３２（２）：１３５—１４０．　［２］　陈艳，张定邦．盾构法开挖梅岭隧道施工过程　数值模拟分析［Ｊ］．湖北理工学院学报，２０１３，　２９（２）：４２－４６．　［３］　张红军，司艳菲．钢衬钢筋混凝土压力管道非　线性有限元分析［Ｊ］．江汉大学学报（自然科　学版），２０１１，３９（１）：６３—６７．　［４］　张定邦，周斌．ＣＲＤ四步法和六步法开挖超浅　埋隧道的结构内力分析［Ｊ］．黄石理工学院学　Ｅ　ｕ　（　）＝一　＋２，ｎ＝１，２，…　Ⅱ（３　＋２）　＝ｌ　所以：　ｕｎ（　）：　ｕ　（　）　Ｊｍｉ　（　）＝２・　代人到式（２）即得原方程的解为：　Ｙ＝　＋３　＋１，０　０．　参考文献　葛渭高，李翠哲，王宏洲．常微分方程与边值问　题［Ｍ］．北京：科学出版社，２００８：５８—６５．　［２］　张恭庆，林源渠．泛函分析讲义［Ｍ］．北京：北京　大学出版社，１９８７：１—８．　［３］　李星．积分方程［Ｍ］．北京：科学出版社，２００８：　２８—３２．　［４］　黄华平．Ｃｌｉｆｋｏｒｄ几何代数Ｒ　中的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换　［Ｊ］．黄石理工学院学报，２０１２，２８（２）：４６—４８．　［５］　刘建康．两种扰动型非线性Ｖｏｌｔｅｒｒａ积分方程　组解的渐近性及有界性［Ｊ］．江汉大学学报（自　然科学版），２０１１，３９（１）：１７—１９．　（责任编辑桂堤）　报，２０１１，２７（５）：３４—３７．　［５］　Ｗａｎｇ　Ｊ　Ｇ．Ｌｉｕ　Ｇ　Ｒ．Ａ　ｐｏｉｎｔ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｍｅｓｈｌｅｓｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｒａｄｉａｌ　ｂａｓｉｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒ－　ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｆｏｒ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｉｎ　Ｅｎｇｉ．　ｎｅｅｒｉｎｇ，２００２，５４（１１）：１６２３—１６４８．　［６］　Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ　Ｔ，Ｌｕ　Ｙ　Ｙ，Ｇｕ　Ｌ．Ｅｌｅｍｅｎｔ—ｆｒｅｅ　ｇａｌｅ￣　ｋｉｎ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆｒ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｉｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９４，３７（２）：２２９—２５６．　［７］　刘寒冰，焦玉玲，梁春雨，等．无网格法中形函　数对计算精度的影响［Ｊ］．吉林大学学报（工　学版），２００７，３７（３）：７１５—７２０．　［８］　王明强，沈智．无网格法求解精度影响因素研究　［Ｊ］．江苏科技大学学报，２０１０，２４（２）：１４７—１５１．　［９］　Ｗａｎｇ　Ｊ　Ｇ．Ⅱｕ　Ｇ　Ｒ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｓｌｍｐｅ　ｐａｒａｍｅ－　ｔｅｒｓ　ｏｆ　ｒａｄｉｌａ　ｂａｓｉｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｕｓｅｄ　ｆｏｒ　２．．Ｄ　ｍｅｓｈ．．　１ｅｓｓ　ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ａｐｐ１．Ｍｅｃｈ．　Ｅｎｇ喀．，２Ｏ０２，１９１：２６１１—２６３０．　［１０］　夏茂辉，贾延，刘才．基于径向基函数的点插　值（ＲＰＩＭ）无网格法［Ｊ］．燕山大学学报，　２００６，３０（２）：ｌ１２一ｌ１７．　（责任编辑吴鸿霞）