广西柳州市2019-2020学年八年级下期末数学试卷含答案解析
D．x=5
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列x的值能使A．x=1
有意义的是（ ） B．x=2
C．x=3
2．某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30，33，24，29，24．这组数据的中位数是（ ） A．24
B．27
C．29
D．30
3．已知直角三角形的两直角边长分别是5和12，则此三角形的斜边长为（ ） A．10 4．函数y=A．x＞﹣1
B．13
C．15
D．17
自变量x的取值范围为（ ）
B．x＜﹣1
C．x≠﹣1
D．x≠0
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC+BD=10，BC=4，则△BOC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10
=﹣1
C．
×
=6
D．14 D．
÷
=3
6．下列计算正确的是（ ） A．
+
=
B．
﹣
7．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：
平均数（cm） 方差s2（cm2）
甲 561 3.5
乙 560 3.5
丙 561 15.5
丁 560 16.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
1 / 21
8．在一次函数y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
10．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．函数y=kx的图象经过点（1，3），则实数k= ．
12．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC=6．则菱形ABCD的面积为 ．
2 / 21
13．已知一组数据6，2，3，a，7，它的平均数是5，这组数据的众数是 ．
14．将直线y=2x+1的图象向上平移2个单位后所得到的直线解析式为 ．
15．如图，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积为16，AE=1，则正方形EFGH的面积为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是 ．
三、解答题（共7小题，满分52分） 17．计算题：
+
×
．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．
3 / 21
19．如图：直线y=kx+b与坐标轴交于两点，A（4，0）、B（0，3），点C为AB中点．
（1）求直线y=kx+b的解析式； （2）求△AOC的面积．
20．某校为了预测八年级男生“排球30秒”对墙垫球的情况，从本校八年级随机抽取了n名男生进行该项目测试，并绘制出如图的频数分布直方图，其中从左到右依次分为七个组（每组含最小值，不含最大值）．根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）填空：n= ；这个样本数据的中位数落在第 组．
（2）若测试八年级男生“排球30秒”对墙垫球个数不低于10个为合格，根据统计结果，估计该校八年级500名男同学成绩合格的人数．
21．我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数：（ 、 、 ），（ 、 、 ）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．
4 / 21
22．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
23．如图，已知函数y=﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M．
（1）分别求出点A、点M的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+3和y=x的图象于点C、D，且OB=2CD，求a的值．
D．x=5
-学年广西八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列x的值能使A．x=1
有意义的是（ ） B．x=2
C．x=3
【考点】二次根式有意义的条件．
5 / 21
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算求出x的取值范围，然后选择即可．
【解答】解：由题意得，x﹣4≥0， 解得x≥4，
∵1、2、3、5中只有5大于4， ∴x的值为5． 故选D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．某地区连续5天的最高气温（单位：℃）分别是30，33，24，29，24．这组数据的中位数是（ ） A．24
【考点】中位数．
B．27
C．29
D．30
【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：数据排序为：24、24、29、30、33， ∴中位数为29， 故选C
【点评】此题考查中位数问题，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
3．已知直角三角形的两直角边长分别是5和12，则此三角形的斜边长为（ ） A．10
B．13
C．15
D．17
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理，即可求出直角三角形的斜边长． 【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别是5和12， ∴根据勾股定理得：斜边长=故选：B．
=13；
6 / 21
【点评】本题考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 4．函数y=A．x＞﹣1
自变量x的取值范围为（ ）
B．x＜﹣1
C．x≠﹣1
D．x≠0
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，得出x的取值范围即可．
【解答】解：∵x+1≠0， ∴x≠﹣1， ∴函数y=故选C．
自变量x的取值范围为x≠﹣1，
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC+BD=10，BC=4，则△BOC的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10
D．14
【考点】平行四边形的性质．
【分析】直接利用平行四边形的性质结合已知得出BO+CO=5，进而求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=BD，CO=AC， ∵AC+BD=10，BC=4，
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∴BO+CO=5，
∴△BOC的周长为：5+4=9． 故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出平行四边形的对角线关系是解题关键．
=﹣1
C．
×
=6
D．
÷
=3
6．下列计算正确的是（ ） A．
+
=
B．
﹣
【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
【分析】分别根据二次根式的加减法则、乘除法则结合选项求解，然后选出正确答案．
【解答】解：A、 B、C、D、
和×÷
和
不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； ==
，计算错误，故本选项错误； =3，计算正确，故本选项正确．
不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
故选D．
【点评】本题二次根式的加减法、二次根式的乘除法等运算，掌握各运算法则是解题的关键．
7．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：
平均数（cm） 方差s2（cm2）
甲 561 3.5
乙 560 3.5
丙 561 15.5
丁 560 16.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【分析】根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可．
8 / 21
【解答】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5，
∴S甲2=S乙2＜S丙2＜S丁2，
∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔， ∵甲的平均数是561，乙的平均数是560， ∴成绩好的应是甲，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲； 故选A．
【点评】本题考查了方差和平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．在一次函数y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【分析】根据y=kx+b，k＜0时，y随x的增大而减小，可得答案．
【解答】解：由y=ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，
故B正确． 故选：B．
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【点评】本题考查了一次函数图象，利用一次函数的性质是解题关键．
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】如图，首先证明EF=6，继而得到DE=7；证明DE为△ABC的中位线，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵∠AFC=90°，AE=CE， ∴EF=
=6，DE=1+6=7；
∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴BC=2DE=14， 故选C．
【点评】该题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
10．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ）
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A． B． C．
D．
【考点】矩形的性质．
【分析】由矩形的性质得出CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，由平行线的性质得出∠BAM=∠AMD，再由角平分线证出∠BAM=∠AMB，得出MB=AB=2，由勾股定理求出CM，即可得出DM的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°， ∴∠BAM=∠AMD， ∵AM平分∠DMB， ∴∠AMD=∠AMB， ∴∠BAM=∠AMB， ∴BM=AB=2， ∴CM=
=
；
=
，
∴DM=CD﹣CM=2﹣故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明MB=AB是解决问题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．函数y=kx的图象经过点（1，3），则实数k= 3 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点（1，3）代入y=kx，然后求出k即可． 【解答】解：把点（1，3）代入y=kx， 解得：k=3， 故答案为：3
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），然后把正比例函数图象上一个点的坐标代入求出k即可．
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12．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC=6．则菱形ABCD的面积为 24 ．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分可得出对角线AC的长度，进而根据对角线乘积的一半可得出菱形的面积．
【解答】解：∵菱形ABCD中AO=AC=3， ∴BO=∴BD=8，
=
=4，
故可得菱形ABCD的面积为×8×6=24． 故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质．
13．已知一组数据6，2，3，a，7，它的平均数是5，这组数据的众数是 7 ．
【考点】众数；算术平均数．
【分析】根据平均数的定义求出a的值，再根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．
【解答】解：∵数据6，2，3，a，7，它的平均数是5， ∴（6+2+3+a+7）÷5=5， ∴a=7，
∵7出现的次数最多，
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∴这组数据的众数7； 故答案为：7．
【点评】此题考查了众数，用到的知识点是平均数、众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
14．将直线y=2x+1的图象向上平移2个单位后所得到的直线解析式为 y=2x+3 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】根据上下平移k不变，b值加减即可得出答案．
【解答】解：将直线y=2x+1向上平移2个单位后的直线解析式y=2x+1+2=y=2x+3．
故答案为：y=2x+3．
【点评】考查了一次函数图象与几何变换，直线平移变换的规律：对直线y=kx而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．①如上移2个单位，即y=kx+2；②下移2个单位，即y=kx﹣2．③左移2个单位，即y=k（x+2）；④右移2个单位，即y=k（x﹣2）．掌握其中变与不变的规律是解决直线平移变换的好方法．
15．如图，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积为16，AE=1，则正方形EFGH的面积为 10 ．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质找出相等的边角关系，从而证出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH，再由正方形ABCD的面积为16，AE=1，找出AF的长度，根据S正方形EFGH=S正方形
ABCD﹣4S△AFE即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD、EFGH均为正方形， ∴∠A=∠B=90°，∠EFG=90°，EF=FG．
∵∠AFE+∠BFG=90°，∠BFG+∠BGF=90°，
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∴∠AFE=∠BGF．
，
在△AFE和△BGF中，∴△AFE≌△BGF（AAS）， ∴BF=AE=1．
∵正方形ABCD的面积为16， ∴AB=4，AF=AB﹣BF=3．
同理可证出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH．
∴S正方形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AFE=16﹣4××1×3=10． 故答案为：10．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，解题的关键是找出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求出面积是关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是
．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°， ∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF，AP互相平分．且EF=AP， ∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
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∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小． ∵AP×BC=AB×AC， ∴AP×BC=AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=∵AB=6，AC=8， ∴10AP=6×8， ∴AP=∴AM=
，
．
=10，
故答案为：
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
三、解答题（共7小题，满分52分） 17．计算题：
+
×
．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式=2=2=3
+．
+3
×
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：四边形AECF是平行四边形．
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【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点， ∴
，
，
∴AF∥EC，AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键．
19．如图：直线y=kx+b与坐标轴交于两点，A（4，0）、B（0，3），点C为AB中点．
（1）求直线y=kx+b的解析式； （2）求△AOC的面积．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积．
【分析】（1）将A（4，0）、B（0，3）分别代入解析式y=kx+b，列出方程组求出k、b的值即可；
（2根据中点坐标公式先求得C的坐标，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）将A（4，0）、B（0，3）分别代入解析式y=kx+b得，
，
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解得，
故直线y=kx+b的解析式y=﹣x+3．
（2）∵点C为AB中点， ∴C为（2，1.5），
∴△AOC的面积为4×1.5÷2=3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，要熟悉三角形的面积公式、函数图象上的点的坐标特征等知识，此题综合性较强，要仔细对待．
20．某校为了预测八年级男生“排球30秒”对墙垫球的情况，从本校八年级随机抽取了n名男生进行该项目测试，并绘制出如图的频数分布直方图，其中从左到右依次分为七个组（每组含最小值，不含最大值）．根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）填空：n= 50 ；这个样本数据的中位数落在第 三 组．
（2）若测试八年级男生“排球30秒”对墙垫球个数不低于10个为合格，根据统计结果，估计该校八年级500名男同学成绩合格的人数．
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数．
【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据进行计算即可得出n的值，根据第25、26个数据所在的位置进行判断即可；
（2）根据抽取的男生中成绩合格的人数占抽取的总人数的百分比，乘上该校八年级的男同学总数，求得结果即可．
【解答】解：（1）n=4+12+16+10+5+2+1=50； ∵50÷2=25，25＞16，26＜32
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∴这个样本数据的中位数落在第三组， 故答案为：50，三；
（2）（12+16+10+5+2+1）÷50×500=460（人）． 故该校八年级500名男同学成绩合格的人数约为460人．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图，解决问题的关键是在频数分布直方图中获取数据进行计算．解题时注意，从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
21．我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数：（ 6 、 8 、 10 ），（ 9 、 12 、 15 ）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明． 【考点】勾股数．
【分析】（1）根据勾股数扩大相同的正整数倍仍是勾股数，可得答案；
（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案．
【解答】解：（1）写出两组勾股数：（ 6，8，10），（ 9，12，15）．
（2）证明：x2+y2
=（2n）2+（n2﹣1）2 =4n2+n4﹣2n2+1 =n4+2n2+1 =（n2+1）2 =z2，
即x，y，z为勾股数．
故答案为：6，8，10；9，12，15．
【点评】本题考查了勾股数，利用了勾股数扩大相同的正整数倍仍然是勾股数．
18 / 21
22．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA=∠CGF；
（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
【考点】正方形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到∠AEG=∠CGE，根据菱形的性质和平行线的性质得到∠HEG=∠FGE，解答即可；
（2）证明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，证明∠GHE=90°，根据正方形的判定定理证明．
【解答】证明：（1）连接GE， ∵AB∥CD， ∴∠AEG=∠CGE， ∵GF∥HE， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠HEA=∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形， ∴HG=HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°， ∴∠DHG+∠AHE=90°，
19 / 21
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形；
【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
23．如图，已知函数y=﹣x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M．
（1）分别求出点A、点M的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+3和y=x的图象于点C、D，且OB=2CD，求a的值．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】（1）将y=0代入y=﹣x+3，求出x的值，得到A点坐标；解方程组
，求出点M的坐标；
（2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=2CD=3，再表示出C点坐标为（a，﹣ a+3），D点坐标为（a，a），所以a﹣（﹣a+3）=，然后解方程即可．
20 / 21
【解答】解：（1）在函数y=﹣x+3中， 令y=0，得﹣x+3=0，解得x=6， 则点A的坐标为（6，0）． 由
，解得
，
则点M的坐标为（2，2）；
（2）由题意得：C（a，﹣ a+3），D（a，a）， ∴CD=a﹣（﹣a+3）． ∵OB=2CD=3，
∴a﹣（﹣a+3）=， ∴a=3
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