义务教育课程标准人教版
数学教案
九年级 下册 2017年春
第二十六章 反比例函数
26．1．1反比例函数的意义（1课时）
一、教学目标
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式，体会函数的模型思想 二、重点难点
重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 难点：理解反比例函数的概念 三、教学过程
（一）、创设情境、导入新课
问题：电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时，
（1）你能用含有R的代数式表示I吗？ （2）利用写出的关系式完成下表： R/Ω I/A 20 40 60 80 100 当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？ （3）变量I是R的函数吗？为什么？
概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y(k为常数，k0)的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零。 （二）、联系生活、丰富联想
1.一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm。那么变
- 1 -
kx
量y是变量x的函数吗？为什么？
2.某村有耕地346.2公顷，人数数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？为什么？ （三）、举例应用、创新提高：
例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数？ （1）y （2）yx3512 （3）xy＝21 （4）y（5）y3
x2xx2例2．（补充）当m取什么值时，函数y(m2)x3m是反比例函数？ （四）、随堂练习
1．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关 系式为
2．若函数y(3m)x8m是反比例函数，则m的取值是 （五）、小结：谈谈你的收获 （六）、布置作业 （七）、板书设计
26．1．1反比例函数的意义 1、反比例函数的概念 例： 2、会用待定系数法求解析式 练习： 四、教学反思：
- 2 -
2
26．1．2反比例函数的图象和性质（1）
教学目标
1、体会并了解反比例函数的图象的意义 2、能描点画出反比例函数的图象
3、通过反比例函数的图象分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。 重点与难点：
重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。 难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。 教学过程： 一、课堂引入
提问： 1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是什么？其性 质有哪些？正比例函数y＝kx（k≠0）呢？
2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？ 二、探索新知：
探索活动1 反比例函数y与y的图象．
探索活动2 反比例函数y与y的图象有什么共同特征? 三、应用举例：
例1．（补充）已知反比例函数y(m1)xm3的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？
例2．（补充）如图，过反比例函数y（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别
- 3 -
26x6x6x6x1x
是S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）
（A）S1＞S2 （B）S1＝S2 （C）S1＜S2 （D）大小关系不能确定 四、随堂练习
1．已知反比例函数y3k，分别根据下列条件求出字母k的取值范围 x（1）函数图象位于第一、三象限 （2）在第二象限内，y随x的增大而增大
2．反比例函数y，当x＝－2时，y＝ ；当x＜－2时；y 的取值范围是 ；当x＞－2时；y的取值范围是
ay(a2)x3.已知反比例函数
22x6，当x0时，y随x的增大而增大，求
函数关系式 五、小结：谈谈你的收获 六、布置作业 七、板书设计
26．1．2反比例函数的图象和性质（1） 1、反比例函数的图象 例： 2、反比例函数的主要性质 练习： 教学反思：
- 4 -
26．1．2反比例函数的图象和性质（2）
一、教学目标
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3．深刻领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法 二、重点与难点
重点：理解并掌握反比例函数图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题 难点：学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质。 三、教学过程 （一）复习引入：
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？ （二）应用举例：
例1．（补充）若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数y（k＜0）图象上，则a、b、c的大小关系怎样？
例2． （补充）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y象交于A（－2，1）、B（1，n）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围
例3：已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9，写出y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围。
- 5 -
kxm的图x
（三）随堂练习：
1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时， p=1．98kg／m3
（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。 （2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。
2、已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图像经过点（4， y的值。
（四）小结：谈谈你的收获 （五）布置作业 （六）板书设计
26．1．2反比例函数的图象和性质（2） 1、反比例函数及其图象与性质 例： 2、综合的问题 练习： 四、教学反思：
- 6 -
3），求当x=6时，
26.2 实际问题与反比例函数（第一、二课时）
一、教学目标
1、能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题。
2、经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程发展学生分析问题，解决问题的能力。
3、提高学生的观察、分析的能力 二、重点与难点
重点：运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。
难点：从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，教学时注意分析过程，渗透转化的数学思想。 三、教学过程
（一）提问引入、创设情景
活动一：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成的任务的情境。
（1） 当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木
板对地面的压强P（Pa）将如何变化？
（2） 如果人和木板反湿地的压力合计600N，那么P是S 的反比例函数吗？为
什么？
（3） 如果人和木板对湿地的压力合计为600N，那么当木板面积为0.2m2时，压
强是多少？
活动二：某煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室。
- 7 -
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？
（3）当施工队施工的计划掘进到地下15m时，碰到了岩石，为了节约资金，公司临时改设计，把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积改为多少才能满足需要。（保留两位小数）？ （二）应用举例、巩固提高
例1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式； （2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距． 例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）写出此函数的解析式；
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？ （三）课堂练习：
1．A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城．
（1）火车的速度v（千米/时）和行驶的时间t（时）之间的函数关系 是 v=
720 ． t- 8 -
（2）若到达目的地后，按原路匀速原回，并要求在3小时内回到A城， 则返回的速度不能低于 240千米/小时 ．
2．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x，高 为y，则y与x的函数关系是 y=（四）小结：谈谈你的收获 （五）布置作业 （六）板书设计
26.2 实际问题与反比例函数 1、反比例函数性质 例： 2、实际问题 练习： 四、教学反思：
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1390 ． x
26.2 实际问题与反比例函数（第三、四课时）
一、教学目标
1、学会把实际问题转化为数学问题
2、进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题
3、提高学生的观察、分析的能力 二、重点与难点
重点：用反比例函数解决实际问题． 难点：构建反比例函数的数学模型． 三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．也可这样描述：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．
为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！ （二）合作交流，解读探究
问题：小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，•分别是1200N和0.5m．
（1）动力F和动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，•撬动石头至少要多大的力？
（2）若想使动力F不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
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思考 你能由此题，利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，•动力臂越长越省力？
联想 物理课本上的电学知识告诉我们：用电器的输出功率P（瓦）两端的
u2电压U（伏）、用电器的电阻R（欧姆）有这样的关系PR= u ，也可写为P= ．
R2
（三）应用迁移，巩固提高
例：在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示．
（1）写出I与R之间的函数解析式； （2）结合图象回答：当电路中的电流不超12A时，电路中电阻R•的取值范围是什么？ （四）课堂跟踪反馈
过
1．在一定的范围内，•某种物品的需求量与供应量成反比例．•现已知当需求量为500吨时，市场供应量为10 000吨，•试求当市场供应量为16000•吨时的需求量是 •312.5吨 ． 2．某电厂有5 000吨电煤．
（1）这些电煤能够使用的天数x（天）与该厂平均每天用煤吨数y（吨）•之间的函数关系是 y=
5000
； x
（2）若平均每天用煤200吨，这批电煤能用是 25 天；
（3）若该电厂前10天每天用200吨，后因各地用电紧张，每天用煤300吨，这批电煤共可用是 20 天． （五）小结：谈谈你的收获 （六）布置作业
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（七）板书设计
26.2 实际问题与反比例函数 1、反比例函数性质 例： 2、实际问题 练习： 四、教学反思：
第26章 反比例函数复习（2课时）
一、教学目标
1．能画出反比例函数的图象，并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质．
2．反思在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，理解反比例函数的概念，领会反比例函数作为一种教学模型的意义．
3．培养学生观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法，体会函数在实际问题中的应用价值． 二、重难点
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1．重点：掌握反比例函数概念、图象和主要性质．
2．难点：应用反比例函数、结合几何、代数知识解决综合性问题． 三、教学过程 （一）学法解析
1．认知起点：在学习了一次函数，反比例函数的基础上进行知识的重温，•回顾．
2．知识线索：
3．学习方式：采取综合学习，分类归纳的方式，借助投影仪，•结合数形思想进行深入探究．
（二）回顾交流，反思提炼 ①问题提出：
1．反比例函数有哪些概念？试举例说明． 2．谈谈函数y=与y=-的图象的联系和区别．
学生活动：归纳反比例函数的概念，一般地，y=（k为常数，k≠0）•叫做反比例函数．
教师引导：（1）反比例函数的等价形式为y= y=kx-1（k≠0） xy=k（k≠0）变量y与x成反比例，比例系数为k．
（2）判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法： 方法1，按照反比例函数定义判断； 方法2，看两个变量的乘积是否为定值．
- 13 -
3x3xkxkx
3．课堂演练：
（1）矩形面积是60cm2，这时底ycm和高xcm之间的关系是反比例函数吗？[是，y=
60] x （2）在匀速直线运动中，路程s、时间t、速度v三者之间当路程s一定时，•时间t与速度v的关系是怎样的关系？[反比例函数关系，t=（s是常数）] （3）下列函数中，反比例函数是（B）． A．y=-x3B.y9 C．y=-x+7 D．y=-x2-1 4xsv （4）设菱形的面积为48cm2，两条对角线分别为xcm和ycm， ①求y与x之间的函数关系式；（y=
96） x ②求当其中一条对角线x=6cm，另一条对角线y的长．
②问题提出：
1．观察上述反比例函数（y=-，y=）的图象，回答下面问题： （1）反比例函数图象是怎样的曲线？（双曲线） （2）画反比例函数的图象应注意什么？
[①反比例函数的图象不是直线，“两点法”是不能画的；•②点选的越多画图越精确；③画图注意对称性、无限延伸] （3）反比例函数具有哪些性质？ 2．课堂演练．
1m21 （1）在函数y=（m为常数）的图象上有三点（-1，y1），（-，y2），
4x3x3x（，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（D）．
A．y2 （2）如图，A，B是函数y=的图象上交于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，BC•∥x轴，△ABC的面积S，则选（C）． A．S=1 B．1 1．已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x2成反比例，并且x=1时，y=1；x=3时，y2=23+1，•求x=时y的值． （四）随堂练习，巩固深化 2．如图，过双曲线y=上两点A、B分别作x轴、y轴的垂线，若矩形ADOC•与矩形BFOE的面积分别为S1、S2，则S1与S2的关系是什么？ （五）小结：谈谈你的收获 （六）布置作业 （七）板书设计 第26章 反比例函数复习 1、知识点 例： 2、实际问题 练习： 四、教学反思： 1x132x - 15 - 教学时间 课题 27.1 图形的相似（一） 课型 新授课 知 识 1． 理解并掌握两个图形相似的概念． 2． 了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教 学 目 标 教学重点 教学难点 相似图形的概念与成比例线段的概念． 成比例线段概念． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 课堂引入 1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子） 设计意图 - 16 - （2）教材P24.引入． （3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面） （4）让学生再举几个相似图形的例子． （5）讲解例1． 2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如ac（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． bd【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d；（4）若四条线段满足例题讲解 acbdac，则有ad=bc． bd例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ） 分析：因为图A是把图拉长了，而图D是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B与左图也不相似；而图C是将左图绕正五边形的中心旋转180º后，再按一定比例缩小得到的，因此图C与左图相似，故此题应选C. 例2（补充）一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？ （1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？ （2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？ 解：略．（a5） b3a的值是相等的，b小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一 - 17 - 致． 例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？ 分析：根据比例尺=解： 略 答：北京到上海的实际距离大约是1120 km． 课堂练习 1．教材P25的观察． 2．下列说法正确的是（ ） A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B．商店新买来的一副三角板是相似的. C．所有的课本都是相似的. D．国旗的五角星都是相似的. 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm，宽是_______cm； （大）长是_______cm，宽是_______cm； （2）（小）图上距离，可求出北京到上海的实际距离． 实际距离宽宽 ；（大） ． 长长（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ （答：相似的长方形的宽与长之比相等） 4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？ 5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？ 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P27：1、4 教科书P29：8 - 18 - 教学时间 课题 27.1 图形的相似（二） 课型 新授课 知 识 1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算． 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教 学 目 标 教学重点 教学难点 相似多边形的主要特征与识别． 运用相似多边形的特征进行相关的计算． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 - 19 - 一、课堂引入 1． 如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形． 2． 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等． 3．【结论】： （1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似． （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比． 问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？ 结论：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形． 二、例题讲解 例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（ ） A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似 分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D． 例2（教材P26例题）． 分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出正确的比例式． 解：略 例3（补充） 已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长． 分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题． 解：略 三、课堂练习 1．教材P27练习2、3． 2．（选择题）△ABC与△DEF相似，且相似比是是（ ）． A． 2，则△DEF 与△ABC与的相似比32324 B． C． D． 3259- 20 - 4．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（ ） （1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？ 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P27：2、3 教科书P28：5、6、7 教学时间 知 识 课题 27.2.1 相似三角形的判定（一） 课型 新授课 掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）． 教 和 学 能 力 目 过 程 标 和 方 法 经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力． - 21 - 情 感 态 度 价值观 会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 教学重点 教学难点 相似三角形的定义与三角形相似的预备定理． 三角形相似的预备定理的应用． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1．复习引入 （1）相似多边形的主要特征是什么？ （2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC与△A′B′C′中， 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且 设计意图 ABBCCAk． ABBCCA我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比． 反之如果△ABC∽△A′B′C′， 则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且ABBCCA． ABBCCA（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材P31的思考，并引导学生探索与证明． 3．【归纳】 三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 二、例题讲解 例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA． （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； （3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长． 分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长． - 22 - 解：略（AD=3，DC=5） 例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长． 分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有ADAEDEAD，又由AD=EC可求出AD的长，再根据求出DE的长． ABACBCAB10解：略（DE）． 3三、课堂练习 1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ） A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长． （CD= 10） 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P42：4、5 教学时间 课题 27.2.1 相似三角形的判定（二） 课型 新授课 - 23 - 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． 教 学 目 标 经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性． 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 教学重点 教学难点 掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似． （1）三角形相似的条件归纳、证明； （2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1．复习提问： (1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ BCB'C'AA'设计意图 (4) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）带领学生画图探究； （3）【归纳】 三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似． 3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ （2）教师带领学生探求证明方法． - 24 - 4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件： （1）提出问题：由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？ （2）让学生画图，自主展开探究活动． （3）【归纳】 三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似． 二、例题讲解 例1（教材P33例1） 分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边． 解：略 ※例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=71，求AD的长． 2分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们ABCD，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，CDACCDAC再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长． ACAD25解：略（AD=）． 4的夹角相等”来证明．计算得出三、课堂练习 1．教材P34：1、2、3 2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？ 3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF． 作业 设计 必做 选做 教科书P42：2、3 教科书P43：7 - 25 - 教学 反思 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 27.2.1 相似三角形的判定（三） 课型 新授课 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 教 学 目 标 经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 教学重点 教学难点 三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 三角形相似的判定方法3的运用． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 - 26 - 一、课堂引入 1．复习提问： （1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB， 那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由． （3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B， 那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题． （4）教材P35的探究4 ． 二、例题讲解 例1（教材P35例2）． 分析：要证PA•PB=PC•PD，需要证 PAPC，则需要证明这四条线段所在的两个PDPB三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似． 证明：略 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长． 分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似． 解：略（DF=三、课堂练习 1．教材P36的练习1、2． 2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE． 3．下列说法是否正确，并说明理由． （1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 10）． 3作业 设计 必做 选做 教科书P43：12 教科书P44：14 - 27 - 教 学 反 思 教学时间 课题 27.2.2 相似三角形的周长与面积 课型 新授课 知 识 1． 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 2． 能用三角形的性质解决简单的问题． 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教 学 目 标 教学重点 教学难点 相似三角形的性质与运用． 相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 - 28 - 设计意图 一、课堂引入 1．复习提问： 已知： ∆ABC∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：） 问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？ 2．思考： （1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ （2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？ （3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？ 推导见教材P37． 结论——相似三角形的性质： 性质1 相似三角形周长的比等于相似比． 即：如果 △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为k ， 那么 ABBCCAk． ABBCCA 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 即：如果 △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为k ， 那么 SABCAB2()k2． SABCAB相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于相似比． 相似多边形的性质2．相似多边形面积的比等于相似比的平方． 二、例题讲解 例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A′B′C′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC、AB、A′B′、A′C′的长． 分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC等边的长． 解：略（此题学生可以让自己完成）． 例2（教材P38例3） DEDF1，又有夹角∠D=∠A，由相似三角形的判ABAC21定方法2 可以得到这两个三角形相似，且相似比为，故△DEF的周长和面积可求出． 2 分析：根据已知可以得到 解：略（见教材P38） 三、课堂练习 1．教材P39．1-3． 2．填空： （1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____． - 29 - （2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________． （3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______． （4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2． 3．如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比． (第3题) 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P43：11、13 教学时间 课题 27.2.2 相似三角形的应用举例 课型 新授课 知 识 1． 进一步巩固相似三角形的知识． 2． 能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度教 和 问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 学 能 力 目 过 程 标 和 方 法 3． 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． - 30 - 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 问：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低． 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 二、例题讲解 例1（教材P39例4——测量金字塔高度问题） 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解：略（见教材P40） 问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？（如用身高等） 解法二：用镜面反射（如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）．（解法略） 例2（教材P40例5——测量河宽问题） 分析：设河宽PQ长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有 设计意图 PQQRx60，即．再解x的方程可求出PSSTx4590- 31 - 河宽． 解：略（见教材P40） 问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？ 解法二：如图构造相似三角形（解法略）． 例3（教材P40例6——盲区问题） 分析：略（见教材P40） 解：略（见教材P41） 三、课堂练习 1． 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米? 2． 小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高? 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P43：8、9、10、 教学时间 教 知 识 学 和 课题 27. 3 位似（一） 课型 新授课 1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质． 2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小． 目 能 力 - 32 - 标 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 位似图形的有关概念、性质与作图． 利用位似将一个图形放大或缩小． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、课堂引入 1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？ 2．问：已知：如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？ 二、例题讲解 例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 设计意图 - 33 - 分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可． 解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图（1）中的点A ，图（2）中的点P和图（4）中的点O．（图（3）中的点O不是对应点连线的交点，故图（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图形） 例2（教材P48例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的1． 21，也就是使新图形上各顶2 分析：把原图形缩小到原来的点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ． 作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′， 使得OAOBOCOD1； OAOBOCOD2（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2． 问：此题目还可以如何画出图形？ 作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD； （3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得OAOBOCOD1OAOBOCOD2 - 34 - ； （4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3． 作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′， 使得OAOBOCOD1； OAOBOCOD2（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4． （当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成） 三、课堂练习 1．教材P48．1、2 2．画出所给图中的位似中心． 3． 把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P51：1、2 教科书P51：4、P52：7 - 35 - 教学时间 课题 27. 3 位似（二） 课型 新授课 知 识 1．巩固位似图形及其有关概念． 和 能 力 过 程 2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 教 学 目 标 和 方 法 情 感 3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．态 度 价值观 教学重点 教学难点 用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换． 把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 - 36 - 一、课堂引入 1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，（1）将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标； （2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标； （3）将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标． 2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示． 3．探究： （1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为 1，把线段AB3缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ （2）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？ 【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 二、例题讲解 例1（教材P49的例题） 分析：略（见教材P49的例题分析） 解：略（见教材P50的例题解答） 问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！ 解法二：点A的对应点A′′的坐标为（-6×()，6×()），即A′′（3，-3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略） 例2（教材P50）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？ 分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……． 解：答案不惟一，略． 三、课堂练习 - 37 - 1212 1． 教材P50．1、2 2． △ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标． 3． 如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比． 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P51：3 教科书P52：6、8 教学时间 知 识 和 课题 28.1 锐角三角函数 课型 新授课 初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 教 能 力 学 过 程 目 和 逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 标 方 法 情 感 态 度 - 38 - 提高学生对几何图形美的认识。 价值观 教学重点 教学难点 正弦，余弦，正切概念 用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 3例1.求如图所示的Rt⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。 B 设计意图 A的对边A的邻边A的对边,cosA=,tanA= 斜边斜边A的邻边B C A C A 4.学生练习P64练习1，2， 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 归纳结果 siaA cosA tanA 2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30° 30° 45° 60° 12sia 45°-cos30° 2cos300(3)+ta60°-tan30° sia450（2） - 39 - 三．拓展提高 1. P66例4.（略） 2. 如图，在⊿ABC中,∠A=30°,tanB= 3,AC=23,求AB 2C A B 四．小结 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P68：1-5 教科书P69-70：6-10 教学时间 课题 解直角三角形应用（一） 课型 新授课 教 知 识 角函数解直角三角形三角形中． 学 和 使学生理解直角五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三目 能 力 - 40 - 标 过 程 培养学生分析问题、解决问题的能力． 和 方 法 情 感 态 度 价值观 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 教学重点 教学难点 直角三角形的解法． 三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA= 设计意图 aba cosA= tanA ccb(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析 - 41 - 例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 2 a=6，解这个三角形． 例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 B=350，解这个三角形（精确到0.1）． 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演． 完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底． 例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． (三) 巩固练习 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线AD=43，解此直角三角形。 解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力． (四)总结与扩展 请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素． 2解决问题要结合图形。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P77：1、2 练习册 - 42 - 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 解直三角形应用（二） 课型 新授课 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． 教 学 目 标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 教学重点 教学难点 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系： 设计意图 A的对边A的对边sinA斜边 tanA=A的邻边 （二）新授概念 - 43 - cosAA的邻边斜边 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米) AC解：在Rt△ABC中sinB=AB AC1200 AB=sinB=0.2843=4221(米) 答：飞机A到控制点B的距离约为4221米． 例2.2012年6月18日“神州”九号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。 F ．P Q O 解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了． A的对边斜边 例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA= - 44 - 来解决的两个实际问题即已知和斜边， 求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边． （三）．巩固练习 1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m） 2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m) 教师在学生充分地思考后，应引导学生分析： （1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来． （2）．请学生结合图形独立完成。 3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD． 此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD． 设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的． 练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)． 要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它． (四)总结与扩展 请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题． 0作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P78：3、4 教科书P78：7 - 45 - 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 解直三角形应用（三） 课型 新授课 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 教 学 目 标 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识． 教学重点 教学难点 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 - 46 - 1．导入新课 上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决． 2．例题分析 例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°， 求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)． 分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？ 由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB． 学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成 例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。 如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯． 另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想． 例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？0065 0A P 34 0B ． 引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？ 3巩固练习 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)． - 47 - 首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题． Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？ (三)总结与扩展 请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决． 本课涉及到一种重要教学思想：转化思想． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P78：5 教科书P78：6 教学时间 知 识 课题 解直三角形应用（四） 课型 新授课 使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题． 教 和 学 能 力 目 过 程 标 和 方 法 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． - 48 - 情 感 态 度 价值观 培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点． 教学重点 教学难点 把等腰梯形转化为解直角三角形问题； 如何添作适当的辅助线． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情． 2．例题 例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)． 分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC． (2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题． 例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题． 3．巩固练习 如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)． 分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长． (2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评． (三)小结 请学生作小结，教师补充． 本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角 - 49 - 设计意图 函数时，要正确判断边角关系． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P79：9 教科书P79：10 教学时间 知 识 和 课题 解直三角形应用（五） 课型 新授课 巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题 教 学 目 标 能 力 过 程 和 方 法 培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点． 逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法． 情 感 - 50 - 态 度 价值观 教学重点 教学难点 能熟练运用有关三角函数知识． 解决实际问题． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 1．探究活动一 教师出示投影片，出示例题． 例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 设计意图 分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点． 2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB． 3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视． 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米． 教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握． 2．探究活动二 例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？ - 51 - 这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题． 由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。 学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成． 解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角． ∴∠BED=∠ABD-∠D=90°． ∴DE=BD·cosD =520×0.6428=334.256≈334.3(m)． 答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线， 提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题，出示投影片． 练习P77 练习1，2。 补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)． 学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导： (1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题． 此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可． 补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？ 如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣． 若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考． (三)小结与扩展 教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角 - 52 - 函数等知识解决问题． 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P79：8 练习册 教学时间 知 识 和 课题 解直三角形应用 课型 新授课 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题． 教 能 力 学 过 程 目 和 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 标 方 法 情 感 态 度 - 53 - 培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点． 价值观 教学重点 教学难点 解决有关坡度的实际问题． 理解坡度的有关术语． 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 1．创设情境，导入新课． 例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)． 同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨． 通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角 设计意图 的意义． 介绍概念 坡度与坡角 结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水 h平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝l， - 54 - 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角． 引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？ h 答：i＝l＝tan 这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固． 练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度． 为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问： (1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明． (2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明． 答：(1) 如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小， AB因为 tan＝BC，AB不变，tan随BC增大而减小 (2) 与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα 时，tan随AB的增大而增大 2．讲授新课 引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD． 以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯． 坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力． 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中， - 55 - AB 也随之增大，因为tan=BC不变 ∴AE=3BE=3×23=69(m)． FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)． ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)． 1 因为斜坡AB的坡度i＝tan＝3≈0.3333，查表得 α≈18°26′ 答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米． 3．巩固练习 (1)教材P84. 2 由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题． (2)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求： ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积； ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数． 分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题． 2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD？ 3．土方数=S·l ∴AE=1.5×0.6=0.9(米)． ∵等腰梯形ABCD， ∴FD=AE=0.9(米)． ∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)． 总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)． - 56 - 答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米． (四)总结与扩展 引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力． 1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题． 2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题． 3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错． 4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位． 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P84：1-7 教科书P85：8-12 教学时间 知 识 课题 29.1投影（1） 课型 新授课 1、经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念； 2、了角平行投影和中心投影的区别。 3、使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 教 和 学 能 力 目 过 程 标 和 方 法 - 57 - 情 感 态 度 价值观 教学重点 教学难点 理解平行投影和中心投影的特征； 在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影。 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）创设情境 你看过皮影戏吗? 皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术，在关中地区很为流行。皮影戏演出简便，表演领域广阔，演技细腻，活跃于广大农村，深受农民的欢迎。（有条件的）放映电影《小兵张嘎》部分片段 ---小胖墩和他爸在日军炮台内为日本鬼子表演皮影戏 （二）你知道吗 （有条件的）出示投影： 北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉出灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻． 问题：那什么是投影呢？ 出示投影让学生感受在日常生活中的一些投影现象。 设计意图 一般地.用光线照射物体.在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面. 有时光线是一组互相平行的射线.例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线(如图).由平行光线形成的投影是平行投影.例如.物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影. 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如.物体在灯泡发出的光照射下形成影子就是中心投影. - 58 - （三）问题探究（在课前布置，以数学学习小组为单位） 探究平行投影和中心投影和性质和区别 1、以数学习小组为单位，观察在太阳光线下，木杆和三角形纸板在地面的投影。 2、 不断改变木杆和三角形纸板的位置，什么时候木杆的影子成为一点，三角形纸板的影子是一条线段？当木杆的影子与木杆长度相等时，你发现木杆在什么位置？三角形纸板在什么位置时，它的影子恰好与三角形纸板成为全等图形？还有其他情况吗？ 3、由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显的差别。如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘，△OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平面与投影面平行时， △ABC的中心投影△A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到△A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换。 4、请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？ 平行投影与中心投影的区别与联系 光线 区别 物体与投影面平行时的投影 全等 联系 平行投影 平行的投射线 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影) - 59 - 中心投影 从一点出发的投放大(位似变换) 射线 （四）应用新知： （1）地面上直立一根标杆AB如图，杆长为2cm。 ①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形？ ②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形？并画出投影示意图； （2）一个正方形纸板ABCD和投影面平行（如图），投射线和投影面垂直，点C在投影面的对应点为C’，请画出正方形纸板的投影示意图。 （3）两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？并说明理由。 解：分别连结标杆的顶端与投影上的对应点(图4-17).很明显，图(1)的投射线互相平行，是平行投影.图(2)的投射线相交于一点，是中心投影。 四、学习反思： 我们这节课学习了什么知识？ 作业 设计 教学 反思 必做 选做 教科书P92：1、2 练习册 - 60 - 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 2.9投影（二） 课型 新授课 1、了解正投影的概念； 2、能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影 3、培养动手实践能力，发展空间想象能力。 教 学 目 标 教学重点 教学难点 正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影 归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）复习引入新课 下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别? 设计意图 - 61 - 解：结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，形成平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对着投影面). 指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。 （二）合作学习，探究新知 1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置: (1)铁丝平行于投影面; (2)铁丝倾斜于投影面， (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点). 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状 通过观察，我们可以发现; (1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB = A1B1 (2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2 (3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3 2、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置: (1)纸板平行于投影面; (2)纸板倾斜于投影面; (3)纸板垂直于投影面 结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样; (2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化; (3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段. 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同. 3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影. (1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1); - 62 - (2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P图 (2). 分析口述画图要领 解答按课本板书 4、练习P92 练习 5、谈谈收获 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P92：3-4 教科书P92：5 教学时间 教 学 目 标 知 识 和 能 力 过 程 和 课题 29.2 三视图（一） 课型 新授课 1、 会从投影的角度理解视图的概念会画简单几何体的三视图 通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系 - 63 - 方 法 情 感 态 度 价值观 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识 教学重点 教学难点 从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图 对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）创设情境，引入新课 设计意图 这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？ 物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影。 如图 (1)，我们用三个互相垂直的平面 作为投影面，其中正对着我们的叫做正 面，正面下方的叫做水平面，右边的叫 做侧面.一个物体(例如一个长方体)在三 个投影面内同时进行正投影，在正面内 得到的由前向后观察物体的视图，叫做 主视图，在水平面内得到的由上向下观 察物体的视图，叫做俯视图;在侧面内得 - 64 - 到由左向右观察物体的视图，叫做左视 图. 如图(2)，将三个投影面展开在一个平面 内，得到这一物体的一张三视图(由主视 图，俯视图和左视图组成).三视图中的各 视图，分别从不同方面表示物体，三者合 起来就能够较全面地反映物体的形状. 三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长， 主视图与左视图表示同一物体的高.左视图与俯 视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小 是互相联系的.画三视图时.三个视图要放在正 确的位置.并且使主视图与俯视图的长对正， 主视图与左视图的高平齐.左视图与俯视图的 宽相等 通过以上的学习，你有什么发现？ 物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正投影就是左视图 （二）应用新知 例1画出下图2所示的一些基本几何体的三视图. 分析:画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为: 1.确定主视图的位置，画出主视图; 2.在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”。 3.在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 解： 练习： 1、 - 65 - 2、你能画出下图1中几何体的三视图吗 小明画出了它们的三种视图(图2),他画的对吗 请你判断一下. 四、小结 1、画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平面图形的形状和大小，不要受到该方向的物体结构的干扰。 2、在画三视图时，三个三视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等。 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P101：1 练习册 - 66 - 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 三视图（二） 课型 新授课 1、进一步明确正投影与三视图的关系 教 学 目 标 经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；培养动手实践能力，发展空间想象能力。 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 教学重点 教学难点 简单立体图形的三视图的画法 三视图中三个位置关系的理解 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）复习引入 1、画一个立体图形的三视图时要注意什么？（上节课中的小结内容） 2、说一说：直三棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图 3、做一做：画出下列几何体的三视图 设计意图 4、讲一讲：你知道正投影与三视图的关系获 图29.2-7 （二）讲解例题 例2画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图. 分析:支架的形状，由两个大小不等的长方体构 - 67 - 成的组合体.画三视四时要注意这两个长方体的 上下、前后位置关系. 解:如图29.2-7是支架的三视图 例3右图是一根钢管的直观图，画出它的三视图 分析.钢管有内外壁，从一定角度看它时，看不见 内壁.为全面地反映立体图形的形状，画图时规定; 看得见部分的轮廓线画成实线.因被其他那分遮挡 而看不见部分的轮廓线画成虚线. 图29.2-9 解.图如图29.2-7是钢管的三视图，其中的虚线表示钢管的内壁. (三)巩固再现 1、P119 练习 2、一个六角螺帽的毛坯如图,底面正六边形的边长为250mm,高为 200mm,内孔直径为200mm.请画出六角螺帽毛坯的三视图. 作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P101：2 教科书P102：5 - 68 - 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 三视图（三） 课型 新授课 学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型； 教 学 目 标 经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。 使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 教学重点 教学难点 根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型 根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 （一）复习引入 前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形（实物）呢？引导学生结合例例例的三视图想象一下构造还原过程（发展空间想象能力） （二）新课学习 例4根据下面的三视图说出立体图形的名称. 设计意图 分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的 - 69 - 前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形， 解:(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是长方体，如图(1)所示; (2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是圆锥，如图(2)所示. 例5根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状. 分析.由主视图可知，物体正面是正五边形 ，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形 的，且有一条棱(中间的实线)可见到。两 条棱(虚线)被遮挡，由左视图知,物体的侧 面是矩形的.且有一条棱〔中间的实线)可 见到,综合各视图可知，物体是五棱柱形状的. 解:物体是五棱柱形状的，如下图所示. （三）巩固再现 1、P99 练习 2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。 三、小结： 1、一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看。 2、一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等。 3、对于较复杂的物体，有三视图形象出物体的原型，应搞清三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系。 主视图左视图俯视图作业 设计 必做 选做 教科书P102：3、4 教科书P102：6 - 70 - 教 学 反 思 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 三视图（四） 课型 新授课 1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型； 教 学 目 标 2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力； 3、了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。 教学重点 教学难点 根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用 根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 - 71 - （一）复习引入 1、完成下列练习 （1）、如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。 （2）、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。 （3）、某几何体的三种视图分别如下图所示，那么这个几何体可能是（ ）。 （A）长方体 （B）圆柱 （C）圆锥 （D）球 2、让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应立体图形的图片，借助图片信息让学生体会到本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学里开设的模具和机械制图专业和课程就需要这方面的知识，激发学生的学习兴趣，导入本课。 （二）讲授新课 例6某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如下图)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积. 分析:对于某些立体图形，若沿其中一些线(例如棱柱的棱)剪开，可以把立体图形的表面展开成一个平面图形——展开图.在实际的生产中.三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图.从而计算面积. 解:由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(左)). 密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm.边长为50mm，图(右)是它的展开图. - 72 - 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为 练习巩固 P100 练习 补充例题：根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个小正方体? 分析:由俯视图确定该建筑物在平面上的形状，由主视图、左视图确定空间的形状如图所示. 解:该建筑物的形状如图所示: 有3层，共9个小正方体. 思考：一个物体的主视图如上右图所示, 请画出它的俯视图，耐心想一想有 几种不同的情形? 四、小结：根据物体的三视图想像物体的形状一般是由俯视图确定物体在平面上的形状.然后再根据左视图、主视图嫁接出它在空间里的形状，从而确定物体的形状. 作业 设计 必做 选做 教科书P103：7 教科书P103：8 - 73 - 教 学 反 思 教学时间 课题 29.3 制作立体模型（活动课） 课型 新授课 知 识 （1）实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识； 和 能 力 过 程 （1）通过创设情境，让学生自主探索立体图形的制作过程； 和 方 法 情 感 （1）通过创设问题情境，使学生感受平面图形与立体图形的关系； 态 度 价值观 （2）通过参与数学实践，培养合作探索精神和尊重理解他人想法的学习品质； （3）通过动手实践活动，培养学生的创新意识与创造发明的意识； （2）通过自主探索，合作研究讨论，使学生加深投影和视图的认识； （3）模型制作，体会由平面图形转化为立体图形的过程与乐趣. （2）加强在实践活动中手脑结合的能力； （3）体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系. 教 学 目 标 教学重点 教学难点 让学生亲自经历规律的发现、深入、研究、应用的过程； 学生通过手工制作，实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中，科学的研究态度. 刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等 - 74 - 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 一、具体活动 １、以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体模型。 设计意图 ２、按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型 ３、下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。 （１）指出其中哪些可以折叠成多面体。把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案； （２）画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的； （３）如果上图中小三角形的边长为１，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？ 二、课题拓广 三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，结合具体例子，写一篇短文介绍三视图、展开图的应用。 (1) (2) (3) 作业 设计 必做 选做 教科书P110：7 教科书P110：8 - 75 - 教 学 反 思 教学时间 知 识 和 能 力 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 课题 第四章投影与三视图 复习 课型 新授课 1、通过复习系统掌握本章知识， 2、体验数学来源于实践，又作用于实践。 教 学 目 标 3、提高解决问题分析问题的能力。 4、培养空间想象能力。 体会到数学来源于生活，应用于生活 教学重点 教学难点 投影和三视图 画三视图 多媒体课件 教学准备 教师 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 - 76 - 一、以提问形式小结本章知识 1、本章知识结构框架： 2、填空： （1）人在观察目标时，从眼睛到目标的 叫做视线。 所在的位置叫做视点，有公共 的两条 所成的角叫做视角。 视线不能到达的区域叫做 。 （2）物体在光线的照射下，在某个 内形成的影子叫做 ，这时光线叫做 ，投影所在的 叫做投影面。 由 的投射线所形成的投影叫做平行投影。 由 的投射线所形成的投影叫做中心投影。 （3）在平行投影中，如果投射线 垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影。 （4）物体的三视图是物体在三个不同方向的 。 上的正投影就是主视图，水平面上的正投影就是 ， 上的正投影就是左视图。 二、例题讲解 例1、（１）在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ） A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短 C、小明和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长 分析：阳光是平行光线，出现平行投影。路灯是点光源，是中心投影，形成的影子是不一样的 例2、如图所示图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的具体名称。 C主视图A左视图张丽B俯视图分析：从俯视图上看，该立体图形是个对称图形，从主视图、左视图上看，正面和左面都是等腰三角形，因此我们可以想象，该立体图形是正四棱锥。 王明李杰钱勇例3、A、B 表示教室门口，张丽在教室内，王明、钱勇、李杰三同学在教室 - 77 - 外，位置如图所示，张丽能看得见三位同学吗？请说明理由。 例４、如右上图，小王、小李及一根电线杆在灯光下的影子。 （１）确定光源的位置； （２）在图中画出表示电线杆高度的线段。 分析：由条件易知，本题属于中心投影问题，根据中心投影的特点，物体与影子对应点的连线必须经过光源，因此我们可以利用两线的交点来求光源的位置。 例５、如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单的几何体的主视图和俯视图。 （１）请你画出这个几何体的一种左视图； （２）若组成这个几何体的小正方体的块数为ｎ，请你写出ｎ的所有可能值。 分析：左视图为侧视图，由于几何体只知道主视图和俯视图，那么左视图就不是唯一的，而主视图表示几何体共有三层，所以侧视图有多种可能，俯视图只看见５个小正方体，这５个正方体可分布在１、２、３层。 主视图 俯视图小王小李电线杆作业 设计 教 学 反 思 必做 选做 教科书P109：1-3 教科书P110：4-6 - 78 - - 79 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容