2021年数列全部题型归纳(非常全面,经典!)

数列百通

欧阳光明（2021.03.07）

通项公式求法(一)转化为等差与等比

1、已知数列{an}满足a11，anan211（nN,２≤n≤８），则它的通项公式an什么

2.已知{an}是首项为2的数列，并且an1an2anan1，则它的通项公式an是什么

3.首项为2的数列，并且an12an3，则它的通项公式an是什么 4、已知数列an中，a10，an1求证：12an，nN*.

1是等差数列；并求数列an的通项公式；

an15.已知数列an中，a13，an12an2n2，如果bnan2n，求数列

an的通项公式

（二）含有Sn的递推处理方法

1）知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列{an}的通项公式.

2.）若数列an的前

(2an)2n项和Sn满足，Sn8则，数列an

143）若数列an的前n项和Sn满足，anSnSn1,an0,a1则，数列an 4）a12a23a3...nann(n1)(n2) 求数列an

（三） 累加与累乘

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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（1）如果数列an中a11,anan12n(n2)求数列an （2）已知数列{an}满足a13，anan1通项公式

(3)a11,a22,an+2=3an12an,求此数列的通项公式.

（4）若数列an的前n项和Sn满足，Snn2an,a1则，数列an （四）一次函数的递推形式

1212 .若数列an满足a11,anan12n(n2)，数列an

2121(n2)，求此数列的n(n1)1. 若数列an满足a11,anan11(n2)，数列an

（五）分类讨论

（1）an3an2(n3),a11,a27，求数列an （2）

an2,(n3)a11,a23，求数列an an2（六）求周期 16 （1） an11an,a24，求数列a2004 1an（2）如果已知数列an1anan1，a12,a26，求a2010 拓展1：有关等和与等积

（1）数列{an}满足a10,an1an2,求数列{an}的通项公式 （2）数列{an}满足a10,an1an2n,求数列{an}的通项公式

(3).已知数列{an}满足a13,anan1()n,(nN*),求此数列{an}的通项公式.

拓展2 综合实例分析

1已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意自然数n，总有

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12*欧阳光明*创编 2021.03.07

Snpan1,p0,p1

（1）求此数列{an}的通项公式

(2)如果数列bn中，bn2nq,a1b1,a2b2，求实数p的取值范围 2

n3n已知整数列{an}满足a1a2a2a3a3a4...an1an3，求所有可能的

an

3

已知{an}是首项为１的正项数列，并且

22(n1)an)，则它的通项公式an是什么 1nanan1an0(n1,2,3,4已知{an}是首项为1的数列，并且an1是什么

an，则它的通项公式an3an45、数列an和bn中，an,bn,an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列，且a11，b12，设cnan，求数列cn的通项公式。 bn6设无穷数列an的前n项和为Sn，已知a12，且当nN时，总有

3Sn112Sn，求an及Sn．

7 数列an满足p1Sn1an，其中p为正实数，Sna1a2…

annN*

(1)证明：an为等比数列，并求出它的通项； (2)数列bn中，b11，bn1bnan，求bn的通项公式 数列求最值的方法 （一）化为函数方法 转化为耐克函数

n2n4（1）如果数列an的通项公式是an=，此数列的哪一项最

n*欧阳光明*创编 2021.03.07

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小？并求其最小值

（2）如果数列an的通项公式是an=大？并求其最大值 转化为分式函数

（3）如果数列an的通项公式是an=并求其最大值 转化为二次函数

（4）如果数列an的通项公式是an=n2kn2是单调递增数列，求k的取值范围。

如果该数列在第四项最小，求k的取值范围 （二）数列的简单单调性求最值的方法： 如果数列an的通项公式是an=(1)判断数列的增减

(2)若对于一切大于1的自然数n，不等式an求a的取值范围？

（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法

（1）数列an的通项公式是an=n1,nN*，是否存在自然数m，使对任意的序号nN*，有anam恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由

（2）如果数列an的通项公式是an=()n,nN*，是否存在自然数m，使对任意的序号nN*，有anam恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由

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n1n5n，此数列的哪一项最2n156，此数列的哪一项最大？

111.....(nN*)， n1n2nn12loga(a1)恒成立123910*欧阳光明*创编 2021.03.07

9（3）如果数列an的通项公式是an=(n1)()n,nN*，是否存在自然

10数m，使对任意的序号nN*，有anam恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由

（四）数列单调性求“和”的最值的方法 已知数列前n项和为Sn，且Snn5an85,(nN)

（1） （2） （3）

求an的通项公式 求Sn的通项公式

说说n为何值时，Sn取得最小值？

数列的求和

（一）倒序相加法：

（1）设fx方法，求：

f8f7…f0…f8f9的值

123n1n3Cn4Cn....nCn(n1)Cn（2） SnCn02Cn

1，利用课本中推导等差数列前n项和公式的x22（二） 错位相减法

求和：123572n1…n

48162（三） 公式求和法

（1）数列an中，a18,a42且an22an1an0nN*，

Sna1a2a3a4…an，求Sn．

（2）Snanan1ban2b2a2bn2abn1bn(nN*) （3）求和12223242…n2 （三）裂项求和法

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111（1）,,,…

153759（2）111… 1335571111,(nN*) 121231234123n（3） 1（4）求数列annn!的前n项和 （四）. 分组求和法 1. 分部分组法

1811（2） 1，3＋，32＋233（1）1,2,3,…

1214，……，3n＋

1 n32.奇偶分组

6n5n为偶数（3）已知ann求数列an的前n项和． 4n为奇数3

均匀分组

（4）1,3,5,7… 4. 不均匀分组

（5）求数列：1,,,,,,,,,,…的前100项和； （6）求数列：1,23,456,78910,…的前n项和． 数列的极限 5个“三” 三个定义极限

（1）nlimC=C（C为常数）;

1（2）nlim=0;

nn

（3）nlimq=0（|q|＜1）

111111111223334444三个不存在的极限

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三个推导极限 （1）多项式

liman2bn3n4n53 ，则a________,b________. (2)单指数 （3）多指数 若nlim3n3n1a1n13，求a的取值范围 三个待定形 1）00型

1313比较 limn2nn1和limn2nn1 n22

nn24

n

2）型

比较lim3n225n22n2n21和limn2n21

3）0+0+0+0+0+0+0+0……型 三个重要条件

limqn极限存在(1q1)

n设数列{an}是公比q0的等比数列，Sn是它的前n项和，limnSn7，那么a1的的取值范围是_________

例1

已知数列an中，a11,anan12n(nN)

（1）求证数列an不是等比数列，并求该数列的通项公式； （2）求数列an的前n项和Sn；

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若

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（3）设数列an的前2n项和为S2n，若3(1ka2n)S2n•a2n对任意

nN恒成立，求k的最小值.

例2

定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为

nx1x2xn（nN*）．

（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为式；

12n4，求{an}的通项公

（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn1，当n为偶数时，

bn2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求limTn；

n（3）设函数f(x)x24x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数

，使得当x时，f(x)an对任意nN*恒成立？若存在，求出n1最大的实数；若不存在，说明理由．

例3

设满足条件P:anan22an1(nN*)的数列组成的集合为A，而满足条件Q:anan22an1(nN*)的数列组成的集合为B.

（1）判断数列{an}:an12n和数列{bn}:bn12n是否为集合A或B中的元素？

（2）已知数列an(nk)3，研究{an}是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由.

（3）已知an31(1)ilog2n(iZ,nN*)，若{an}为集合B中的元素，求满足不等式|2nan|60的n的值组成的集合.

例4

对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（nN）都有xnmxn成立，那么就把这样一类数列{xn}称作周期为

m的周期数列，m的最小值称作数列{xn}的最小正周期，以下简称

2周期.例如当xn2时{xn}是周期为1的周期数列，当ynsin(n)时{yn}*欧阳光明*创编 2021.03.07

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是周期为4的周期数列.

（1）设数列{an}满足an2an1an（nN），a1a,a2b（a,b不同时为0），求证：数列{an}是周期为6的周期数列，并求数列

{an}的前

2012项的和S2012；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn(an1)2.

①若an0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由； ②若anan10，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由；

例5

已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an3n6，bn2n7（nN*），将集合

{x|xan,nN*}{x|xbn,nN*}中的元素从小到大依次排列，构

成数列

c1,c2,c3,,cn,。

（1）求c1,c2,c3,c4；

（2）求证：在数列{cn}中．但不在数列{bn}中的项恰为

a2,a4,,a2n,；

（3）求数列{cn}的通项公式。 例6

如果有穷数列a1，a2，a3，，am（m为正整数）满足条件a1am，

a2am1，…，ama1，即aiami1（i1，，2，m），我们称其为“对称

数列”．

例如，数列1，，，，2521与数列8，，，，，42248都是“对称数列”．

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（1）设bn是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b12，b411．依次写出bn的每一项；

（2）设cn是49项的“对称数列”，其中c25，c26，，c49是首项为1，公比为2的等比数列，求cn各项的和S；

（3）设dn是100项的“对称数列”，其中d51，d52，，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求dn前n项的和Sn(n1，，2，100)．

挑战一

已知数列an是首项a1a，公差为2的等差数列；数列bn满足2bn(n1)an.

（1）若a1、a3、a4成等比数列，求数列an的通项公式； （2）若对任意nN都有bnb5成立，求实数a的取值范围；

（3）数列cn满足cncn23()n1(nN且n3)，其中c11，

c23； 212f(n)bncn，当16a14时，求f(n)的最小值（nN）

挑战二

我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x(x0)，使得

Aa1a2xa3x2.....anxn1，则称数A可以表示成x进制形式，简记

为：

Ax~(a1)(a2)(a3).....(an1)(an)。如：A2~(1)(3)(2)(1)，则表示A是一

个2进制形式的数，且A132(2)22123＝5.

（1）已知m(12x)(13x2)（其中x0)，试将m表示成x进制的简记形式.

（2）若数列{an}满足a12，ak11,kN*， 1akbn2~(a1)(a2)(a3).....(a3n2)(a3n1)(a3n)(nN*)，是否存在实常数p和

q，对于任意的nN*，bnp8nq总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由.

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（3）

123n1n若常数t满足t0且t1，dnt~(Cn)(Cn)(Cn).....(Cn)(Cn)，求

limdn.

ndn1挑战三

已知数列an满足a11，an12an2n(nN)． (1)并求出数列an的通项公式an；

12nb3Cnbn1Cnan1对(2)求等差数列bn(nN)，使b1Cn0b2CnnN都成立；

cc1c2c3nMa1a2a3an令cnnbn(nN)，是否存在正常数M，使对nN恒成立，并证明你的结论．

挑战四

已知等差数列{an}中，公差d0，其前n项和为Sn，且满足

a2a345，

a1a414.

（1）求数列{an}的通项公式； （2）设由bncSnnc（c0）构成的新数列为bn，求证：当且仅当

1时，数列bn是等差数列； 28(an7)bn （3）对于（2）中的等差数列bn，设cn列cn的前

n（nN*），数

项和为Tn，现有数列f(n)，f(n)Tnan38n0.9bn（nN*），

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是否存在整数M，使fnM对一切nN*都成立？若存在，求出M的最小

值，若不存在，请说明理由.

挑战五

已知，数列an有a1a,a2p（常数p0），对任意的正整数

n,Sna1a2an，并有Sn满足Snn(ana1)。 2（1）求a的值；

（2）试确定数列an是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；

（3）对于数列bn，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bnb且limbnb，则称b为数列bn的“上渐进值”，令npnSn2Sn1Sn1Sn2，求数列p1p2pn2n的“上渐进值”。

挑战六

已知数列an中，a10，an1（1）求证：12an，nN*.

1是等差数列；并求数列an的通项公式； a1n（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|bnbm|，则称该数列为

4“域收敛数列”. 试判断: 数列bnan5n，nN*是否为一个“

23域收敛数列”，请说明你的理由.

挑战八

已知函数fxlog33x,M(x1,y1),N(x2,y2)是fx图像上的两点，1x*欧阳光明*创编 2021.03.07

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横坐标为的点P满足2OPOMON（O为坐标原点）. （1）求证：y1y2为定值；

12n1*ff（2）若Snf(nN，n2)， nnnSnSn49求limn4Sn19Sn112的值；

1，n1，6(nN*)，Tn为数（3）在(2)的条件下，若an1，n2，4S1S1nn1列an的前n项和，若TnmSn11对一切nN*都成立，试求实数m的取值范围. 挑战九

本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题

满分6分．

把公差为2的等差数列{an}的各项依次插入等比数列{bn}中，将

{bn}按原顺序分成

{cn}1项、2项、4项、……、2n1项的各组，得到数列开始：b1,a1,b2,b3,a2,b4,b5,b6,b7,a3，……，记数列{cn}的前n1项i和为13． 4T<15 是Sn．若c11，c22，S3否（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）求数列{cn}的前100项和S100；

输出Ti i1ii100否（3）设Tn2009bnan，阅读框图写出输出项，说明理由． 挑战十

23是结束已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=ann4,bn(1)n(an3n21),其中λ为

实数，n为正整数.

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（1）对任意实数λ，证明:数列{an}不是等比数列； （2）证明：当18时，数列{bn}是等比数列；

（3）设0＜a＜b（a,b为实常数）,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存

在实数λ，使得对任意 正整数n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由. 挑战十一

将数列{an} 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：

①在数列{bn} 中，b1=1，对于任何n∈N*，都有（n+1）bn+1﹣nbn=0；

②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；③

．请解答以下问题：

（1）求数列{bn} 的通项公式；

（2）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）； （3）若关于x的不等式解，求正整数k的取值范围

在

上有

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