PLL设计关键基础因素
锁相环的瞬态特性通常是一个非线性过程，并且不能够简单的用式子来表示。但是当环路带宽不大于参考时钟频率的1／10时，离散模型可以用连续时间模型(s域)较好地近似。
PLL在锁定状态下的包括每一个模块的传递函数的线性模型，以下理论中所有的公式都是没有分频电路（N）的基础上进行的分析。
如下图所示，
这个模型是用来证明总的相位特性的传递函数以表示成一个减法器。
假设LPF的电压传递函数为
。因此，PD可
。PLL的开环传递函数为：
闭环传递函数为：
假设低通滤波器为一个最简单的一阶无源滤波器，如下图所示
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那么LPF的电压传递函数为为
其中，带入LPF传递函数得
这是一个二阶系统，一个极点是vco提供的，另外一个极点是由LPF提供的。
为环路增益，单位为rad／s。
为了方便分析PLL的动态特性，将PLL闭环传输函数的分母化为二阶函数形式：
其中
为衰减因子，
为系统的自然振荡频率。
则公式最终化为：
其中
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自然频率
是低通滤波器的-3dB带宽和环路增益的几何平均值，从近似
的角度来看，可以认为是环路的增益带宽积。
进行波特图分析时（开环分析闭环），开环传输函数宽为
的单位增益带
相位裕度为：
在一个好的二阶系统中，通常大于0．5，最好使其等于0.707，这样有一个优化的频率响应。
PLL闭环传输函数化为二阶函数形式得：如果输入偏差相位变化慢，则输出相位偏差能够跟上其变化：如果输入相位偏差变化快，输出相位偏差变化会比输入小。
定义“输入／输出相位差传递函数(phase error transfer function)”为：
则
为了更好的分析信号的传输特性，我们假设输入的信号相位有一个阶跃，则最终系统稳定下来后，输出信号的相位变化为
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而输入输出相位差则为
PLL工作稳定后的值则为
即相位差为输人频率变化值除以一个因子K。自然，VC0的控制电压会变，输入相位差变化为。
可以看到PLL系统参数设置上的相互制约性，比方说，如果为了减小锁定后的相位差而增大环路增益K，就会使得环路的建立特性变坏。
为了减小K与的相互依赖性，可以在低通滤波器上增加一个零点来调整系统的传递函数，如下图所示 化
这时低通滤波器的传递函数为
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PLL的传递函数则为：
其中
衰减因子则等于
为了增加K值而引入一个零点也有两个缺点：1)系统的一3dB带宽增加了。2)高频信号的衰减倍数变成了R1／(R2+R1)。为了减小第二项缺点，可以在滤波器的输出端再并一个电容，提供一个高于零点的极点。
加入并联电容后，该函数变为三阶传输函数，分析起来很繁琐。由于并联电容一般相对而言很小，可以忽略，所以建模时可以将三阶传输函数简化为二阶传输函数，即三阶的闭环系统，通常会被简化成二阶的闭环系统进行分析。
简化分析中PLL环路参数确定方法
前面已经通过简化的二阶理想模型建立系统环路参数和闭环特性参数之间的关系，本内容介绍不同的方法来简化高效地计算PLL系统的环路参数。
为了满足系统稳定性和连续时间模型的要求，前提是环路带宽不大于参考时钟频率的1／10，即
。
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方法一：利用波特图分析理论中的进行参数确定，开环分析闭环。
PLL实际电路工作过程中，其电源电压和环境温度等存在变化，为了保证系统的稳定性，阻尼因子应适当增大，一般在0.45到2之间。也可根据系统相位裕度的要求确定，其公式如下：
通常相位裕度大于60° 根据系统对输入噪声的3dB带宽无阻尼振荡频率
。其相关公式如下
的性能要求和带宽相关表达式求解出
方法二：利用根轨迹零极点分析理论中的进行参数确定，直接闭环分析。
由二阶闭环传输函数可推得两极点的表达式为：
因此通过系统的极点可以唯一确定系统的环路参数
与阻尼因子。
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首先根据零极点图，确定极点到原点距离， 即
极点实部，根据
得出无阻尼振荡频率
求解。
。然后取
或者通过求解，其中为极点向量与实轴夹角。
方法三：在时域阶跃响应中直接分析。
通过对传输函数的阶跃响应进行分析，可得
其中tp为阶跃过冲到最高点的时间，根据超调量计算公式，可得：
为系统的超调量。
然后通过阶跃响应曲线可测得根据阶跃时间计算公式，可得：
，即可求出阻尼系数。
然后通过阶跃响应曲线可测的tp，即可求得。
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