.
抛物线经典结论和例题
y
2
2px y
2
2 px 0)
x
2
2 py x
y
2
2 py
( p 0)
y l
( p
y
( p 0)
y
( p
0)
l
抛
l
F
物
O
O F
x
FO
x
O
x
线
x l
F
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫
定义
做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。 { M MF =点 M 到直线 l 的距离 }
范围 对称性
x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0
关于 x 轴对称
( ,0)
关于 y 轴对称
p
(
p
2
,0)
(0, )
2
p
(0, p )
2
焦点
2
焦点在对称轴上
顶点 离心率 准线
O(0,0)
e=1
p 2
y
x
p
x
p 2
y
p 2
2
方程
顶点到准
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p 2
.
.
线的距离
焦点到准
p
线的距离
焦半径
AF x1
A(x1, y1 )
p 2
AF
x1
p 2
AF y1
p 2
AF
y1
p
2
焦 点弦
长
( x1
x2 ) p ( y1 y2 ) p
( y1y2 ) p
AB
( x1 x2 ) p
y
A x1, y1
o
F
x
B x2, y2
焦点弦
AB 的几
条性质
A( x1 , y1 )
以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切
若 AB 的倾斜角为
B (x2 , y2 )
，则 AB
2 p sin
2
若 AB 的倾斜角为
，则 AB
2 p
cos
2
x1x2
p 4 AF
2
y1 y2
pAB
2
1 AF
1 BF
BF 2 p
AF BF AF BF
.
.
切线
y0 y
p( x x0 ) y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 ) x0 x p( y
方程
1. 直线与抛物线的位置关系
直线
，抛物线 ，
，消 y 得：
（ 1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （ 2）当 k≠0 时，
＞0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点；
=0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点；
＜0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。
（ 3）若直线与抛物线只有一个公共点 ,则直线与抛物线必相切吗 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx b
抛物线
， ( p 0)
①
联立方程法：
y kx b
k 2 x2 2( kb p) x b
2
0
y
2
2 px
设交点坐标为 A x1 y1 , B(x2 , y2 ) ，则有
0 ,以及 x1 x2 , x1 x2 ，还可进一步求出
( , )
y0 )
（不一定）
?
.
.
y1 y2 kx1 b kx2 y1 y2
(kx1 b)(kx2 b)
b k( x1
2x2 ) 2b
x2 ) b
2
，
k x1x2 kb(x1
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a. 相交弦 AB 的弦长
AB
1 k x1 x2
2
1 k ( x1 x2 )
22
4x1 x2
1 k
2
a
2
1
或 AB
1 k
y
2 1
1
y2
2
1 k
2
( y1 y2 )
4 y1 y2
1 k
a
b. 中点 M ( x0 , y0 ) , x0
x1 2
x2
， y0
y1 y2 2
② 点差法：
设交点坐标为 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得
2
2
y1 2px1 y2 2px2
将两式相减，可得
( y1 y2 )( y1 y2 ) 2 p( x1 x2 ) 所以
y1
x1
2 p y1
y2
y2 x2
2 p y1 y2
a. 在涉及斜率问题时， kAB
b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段 AB 的 中 点 为 M (x0 , y0 ) ，
p
y1 y2 x1 x2
2 p y1 y2
x
2
2 p 2y0
，即 k AB
p ， y0
y0
同理，对于抛物线
2 py( p 0) ，若直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，点
x1 x2
M (x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点，则有 kAB
2x0 2 p
x0 p
2 p
（注意能用这个公式的条件： 斜率存在，且不等于零）
1）直线与抛物线有两个不同的交点，
2）直线的
.
.
一、抛物线的定义及其应用
例 1、设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点．
(1)求点 P 到点 A(－1,1) 的距离与点 P 到直线 x＝－ 1 的距离之和的最小值；
(2)若 B(3,2) ，求 |PB|＋|PF|的最小值．
例 2、设 M(x0，y0) 为抛物线 C： x2＝8y 上一 点， F 为抛物线 C 的焦点，以 F
FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y 的取值范围是
为圆心、 | | 0 A．(0,2)
()
B．[0,2] C．(2 ，＋∞) D ．[2，＋∞)
二、抛物线的标准方程和几何性质
例 3、抛物线 y ＝2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l，经过 F 的直线与抛物线交于
2
A、B 两点，交准线于 C 点，点 A 在 x 轴上方，AK ⊥l，垂足为 K ，若|BC|＝2|BF|，
且 |AF|＝4，则△AKF 的面积是 A． 4
2
(
C．4 3
D．8
)
B．3 3
例 4、过抛物线 y ＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点
于点 C，若 |BC|＝2|BF|，且 |AF|＝3 则此抛物线的方程为
2
A、B ，交其准线 l
(
D． y ＝3x
)
3 2
A．y＝ x
B．y ＝9x
2
C．y＝ x
2
9 2
2
三、抛物线的综合问题
例 5、已知过抛物线 y＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2
2
2的直线交抛物线于 A(x1，
y1)，B(x2，y2 )(x1 . . 例 6、已知平面内一动点 P 到点 F(1,0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 ，l2，设 l1 与轨迹 C 相交于点 A，B， l2 与轨迹 C 相交于点 D，E，求 AD EB 的最小值 · 例 7、已知点 M(1 ，y)在抛物线 C： y ＝2px(p>0) 上， M 点到抛物线 C 的焦点 F 2 1 的距离为 2，直线 l：y＝－ x＋b 与抛物线 C 交于 A，B 两点． 2 (1)求抛物线 C 的方程； (2)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程． 练习题 1．已知抛物线 x＝ ay 的焦点恰好为双曲线 y －x＝2 的上焦点，则 a 等于 ( ） 222 A．1 B．4 2 C．8 D．16 ( ) 2．抛物线 y＝－ 4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 17 A．－ 15 B．－ 16 2 7 C. 16 15 16 D. 16 3．(2011 ·辽宁高考)已知 F 是拋物线 y＝ x 的焦点， A，B 是该拋物线上的两点， . . |AF|＋|BF|＝ 3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 () 7 A. 3 4 B． 1 2 C. 4 5 D. 4 ( ) 4．已知抛物线 y＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 A．相离 B．相交 2 C．相切 D．不确定 A、 B 5．已知 F 为抛物线 y＝ 8x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 两点，则 ||FA|－ |FB||的值等于 ( 8 2 D．16 ) A．4 2 B．8C． 2 6．在 y＝2x 上有一点 P，它到 A(1,3) 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P的坐标是 ( B．(1,2) 2 ) A．(－2,1) C．(2,1) D．(－1,2) 7．设抛物线 y＝8x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点， PA⊥l， A 为垂 足．如果直线 AF 的斜率为－ 3，那么 |PF|＝ C．8 3 ( ) D．16 A．4 3 B．8 8．抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－ 2，抛物线的方程 （ ） C． y2＝－ 4x D．y2＝4x A．y2＝－ 8x B． y2＝8x 9 以抛物线 x ＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 ______． 2 10 ．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，抛物线上一点 Q(－3， m)到焦 点的距离是 5，则抛物线的方程为 ________． 11 ．已知抛物线 y＝4x 与直线 2x＋y－4＝ 0 相交于 A、 B 两点，抛物线的焦点 2 为 F，那么 | FA | ＋| FB | ＝________. 12 ．过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)两点， . . 若 x1＋ x2＝6，那么 |AB|等于 ________ 13 ．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线 16x－ 9y＝ 144 的左顶点； 2 2 (2)过点 P(2，－ 4)． 14 ．已知点 A(－1,0) ， B(1 ，－ 1)，抛物线 C：y＝ 4 x， O 为坐标原点，过点 2 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M ，P 两点，直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量 OM 与 OP 的夹角为 ，求△POM 的面积． 4 π 解析 一、抛物线的定义及其应用 例 1、(1) 如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0) ，准线是 x＝－ 1. 由抛物线的定义知：点 P 到直线 x＝－ 1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离． . . 于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0) 的距离之和最小．显然，连结 AF 交曲线于 P 点，则所求的最小值为 |AF|， 即为 5. (2)如图，自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有 |PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为 4. 例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为 p，即 p＝4，根据已 知只要 |FM|>4 即 可．根据抛物线定 |FM|＝y0＋2 由 y0＋2>4 ，解得 y0>2 ，故 y0 的取值范围是 (2， ＋∞)． 二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3、设点 A(x1 ，y1)，其中 y1 >0.由点 B 作抛物线的准线的垂线，垂足为 B1 .则 有 |BB1 | |BF|＝ |BB 1|；又 |CB|＝ 2|FB|，因此有 |CB|＝2| BB1 |，cos ∠CBB 1＝ ＝ |BC| 1 2 ，∠CBB 1＝ π 即直线 AB 与 x 轴的夹角为 π AF ＝ AK .又| | . | | 3 3 ＝x1＋ ＝ p 4 ，因此 y1 2 ＝ 4sin ＝2 3 π 1 1 3，因此△AKF 的面积等于 |AK|·y1＝ ×4×2 3＝4 3. 2 2 例 4．分别过点 A、B 作 AA 1、BB 1 垂直于 l，且垂足分别为 A1、 B1，由已知条件 |BC|＝2| BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3， ∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F 为线段 AC 的中点．故点 1 F 到准线的距离为 p＝ 2 三、抛物线的综合问题 3 2 2 |AA 1|＝ ，故抛物线的方程为 y ＝3x. 例 5、(1)直线 AB 的方程是 y＝2 2(x－ )，与 y ＝2px 联立，从而有 4x－ 5px 2 . p2 2 . ＋ p＝0，所以： x1＋x2 ＝ ，由抛物线定义得： |AB|＝ x1＋x2＋ p＝ 9，所以 p＝ 4 2 5p 4，从而抛物线方程是 y＝ 8x. (2)由 p＝ 4,4 x－5px＋ p ＝0 可简化为 x－ 5x＋4＝0，从而 x1＝1，x2＝4， y1 2 2 2 2 ＝－ y2＝ 2 2， 4 ，从而 A ，－ ， B ； 2 (1 2 2) (4,4 2) 设 OC ＝ (x3， y3)＝(1 ，－ 2 2)＋ λ(4,4 2)＝ (4λ＋ 1,4 又 y＝8x ，即 [2 2 2(2 λ－1)] ＝ 8(4λ＋1) ． 2 3 3 2λ－ 2 2)． 即 (2λ－ 1)＝ 4λ＋1.解得 λ＝0，或 λ＝2. 2 例 6、 (1)设动点 P 的坐标为 (x，y)，由题意有 2 x－ 1 ＋ y－|x|＝ 1.化简得 22 ＝2 ＋2| |. 当 ≥0 时， 2＝4 ；当 <0 时， ＝0. y x x x y x x y 所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2＝4 x(x≥0) 和 y＝0(x<0) ． (2)由题意知，直线 l1 的斜率存在且不为 0，设为 k，则 l1 的方程为 y＝k(x－1) ．由 y＝k y＝4 x 2x－1 ，得 kx －(2k＋4) x＋ k ＝0. 2222 (7 分) 4 设 A(x1，y1 )，B(x2 ，y2 )，则 x1，x2 是上述方程的两个实根， 于是 x1＋x2 ＝2＋k2， x1x2 ＝1. 1 的斜率为－ . (8 分) 1 因为 l ⊥l ，所以 l 2 2 设 D(x ， y )，E(x ，y )，则同理可得 3 3 4 4 k x3＋ x4 ＝2＋4k，x3x4 ＝1. ＝ (x1＋1)(x2＋ 1)＋(x3 ＋1)·(x4＋1) ＝ x x ＋(x ＋ x )＋ 1＋ x x ＋(x ＋x )＋1 1 2 1 2 3 4 3 4 2 (11 分) 4 k2 ＝ 1＋ (2＋ )＋1＋1＋(2＋ 4k)＋1＝8＋4(k ＋ )≥8＋4×2 2 2 1 k 2 k· ＝16. 2 1 k 2 1 当且仅当 k＝ ，即 k＝±1 时， AD EB 取最小值 16. 2 · k 2 . . 例 7 、(1) 抛物线 y＝ 2px (p>0)的准线为 x＝－ ，由抛物线定义和已知条件可知 2 2 p p p 2 |MF|＝ 1－(－ )＝1＋ ＝2，解得 p＝2, 故所求抛物线 C 的方程为 y＝4x. 2 2 1 y＝－ x＋b， 2 2 (2)联立 y＝ 4x >0，解得 >－2.设 ( 1 ， 1)， ( 2， 2)，则 1＋ b b y A x y B x y 1＋ x2 y ＝－ 8，y y ＝－ 8b，设圆心 Q(x ，y )，则应用 x x，y ＝ y1 ＋y2 ＝－ ＝ 2 消去 x 并化简整理得 y ＋ 8y －8b ＝0. 依题意应有 ＝64＋32 2 1 2 0 0 0 2 0 2 4. 因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，所以圆的半径为 1 2 2 1 2 2 r＝|y0|＝4. 1 2 2 又|AB|＝ x －x 2 y －y ＝ 1 ＋4 y －y ＝ 5[ y1＋ y2 － 4y 1 y2 ]＝ 5 64＋ 32b 所以 |AB|＝ 2r＝ 5 64＋32b ＝8，解得 b＝－ . 5 48 所以 x1＋ x2＝2b －2y1＋2b－2y2 ＝4b＋16＝ ， 5 24 24 2 2则圆心 Q 的坐标为 ( ，－ 4)．故所求圆的方程为 (x－ )＋ (y＋4) ＝16. 5 5 8 练习题： 1．解析 ：根据抛物线方程可得其焦点坐标为 a (0， )，双曲线的上焦点为 (0,2) ， 4 依题意则有 ＝2 解得 a＝8. 4 a y 2．解析 ：抛物线方程可化为 x＝－ ，其准线方程为 4 15 1 －y0＝1? y0＝－ . 抛物线的定义，可知 16 16 2 1 y＝ .设 M(x0 ，y0)，则由 16 . . 3．解析 ：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段 1 AB 中点到 y 轴的距离为： 1 3 1 5 (|AF|＋|BF|)－ ＝ － ＝ . 2 4 2 4 4 4．解析 ：设抛物线焦点弦为 AB ，中点为 M，准线 l，A1 、B1 分别为 A、B 在直 1 线 l 上的射影，则 |AA 1|＝|AF|，|BB 1|＝|BF|，于是 M 到 l 的距离 d＝ (|AA 1 |＋|BB 1|) 2 1 1 ＝ (|AF|＋|BF|)＝ |AB|＝半径，故相切． 22 y＝ x－ 2， 5．解析 ：依题意 F(2,0) ，所以直线方程为 y＝ x－ 2 由 y＝8x x－ 12x＋4＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ||FA|－ |FB||＝ |(x1 ＋2)－(x2＋2)|＝|x1 2 ，消去 y 得 2 － x2|＝ (x1＋ x2 )－4x1x2＝ 144 －16 ＝8 2. 6．解析 ：如图所示，直线 l 为抛物线 y＝2x 的准线， F 为其焦点，PN⊥l，AN1 ⊥l，由抛物线的定义知， |PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝ |AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当 A、 P、N 三点共线时取等号．∴ 2 2 P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 答案： B 1，则可排除 A、C、D. 7 ．解析 ：设抛物线 y＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA ⊥l，A 2 为垂足．如果直线 AF 的斜率为－ A．4 C．8 3 3 B．8 3，那么 |PF|＝ () D．16 8 ．解析 ：由准线方程 x＝－ 2，可知抛物线为焦点在 x 轴正 ，半轴上的标准方 p＝ ，所以标准方程为 y ＝ px ＝ x 程，同时得 4 2 2 8 9 ．解析 ：抛物线的焦点为 F(0,4) ，准线为 y＝－ 4，则圆心为 (0,4) ，半径 r＝ 8. 所 以，圆的方程为 x ＋(y－ 4)＝ 64. 22 10 ．解析 ：设抛物线方程为 x ＝ay(a≠0)，则准线为 y＝－ 2 a .∵Q(－3，m)在抛物 4 ＝am .而点 Q 到焦点的距离等于点 a Q 到准线的距离，∴ |m－(－ )|＝ 5. 4 9 9 a 将 m＝ 代入，得 | ＋ |＝5，解得， a＝±2，或 a＝±18 ，∴所求抛物线的方程为 a a 4 . . x＝±2y，或 x ＝±18 y. 22 y＝4x 11 ．解析 ：由 2 ，消去 y，得 x －5x＋4＝0(*) ，方程 (*)的两根为 2 2x＋ y－ 4＝ 0 A、B 两点的横坐标，故 x1 ＋x2＝5，因为抛物线 y＝ 4x 的焦点为 F(1,0) ，所以 | FA | ＋ | FB | ＝ (x1＋ 1)＋(x2＋1)＝7 2 12 ．解析 ：因线段 AB 过焦点 F，则 |AB|＝ |AF|＋ |BF|.又由抛物线的定义知 |AF| ＝ x1＋1，|BF|＝x2＋ 1，故 |AB|＝ x1＋x2 ＋2＝8. 13 ．解析 ：双曲线方程化为 x 2 － ＝1，左顶点为 (－3,0) ，由题设抛物线方程为 9 16 2 y 2 y＝－ 2px(p>0) ，则－ 2 p 2 ＝－ 3，∴p＝6，∴抛物线方程为 y＝－ 12 x. (2)由于 P (2，－ 4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为 ＝ mx 或 x＝ ny，代入 P 点坐标求得 m＝8，n＝－ 1， ∴所求抛物线方程为 y ＝8x 或 x ＝－ y. y 2 2 22 14 ．解：设点 M ( ，y1)，P( ，y 2)，∵P，M，A 三点共线，∴kAM 4 4 ＝ kPM ， y1 2 y2 2 ＝ 2＝4. 即 y1 2 y 1 ＝ y1 －y y 2 1 y ，即 2 2 2 y1 y＋4 1 1 2 1 ＋ 1 4 · － 4 4 y ＋y ，∴ 1 2 y y ∴ OM OP ＝ y1 y2 2 2 · ＋ 4 4 y1 y2 ＝ 5. ∵向量 OM 与 OP 的夹角为 π4 ， ∴| OM | ·| OP π 1 |·cos ＝ 5.∴S△POM ＝ | 2 4 π 5 OM | ·| OP | ·sin ＝ . 4 2 . 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容