2017全国二卷理科数学高考真题及答案

理科数学(全国2卷)

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1.

3i〔〕 1iA．12i B．12i C．2i D．2i 2.设集合1,2,4，xx4xm0．假设21，那么〔〕

A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层共有灯〔〕

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为〔〕 A．90 B．63 C．42 D．36

2x3y305.设x，y满足约束条件2x3y30，那么z2xy的最小值是〔〕

y30A．15 B．9 C．1 D．9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向教师询问成语竞赛的成绩．教师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，那么〔〕 A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩

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开始输入aS=0,K=1K≤6是S=S+a∙Ka=aK=K+1否输出S结束C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的a1，那么输出的S〔〕 A．2 B．3 C．4 D．5

x2y229.假设双曲线C:221〔a0，b0〕的一条渐近线被圆x2y24所截得的弦长为2，

ab那么C的离心率为〔〕

A．2 B．3 C．2 D．23 310.直三棱柱C11C1中，C120，2，CCC11，那么异面直线1与C1所成角的余弦值为〔〕

A．331510 B． C． D． 23552x1`11.假设x2是函数f(x)(xax1)e的极值点，那么f(x)的极小值为〔〕

A.1 B.2e3 C.5e3 D.1

12.ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC一点，那么PA(PBPC)的最小值是〔〕

A.2 B.34 C.  D.1 23二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，那么D．

14.函数fxsin2x3cosx3〔x0,〕的最大值是． 42n15.等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，那么

Sk11k．

16.F是抛物线C:y8x的焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点．假设为F的中点，

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2那么F．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 〔一〕必考题：共60分。

17.〔12分〕ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c ,sin(AC)8sin2(1)求cosB (2)假设ac6 , ABC面积为2,求b.

18.〔12分〕淡水养殖场进展某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量〔单位：kg〕其频率分布直方图如下：

频率组距0.068B． 2频率组距0.0400.0340.0320.0460.0440.0240.0200.0140.0120.0200.0100.0080.004O25303540455055606570箱产量/kgO3540455055606570箱产量/kg旧养殖法新养殖法

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法

的箱产量不低于50kg〞,估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法 新养殖法

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值〔准确到0.01〕

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P〔𝐾≥𝐾〕 20.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 k n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)2

19.〔12分〕如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，

ABBC1AD,BADABC90o,E是PD的中点. 2〔1〕证明：直线CE//平面PAB

〔2〕点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，二面角M-AB-D的余弦值

ADME求

PBCx2y21上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满20.〔12分〕设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2足NP2NM.

(1) 求点P的轨迹方程；

(2) 设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

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21.〔12分〕函数f(x)axaxxlnx,且f(x)0. 〔1〕求a；

〔2〕证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e

〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为

22f(x0)22.

cos4．

〔1〕M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

〔2〕设点A的极坐标为(2,

23.[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕

3)，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值．

a0,b0,a3b32，证明：

〔1〕(ab)(ab)4； 〔2〕ab2．

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(Ⅱ)试题答案

一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题

13. 1.96 14. 1 15.

2n 16. 6 n1三、解答题 17.解：

〔1〕由题设与ABC得sinB8sin2 sinB（41-cosB）上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0

2，故

解得 cosB=1（舍去），cosB=15 17〔2〕由cosB=15814得sinB，故SABCacsinBac 171721717 2又SABC=2，则ac由余弦定理与ac6得

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b2a2c22accosB2（a+c）2ac(1cosB)1715362(1)2174所以b=2 18.解：

〔1〕记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg〞，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg〞 由题意知PAPBCPBPC 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

（0.0400.0340.0240.0140.012）5=0.62

故PB的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

（0.0680.0460.0100.008）5=0.66

故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092 〔2〕根据箱产量的频率分布直方图得列联表

旧养殖法 新养殖法 箱产量50kg 62 34 2箱产量≥50kg 38 66 K2200626634381001009610415.705

由于15.7056.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

〔3〕因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

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0.0040.0200.04450.340.5，

箱产量低于55kg的直方图面积为

0.0040.0200.044+0.06850.680.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

50+0.5-0.34． ≈52.35（kg）0.06819.解：

〔1〕取PA中点F，连结EF，BF．

因为E为PD的中点，所以EFAD,EF=11又BCAD AD,由BADABC90得BC∥AD，

22所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF． 又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB 〔2〕

由得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如下图的空间直角坐标系A-xyz,那么

1，3)， 那么A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，PC(1，0，3),AB(1，0，0)那么

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BM(x1，y，z),PM(x，y1，z3)

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以

z(x1)2y2z22 2cosBM,nsin450，即〔x-1〕²+y²-z²=0

又M在棱PC上，设PMPC,则

x,y1,z33

22x=1+x=1-22y=1(舍去)，y=1由①，②得6zz622

2626,1，，从而AM1-,1，

2222

所以M1-设m=x0,y0,z0是平面ABM的法向量，那么

mAM02-2x02y0即mAB0x006z00

所以可取m=〔0，-6，2〕.于是cosm,nmnmn10 5因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解

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〔1〕设P〔x,y〕,M〔x0,y0〕,设N〔x0,0〕, NPxx0,y,NM0,y0

由NP2NM得x0=x,y02y 2x2y2因为M〔x0,y0〕在C上，所以1

22因此点P的轨迹方程为x2y22

〔2〕由题意知F〔-1,0〕.设Q〔-3，t〕,P(m,n),那么 OQ3,t,PF1m,n,OQPF33mtn， OPm,n,PQ3m,tn,

由OPPQ1得-3mm2tnn21，又由〔1〕知m2+n2=2，故

3+3m-tn=0

所以OQPF0，即OQPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.解：

+ 〔1〕fx的定义域为0，设gx=ax-a-lnx，那么fx=xgx,fx0等价于gx0 因为g1=0，gx0,故g'1=0,而g'xa假设a=1，那么g'x=11,g'1=a1,得a1 x1.当0＜x＜1时，g'x＜0,gx单调递减；当x＞1时，g'x＞0，gx单x调递增.所以x=1是gx的极小值点，故gxg1=0

综上，a=1

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〔2〕由〔1〕知fxx2xxlnx,f'(x)2x2lnx

1设hx2x2lnx,则h'(x)21212x

1212当x0,时，h'x＜0；当x,+时，h'x＞0，所以hx在0,单调递减，在,+单调递增

又he2＞0,h＜0,h10，所以hx在0,有唯一零点x0，在,+有唯一零点1，且当

121212x0,x0时，hx＞0；当xx0,1时，hx＜0，当x1,+时，hx＞0.

因为f'xhx，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'x00得lnx02(x01),故fx0=x0(1x0) 由x00,1得f'x0＜1 4因为x=x0是f(x)在〔0,1〕的最大值点，由e10,1,f'e10得

fx0＞fe1e2

所以e2＜fx0＜2-2 22.解：

〔1〕设P的极坐标为，＞0，M的极坐标为，＞0，由题设知

11OP=，OM=1=4 cos由OMOP=16得C2的极坐标方程=4cos＞0

2因此C2的直角坐标方程为x2y4x0

2〔2〕设点B的极坐标为B，＞0,由题设知

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OA=2，B=4cos,于是△OAB面积

S=1OABsinAOB24cossin332sin2232当=-12

3时，S取得最大值2+3

所以△OAB面积的最大值为2+3 23.解： 〔1〕

aba5b5a6ab5a5bb6ab3322a3b3aba4b42

4abab4〔2〕因为

22aba33a2b3ab2b3323aba+b2+3a+b42a+b23a+b43

所以a+b

38，因此a+b≤2.

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