【沪科版九年级数学上册教案】23.1.2 第2课时 互余两角的三角函数值

第2课时 互余两角的三角函数值

教学目标

1．理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；

2．会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算.

教学重难点

【教学重点】

两个锐角互余时，正、余弦之间的关系。 【教学难点】

简单地三角变换或相应的计算。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝36°，则∠B＝________；若∠B＝53°28′，则∠A＝________．

2．sin30°＝cos60°＝________，sin60°＝cos30°＝________，sin45°＝cos45°＝________． 完成上面两题我们不难发现，30°、45°、60°这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值．这个规律，是否适合任意一个锐角呢？

二、合作探究

探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系 【类型一】 互余两角的正弦、余弦值的关系

1

例1 在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则cosA的值为( )

31233A. B. C．1 D. 332

解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立．故选A.

3

例2 已知cosα＝，α＋β＝90°，则cosβ＝( )

53243A. B. C. D. 5554

33解析：∵cosα＝，α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα＝.设β是一个直角三角形中的锐角，且

55b3a4k4

sinβ＝＝，设b＝3k，c＝5k，则另一直角边的长度为a＝4k，∴cosβ＝＝＝.故选C.

c5c5k5方法总结：利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系．将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边．

【类型二】 互余两个锐角的正切值的关系

例3 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________．

3

解析：∵tanA，tanB为方程3x2－tx＋3＝0的两根，∠A，∠B是锐角．∴tanA·tanB＝＝

31，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.

方法总结：利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小．

三、板书设计

的余角的余（正）弦值.

互余两角的sinA＝cos（90°－∠A）三角函数关系cosA＝sin（90°－∠A）

tanA·tan（90°－∠A）＝1

教学反思

任意一个锐角的正（余）弦值，等于它

互为余角的正弦与余弦函数值之间的关系是锐角三角函数的重要关系之一．掌握这一关系，

对学生全面系统了解锐角三角函数以及后继的学习与应用都是十分重要的．