数值分析习题

第一章 绪论

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.510,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 3.14159具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

3 已知a1.2031，b0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问ab，ab有几位有效数字？（有效数字的计算）

4 设x0，x的相对误差为，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算）

**5测得某圆柱体高度h的值为h20cm，底面半径r的值为r5cm，已知

5|hh*|0.2cm，|rr*|0.1cm，求圆柱体体积v限。（误差限的计算）

r2h的绝对误差限与相对误差

6 设x的相对误差为a%,求yx的相对误差。（函数误差的计算）

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）

1n8 设Ine1x0nexdx，求证：

（1）In1nIn1(n0,1,2)

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）

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第二章 插值法

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知f(1)2,f(1)1,f(2)1，求f(x)的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知yx,x04,x19，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）

3 若xj(j0,1,...n)为互异节点，且有

lj(x)试证明

(xx0)(xx1)(xxj1)(xxj1)(xxn)(xjx0)(xjx1)(xjxj1)(xjxj1)(xjxn)

xj0nkjj（拉格朗日插值基函数的性质） l(x)xk(k0,1,...n)。

4 已知sin0.320.314567,sin0.340.333487,sin0.360.352274，用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数cosx在x00，x1多项式, 并近似计算cos日二次插值）

6 已知函数值f(0)6,f(1)10,f(3)46,f(4)82,f(6)212，求函数的四阶均差

4，x22三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值

6

及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗

f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。（均差的计算）

7 设f(x)(xx0)(xx1)(xxn)求f[x0,x1xp]之值，其中pn1，而节点

xi(i0,1,n1)互异。（均差的计算）

8 如下函数值表

x 0 1 1 9 2 23 4 3 f(x) 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）

9求一个次数小于等于三次多项式p(x)，满足如下插值条件：p(1)2，p(2)4，

p(2)3，p(3)12。（插值多项式的构造）

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10 构造一个三次多项式H(x)，使它满足条件H(0)1,H(1)0,H(2)1,H(1)1（埃尔米特插值）。

11 设f(x)x,x01/4,x11,x29/4。(1)试求f(x)在1/4,9/4上的三次埃尔米特插值多项式H(x)，使得H(xj)f(xj),j0,1,2,H(x1)f(x1)，H(x)以升幂形式给出。(2)写出余项R(x)f(x)H(x)的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。 12 若f(x)c[a,b],f(a)f(b)0，试证明：

232max|f (x)|axb1ba2max|f (x)|（插值余项的应用）

axb813 设f(2)1,f(0)1,f(2)2,求p(x)使p(xi)f(xi)(i0,1,2)； 又设 |f(x)|M ，则估计余项r(x)f(x)p(x)的大小。（插值误差的估计）

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第三章 函数逼近

习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。

1 设f(x)sinx，求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 2 令f(x)e,1x1，且设p(x)a0a1x,求a0,a1使得p(x)为f(x)于[1,1] 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 3证明：切比雪夫多项式序列

xTk(x)cos(karccosx)

在区间1,1上带权(x)11x2正交。（正交多项式的证明）

x1x234求矛盾方程组：x12x24的最小二乘解。（最小二乘法）

xx2215 已知一组试验数据

xk 2 4 2.5 4.5 3 6 4 8 5 8.5 5.5 9 yk 试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 6 用最小二乘原理求一个形如yabx的经验公式,使与下列数据相拟合。

2xk yk （最小二乘二次逼近）

19 19 25 32.3 31 49 38 44 73.3 97.8 .

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第四章 数值积分

习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式

hhf(x)dxaf(h)bf(0)cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能

高。（代数精度的应用和计算） 2 求积公式

10f(x)dxA0f(0)A1f(1)B0f(0)，试确定系数A0,A1及B0，使该求积

公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 3数值积分公式

303f(x)dx[f(1)f(2)]，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式

2b的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）

4如果f(x)0，证明用梯形公式计算积分f(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其

a几何意义。（梯形求积） 5用n4的复化梯形公式计算积分

211dx，并估计误差。（复化梯形求积） x6设f(1)1,f(0.5)4,f(0)6,f(0.5)9,f(1)2,则用复化辛甫生公式计算

11f(x)dx，若有常数M使 |f(4)|M，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复

化辛甫生公式）

17已知高斯求积公式

1f(x)dxf(0.57735)f(0.57735) 将区间[0,1]二等分，用复

1化高斯求积法求定积分

0xdx的近似值。（高斯公式）

8 试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式

22f(x)dxAf(a)Bf(0)Cf(a)有尽

可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）

9设Pn(x)是[0,1]区间上带权(x)x的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求P2(x)。

（2）构造如下的高斯型求积公式

10xf(x)dxA0f(x0)A1f(x1)。（高斯求积）

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第五章 线性方程组的直接解法

习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。

4x1023x2（高斯消去法的应用）

91用高斯消去法解方程组112。

126x312x1x2x302用LU分解法求解线性方程组x1x2x33。（LU分解法的应用）

xx2x12312113设A412，求A的LU分解。（LU分解法的应用） 22331014试用“追赶法”解方程组Axb，其中：A241，b7（追赶法的应用） 0259125设A11，求cond(A)2（条件数的计算） 116求证：I1，A2211（范数的性质） A7求证：A（范数的性质） A1A。

10021210，求A，A，A和cond(A)。8对矩阵A2（范数，条件数2101210012的计算）

9方程组Axb，其中ARnn，A是对称的且非奇异。设A有误差A，则原方程组变

化为(AA)(xx)b，其中x为解的误差向量，试证明：

x22xx1A2，其nA2中1和n分别为A的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析）

10证明：若A(aij)nn为严格对角占优矩阵，则A非奇异。（严格对角占优矩阵的性质）

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第六章 线性方程组的迭代解法

习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。 1证明：迭代格式x性判断）

(k1)0.901Bx(k)f收敛，其中B。（迭代法收敛,f0.30.82a11x1a12x2b12若用雅可比迭代法求解方程组(a11a220)迭代收敛的充要条件是

axaxb2222211a12a211。（雅可比迭代法的收敛性）

a11a223 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组

x12x23 3x2x421是否收敛？为什么？若将方程组改变成为

3x12x24 x2x321再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性）

4104证明解线性方程组Axb的雅可比迭代收敛，其中A121。（雅可比迭代收敛011性判断）

1215已知方程组Axb，其中A，b2

0.31(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。 (2) 若有迭代公式x(k1)x(k)(Ax(k)b)，试确定的取值范围，使该迭代公式收敛。

（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论） 6给出矩阵A1a，（为实数），试分别求出的取值范围： 2a1(1) 使得用雅可比迭代法解方程组Axb时收敛；

(2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Axb时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论）

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7设A211，b 122(0)(1) 设x(k)是由雅可比迭代求解方程组Axb所产生的迭代向量，且x出计算x(k)的精确表达式。

(2) 设x*是Axb的精确解，写出误差x(3) 如构造如下的迭代公式x(k1)(1,1)T，试写

(k)x*的精确表达式。

x(k)(Ax(k)b)解方程组Axb，试确定的范

围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断）

x12x22x318对于给定的线性方程组x1x2x32

2x2xx3231（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 （2）对收敛的方法，取初值x(0)(1,0,0)T，迭代两次，求出x(1),x(2),x(3)。（雅可比,

高斯-塞德尔迭代法的计算和比较） 9 证明对称矩阵

1

A11当1111为正定矩阵，且只有当时，用雅可比迭代法求解方程组Axb222才收敛。（雅可比迭代法的收敛性）

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第七章 非线性方程求根

习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。

1用二分法求方程xx10的正根，要求误差小于0.05。（二分法）

**2说明方程xlnx40 在区间[1，2]内有惟一根x，并选用适当的迭代法求x（精

22确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法） 3设有解方程123x2cosx0的迭代法xn14n2cosxn (1)证明x0R均有3*（x为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取x04limxnx*用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10，列出各次迭代值。（和收敛性讨论）

4设x(x)，max(x)1，试证明：由xn1(xn)n0,1, ，得到的序

3列xn收敛于x。（收敛性证明）

5 设方程33x2sinx0在[0,1]内的根为x，若采用迭代公式xn11**n*2sinxn，试3证明：x0R均有limxnx(x为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论）

6 方程x3x210在x01.5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：

(1) x1311x1，对应迭代格式： n12xnx22(2) x1x，对应迭代格式：xn131xn (3) x221，对应迭代格式：xn1x11 xn1讨论这些迭代格式在x01.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出x01.5附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较） 7设 f(x)(x3a)2

(1) 写出解 f(x)0的牛顿迭代格式；

(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度） 8 设计一个计算

1a的牛顿迭代法，且不用除法（其中a0）。（牛顿迭代法）

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9 用牛顿法求115的近似值，取x010或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造）

10设x是非线性方程f(x)0的m重根，试证明：迭代法

*xn1xnmf(xn)

f'(xn)具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度证明）

11设x是非线性方程f(x)0的m重根，证明：用牛顿迭代法求x只是线性收敛。（收敛速度证明）

12设(a)a，(x)在a附近有直到p阶的连续导数，且(a)'(p1)**(a)0，

(p)(a)0，试证：迭代法xn1(xn)在a附近是p阶收敛的。 （收敛速度证明）

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第九章 常微分方程数值解

习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。

1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程

2xyyyy(0)1x[0,1]

的数值解（取步长h0.2），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用） 2用四阶龙格－库塔法求解初值问题yy1，取h0.2, 求x0.2,0.4时的数值解.

y(0)0要求写出由h,xn,yn直接计算yn1的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方法的应用）

yy02h3 用梯形方法解初值问题，证明其近似解为yn，并证明当h0y(0)12hx时，它收敛于原初值问题的准确解ye。

ny10y4对于初值问题，证明当h0.2时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公

y(0)1式的稳定性讨论） 5证明梯形公式yn1ynh[f(xn,yn)f(xn1,yn1)]无条件稳定。（稳定性讨论） 2yf(x,y)6设有常微分方程的初值问题，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算

y(x)y00公式yn1(ynyn1)h(0fn1fn1)，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算） 7已知初值问题

y2x y(0)0y(0.1)0.01取步长h0.1，利用阿当姆斯公式yn1ynh(3fnfn1)，求此微分方程在[0，10]2上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）

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