数值分析试题及答案汇总

一、 填空题（2 0×2′）

1.

322设A,X213位有效数字。

x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 2

2. 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，

f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A‖∞＝___5 ____，‖X‖∞＝__ 3_____，

‖AX‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足 |’(x)| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公

式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：ai(x) 1 ；所以当系i0n数ai(x)满足 ai(x)>1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。 8. 要使

20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛

于方程组的精确解x*的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

x y=f(x) 0 -2 0.5 -1.75 1 -1 1.5 0.25 2 2 2.5 4.25 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri

＝ (bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii ，(i=0,1,…,n)。

13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的

二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 f(x0)f”(x0)>0 。 14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。 二、判断题（10×1′）

1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( × ) 2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 (  ) 3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( × ) 4、 样条插值一种分段插值。 (  ) 5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 (  ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及

舍入误差。 (  ) 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 ( × ) 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代

计算的舍入误差。 ( × ) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断

误差＝舍入误差。 (  ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( × ) 三、计算题（5×10′）

1、用列主元高斯消元法解线性方程组。 解答：

（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行： L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：

（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行： L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为： 回代得：

x13.00005 x25.99999 x1.0001032、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出

其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。 xi f(xi) f ’(xi) 解答： 做差商表 xi 0 1 1 2 2 F(xi) 1 -1 -1 3 3 F[xi,xi+1] F[xi.xi+1.xi+2] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4] 0 1 1 -1 1 2 3 5 -2 1 4 5 3 3 1 0 -2 -1 P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)

3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。 解答：

交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：

2x1 x2 雅克比迭代公式： x41 x3x x 3123《计算机数学基础(2)》数值分析试题  x4x x4823 一、单项选择题(每小题3分，共15分) x1  x35x46 1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝0.0aa…a×10s(a0)的绝对误差x*－x( )．

12

n

1

(A) 0.5×10 s

－1－t

(B) 0.5×10 st (C) 0.5×10s

－

＋1－t

(D) 0.5×10 st

＋

2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．

02101210， (A) 01210012

5

1 (B)

10210410 141



012

51 (C) 20210421 (D) 141012421421131110 41153. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=( )

30x2x1(A) 2 (B)

3x102x330x2x1 (C) 2 (D)

3x102x330x2x1 23x2102x330x2x1 2x42x3 4. 等距二点的求导公式是( )

1f(x)(ykyk1)kh(A)  f(x)1(yy)k1kk1h1f(x)(ykyk1)kh(C) 

1f(x)(yy)k1k1kh

1f(x)(ykyk1)kh(B)  f(x)1(yy)k1kk1h (D)

5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是 那么yp,yc分别为( )．

ypykhf(xk,yk)(A)  (B)

ycykhf(xk1,yk)ypykf(xk,yk)(C)  (D)

ycykf(xk,yp)二、填空题(每小题3分，共15分)

ypykhf(xk1,yk) yyhf(x,y)kkpc

ypykhf(xk,yk) ycykhf(xk1,yp)6. 设近似值x1,x2满足(x1)=0.05，(x2)=0.005，那么(x1x2)= ．

7. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)

在每个子区间[xk,xk+1]上是 ．

8. 牛顿－科茨求积公式

baf(x)dxAkf(xk)，则Ak＝ .

k0k0nn9. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．

10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是 预报值：

yk1ykhf(xk,yk)，校正值：yk+1= ．

三、计算题(每小题15分，共60分)

11. 用简单迭代法求线性方程组

12. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差

3的X(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数． f(4，1，3)．

13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分

11x2dx，计算过程保留4位小数．

14. 用牛顿法求115的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数．

四、证明题(本题10分) 15. 证明求常微分方程初值问题

在等距节点a=x0y(xk+1)yk+1=yk+

h[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)] 2其中h=xk+1－xk(k=0,1,2,…n－1)

《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题(每小题3分，共15分)

6. 0.05x2+0.005x1 7. 3次多项式 8. b－a 9. (x)r<1 10. yk+三、计算题(每小题15分，共60分)

h[f(xk,yk)f(xk1,yk1)]hf(xk＋1, yk1) ． 2

11. 写出迭代格式 X(0)=(0,0,0)T.

得到X(1)＝(2.5，3，3)T

得到X(2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T 得到X(3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T.

12. 计算均差列给出． 0 1 3 4 6 f(xk) 6 10 46 82 212 一阶均差 4 18 36 65 二阶均差 14/3 6 29/3 三阶均差 1/3 11/15 四阶均差 1/15 f(0,1,3,4,6)=

1 1520.25．分点x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，x6=2.50，8f(4, 1, 3)=6 13. f(x)=

1x2,h=

x7=2.75，x8=3.0.

函数值：f(1.0)=1.414 2，f(1.25)=1.600 8，f(1.5)=1.802 8，f(1.75)=2.015 6，f(2.0)=2.236 1，f(2.25)=2.462 2，f(2.50)=2.692 6，f(2.75)=2.926 2，f(3.0)=3.162 3．

2(f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(x5)f(x6)f(x7))] (9分)

=

0.25×[1.414 2+3.162 3+2×(1.600 8+1.802 8+2.015 6 2+2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)]

=0.125×(4.576 5+2×15.736 3)=4.506 1

14. 设x为所求，即求x2－115=0的正根．f(x)=x2－115．

因为f(x)=2x，f(x)=2，f(10)f(10)=(100－115)×2<0，f(11)f(11)=(121－115)×2>0 取x0=11． 有迭代公式

2f(xk)xk115xk115xk+1=xk－=xk(k=0,1,2,…) 2xk22xkf(xk) x1=

11115＝10.727 3 221110.7273115＝10.723 8 2210.727310.7238115＝10.723 8 2210.7238 x2=

x3=

x*10.723 8

四、证明题(本题10分)

15. 在子区间[xk+1,xk]上，对微分方程两边关于x积分，得

y(xk+1)－y(xk)=

xk1xkf(x,y(x))dx

用求积梯形公式，有

y(xk+1)－y(xk)=

h[f(xk,y(xk))f(xk1,y(xk1))] 2h[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,…,n－1) 2将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代，得到

y(xk+1)yk+1=yk+

数值分析期末试题

一、 填空题（21020分）

521 ，则

10（1)设A2A______13_______。

382（2)对于方程组2x15x2102.5 ，Jacobi迭代法的迭代矩阵是BJ。 10x4x32.5012（3)

31x*的相对误差约是x*的相对误差的倍。

3（4）求方程xf(x)根的牛顿迭代公式是xn1xnxnf(xn)。

1f'(xn)（5）设f(x)xx1，则差商f[0,1,2,3] 1 。

（6）设nn矩阵G的特征值是1,2,,n，则矩阵G的谱半径(G)3maxi。

1in（7）已知A1201，则条件数Cond(A) 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x充分大时,应将ln(xx21)改写为ln(xx21)。

（9）n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n1次。

13（10）拟合三点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))，(x3,f(x3))的水平直线是yf(xi)。

3i12x1x2x31二、 （10分）证明：方程组x1x2x31使用Jacobi迭代法求解不收敛性。

xx2x1231证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为

BJ的特征多项式为

BJ的特征值为10，21.25i，31.25i，故(BJ)1.25＞1，因而迭代法不收敛

性。

三、 （10分）定义内积

试在H1Span1,x中寻求对于f(x)解：0(x)1，1(x)x，

x的最佳平方逼近元素p(x)。

(0,0)010dx1，(1,0)101xdx，(1,1)2101xdx，(0,f)3210xdx2，3(1,f)法方程 解得c01xxdx2。 5412，c1。所求的最佳平方逼近元素为 1515412x，0x1 1515 p(x)四、 （10分）给定数据表

x -2 -1 0 1 2

y

2-0.1

30.1 0.4 0.9 1.6

试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。 解:y(x)c0c1xc2xc3x

12481111A1000， ATA11111248法方程

50100010034 1003400340130的解为c00.4086，c10.39167，c20.0857，c30.00833 得到三次多项式

误差平方和为30.000194

五. (10分) 依据如下函数值表

0 1 1 9 2 23 4 3 建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f(2.2)，并在假设f(4)(x)1下，估计计算误差。

解:先计算插值基函数

所求Lagrange插值多项式为

L3(x)f(xi)li(x)l0(x)9l1(x)23l2(x)3l3(x)i031134521xxx1442从而

f(2.2)L3(2.2)25.0683。

f(4)()(xx0)(xx1)(xx2)(xx3)及假设f(4)(x)1得误差估据误差公式R3(x)4!计：

六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组

解 设

由矩阵乘法可求出uij和lij 解下三角方程组

有y15，y23，y36，y44。再解上三角方程组

得原方程组的解为x11，x21，x32，x42。

七. (10分) 试用Simpson公式计算积分 的近似值, 并估计截断误差。

解：

截断误差为

八. (10分) 用Newton法求方程xlnx2在区间(2, )内的根, 要求

xkxk1xk108。

解：此方程在区间(2, )内只有一个根s，而且在区间（2，4）内。设

则 f'(x)111， f''(x)2 xxNewton法迭代公式为

xk1xklnxk2xk(1lnxk)， k0,1,2, xk1xk11xk取x03，得sx43.146193221。

九. (10分) 给定数表

-1 10 1 0 14 1 16 0.1 2 15 求次数不高于5的多项式H5(x)，使其满足条件 其中xi1i, i0, 1, 2, 3。

解：先建立满足条件

p3(x)f(xi)， i0,1,2,3

的三次插值多项式p3(x)。采用Newton插值多项式

p3(x)f(x0)fx0,x1(xx0)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)+

再设 H5(x)p3(x)(axb)(x1)x(x1)(x2)，由 得 解得a59161，b。 360360故所求的插值多项式