高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数
【第一部分】知识复习
【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数
例1、比较大小
例2、幂函数
，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又
，则m=
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有又
，故为偶函数，故m为1．
，
.
资料
例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式； (2)讨论的奇偶性．
∵幂函数在区间∴
．又
上是减函数，∴是偶数，∴
，∴
，解得
．
，∵，
(2)，．
当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；
当
且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．
例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系
(1)
(A)，(2)
(F)，(3)
(E)，(4)
(C)，(5)
(D)，(6)
(B).
变式训练：
1、下列函数是幂函数的是（ ）
A．y=2x B．y=2x－1 C．y=(x＋1)2 D．y=
.
资料
2、下列说法正确的是（ ）
A．y=x4是幂函数，也是偶函数 B．y=－x3是幂函数，也是减函数
C．是增函数，也是偶函数 D．y=x0不是偶函数
3、下列函数中，定义域为R的是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=x－1
4、函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
5、下列函数中，不是偶函数的是（ ）
A．y=－3x2 B．y=3x2 C．D．y=x2＋x－1
6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（ ）
A．f(－1)＜f(－3) B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1) D．f(－3)＞f(－5)
7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（ ）
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a ))
8、已知，则下列正确的是（ ）
A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数
.
资料
C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数 9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
10、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函
数，且f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（ ）
A． B．(0，1) C． D．
11、若幂函数的图象过点，则_____________．
12、函数的定义域是_____________．
13、若，则实数a的取值范围是_____________．
14、
DACAD ABACD
是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_____________．
9、
＋ax，所以有a=0．
，函数为偶函数，则有f(－x)=f(x)，即x－ax=x
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10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f(x)在上单调递增，则当
x<－1时，f(x)<0，当－1 ． 11、 解析：点代入得，所以． 12、 . 解： 资料 13、 解析： ，解得． 14、解：则有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5． 考点二：指数函数 例1、若函数y=ax＋m－1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则（ ） A.a>1 B.a>1且m<0 C.0 x 例3、若关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围． 例4、已知函数． (1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数； (2)求函数f(x)的值域． 例5、如果函数值． （a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的 例1、解析：y=ax的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=a向下移动．而当0 . x 资料 例2、分析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围． 解答：令t=2,则y=t－3t＋3，依题意有： x 2 ∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]． 小结：当遇到y=f(a)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解． 例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式． 解答：因为方程有负实数根，即x＜0， x 所以， 解此不等式，所求a的取值范围是 例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域． 解答：(1)，设x1＜x2，则 ． . 资料 因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以0, ,所以．又＋1＞ ＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞， ＋∞)上是增函数． (2)设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所 以函数f(x)的值域为(－1，1)． 例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域． 解：设t=ax>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1． 若a>1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈，∴当t=a时，ymax=a2＋2a－1=14． 解得a=3或a=－5(舍去)． 若0 ∴所求的a值为3或． 变式训练： 1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2、函数是（ ） . 资料 A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 3、函数的值域是（ ） A． B． C． D． 4、已知,则函数的图像必定不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5、函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7、函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 8、已知，则下列正确的是（ ） A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数 C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数 . 资料 9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10、下列说法中，正确的是（ ） ①任取x∈R都有； ②当a>1时，任取x∈R都有； ③是增函数； ④的最小值为1； ⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴． A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤ 11、若直线y=2a与函数y=|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围__. 12、函数的定义域是______________． 13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=ax－2＋1的图象恒过定点________． 14、函数y=的递增区间是___________. 15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y=()x－1－4()x＋2的最大值和最小值． 16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围． 17、设a是实数，． (1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数； . 资料 (2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(－x)＝－f(x)恒成立． 18、已知f(x)＝（a>0且）． （1）求f(x)的定义域、值域．（2）讨论f(x)的奇偶性．（3）讨论f(x)的单调性． 答案及提示：1-10 DADAD DDACB 1、可得0 3、可得2x>0，则有4、通过图像即可判断. ，解得y>0或y<－1. 5、. 6、由，由，综合得x>1或x<－1. 7、即为函数的单调减区间，由，可得， 又，则函数在上为减函数，故所求区间为. 8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数， . 资料 又函数. ，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增 9、可得. 10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数． 11、0＜a＜ 提示：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜. 12、 提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，． 13、(2,2) 提示：当x=2时，y=a0＋1=2． 14、(－∞，1] 提示：∵y=()x在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的递减区 间是(－∞，1］，∴原函数的递增区间是(－∞，1］． 15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9. ∴0≤x≤2，令()x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1. 当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2. 16、解法一：设y=5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0. 解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)． . 资料 17、(1)设， 即f(x1)＜f(x2)，所以对于a取任意实数， f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)由f(－x)=－f(x)得－f(x)． 18、解：（1）定义域为R． ，解得a=1，即当a=1时，f(－x)= ． ． ∴值域为（－1，1）． （2） ∴f(x)为奇函数． ， （3）设，则 当a>1时，由，得， ， . 资料 ∴当a>1时，f(x)在R上为增函数． 同理可判断当0 例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间． 例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）. （1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 例3、已知 例4、已知f(x)=loga(ax－1)（a＞0，a≠1）. （1）求f(x)的定义域； （2）讨论f(x)的单调性； 的最大值和最小值以及相应的x值. （3）求函数y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标. 例1 解：由－x2＋2x＋3＞0 ，得 x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3， 定义域为 (－1，3)； 又令 g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当 x∈(－1，3) 时， 0＜g(x)≤4. ∴ f(x)≥=－2 ，即函数 f(x) 的值域为[－2，＋∞）； ∵ g(x)=－(x－1)2＋4 的对称轴为 x=1. ∴当－1＜x≤1 时， g(x) 为增函数，∴ 当 1≤x＜3 时， g(x)为减函数，∴ f(x)为增函数． . 为减函数. 资料 即 f(x) 在（－1，1] 上为减函数；在 [1，3 ）上为增函数． 例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B （0，＋∞），通过对a的讨论即可． 解答：（1）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴ g(x)＞0恒成立． ∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1. （0，＋∞）. （2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，则B 若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）； 若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）. 若a＞0，则△=4－4a≥0，∴ a≤1. 综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1. 例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据 对数的运算性质，可将函数数在闭区间上的最值问题来求解. 化成关于log2x的二次函数，再根据二次函 解答： . 资料 当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8. ∴当x=2时，y有最小值－. 当x=8时，y有最大值2. 例4、 分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f－1(x)的解． 解答：（1）ax－1＞0得ax＞1. ∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞）， 当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，0）. （2）令g(x)=a－1，则当a＞1时，g(x)=a－1在（0，＋∞）上是增函数. 即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)， 而y=logax在（0，＋∞）上是增函数， ∴ logag(x1) ＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)． ∴ f(x)= loga(ax－1)在（0，＋∞）上是增函数； 当0＜a＜1时，g(x)=ax－1在(－∞,0)上是减函数. 即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0． 而y=logax在（0，＋∞）上是减函数， ∴ logag(x1) ＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)． ∴ f(x)=loga(a－1)在（－∞，0）上是增函数. 综上所述，f(x)在定义域上是增函数． （3）∵ f(2x)= loga(a2x－1)，令y=f(x)= loga(ax－1)， 则ax－1=ay，∴ ax=ay＋1，∴ x= loga (ay＋1)(y∈R)． . xx x 资料 ∴ f(x)= loga (a＋1)（x∈R）． 由f(2x)=f－1(x)，得loga(a2x－1)= loga(ax＋1)． ∴ a2x－1= ax＋1，即(ax)2－ax－2=0. ∴ a=2或a=－1（舍）． ∴ x=loga2. 即y=f(2x)与y= f－1(x)的图象交点的横坐标为x=loga2． x x －1x 变式训练： 一、选择题 1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=logax的图象是（ ） A． B．C． D． 2、将y=2x的图象（ ），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象． A．先向左平行移动1个单位 B．先向右平行移动1个单位 C．先向上平行移动1个单位 D．先向下平行移动1个单位 3、函数的定义域是（ ） A．（1，＋∞） B．（2，＋∞） C．（－∞，2） D．（1，2] 4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=（ ） A．10x＋3＋1 B．10x－3－1 C．10x＋3－1 D．10x－3＋1 . 资料 5、函数的递增区间是（ ） A．（－∞，1） B．（2，＋∞） C．（－∞，） D．（，＋∞） 6、已知f(x)=|logax|，其中0 C． D． 7、是（ ） A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数也非偶函数 8、已知0 A． B． C． D． 9、函数f(x)的图象如图所示，则y=log0.2f(x)的图象示意图为（ ） . 资料 A． B．C． D． 10、关于x的方程（a＞0，a≠1），则（ ） A．仅当a＞1时有唯一解 B．仅当0＜a＜1时有唯一解 C．必有唯一解 D．必无解 二、填空题 11、函数的单调递增区间是___________. 12、函数___________. 在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是 13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是___________. 14、已知范围. （a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值 15、设函数f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a≠1)， (1)求a，b的值； (2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x) . 资料 （1）写出y=g(x)的解析式； （2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试求a的取值范围. 答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC 1、当a>1时，y=logax是单调递增函数，D正确. ∴应选D. 是单调递减函数，对照图象可知 2、解法1：与函数y=log2(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位. 解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得D. 3、由≥0，得 0 6、不妨取，可得选项B正确． 7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B. 8、由ab>1，知，故且，故答案选B. 10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1， 作出y=ax与y=的图象知，两图象必有一个交点. 11、答案：（－∞，－6） 提示： x2＋4x－12＞0 ，则 x＞2 或 x＜－6. 当 x＜－6 时， g(x)=x2＋4x－12 是减函数， . 资料 ∴在（－∞，－6）上是增函数 . 12、答案：11，7 ：∵ 2≤x≤4，∴. 则函数， ∴当时，y最大为11； 当时，y最小为7. 13、答案：（－∞，] 提示：原方程等价于 由③得. ∴当x＞0时，9a≤，即a≤. 又∵ x≠3，∴ a≠2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）.∴ a≤. 14、解：要使f(x)＜0，即. 当a＞b＞0时，有x＞； 当a=b＞0时，有x∈R； . 资料 当0＜a＜b时，有x＜. 15、解：(1)∵f(log2a)=b,f(x)=x2－x＋b, ∴(log2a)2－log2a＋b=b，解得a=1(舍去)，a=2， 又log2f(a)=2， ∴log2(a2－a＋b)=2，将a=2代入， 有log2(2＋b)=2, ∴b=2； (2)由log2f(x) ∴x∈(0，1)． 16、解：（1）设Q（x′，y′），则 ∵点P（x，y）在y=f(x)的图象上， ， ∴． （2）当x∈[a＋2，a＋3]时，有x－3a＞0且＞0成立. 而x－3a≥a＋2－3a=2－2a＞0， ∴ 0＜a＜1，且恒成立. . 资料 ∴ 0＜a＜1. 由 |f(x)－g(x)|≤1，即 ∴ r(x)=x2－4ax＋3a2在[a＋2，a＋3]上是增函数. ∴ h(x)=loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上是减函数. ∴当x=a＋2时，h(x)max=h(a＋2)=loga(4－4a)， 当x=a＋3时，h(x)min=h(a＋3)=loga(9－6a). . 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容