Navier—Stokes方程预处理方法及其对翼型绕流数值模拟的应用

维普资讯 http://www.cqvip.com ２　００　６年６月　西北工业大学学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｊｕｎｅ　２００６　Ｖｏ１．２４　Ｎｏ．３　第２４卷第３期　Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程预处理方法及其对翼型　绕流数值模拟的应用　韩忠华　，乔志德　，熊俊涛　，何光洪。　／１．西北工业大学翼型、叶栅空气动力学国防科技重点实验室，陕西西安　＼２．沈阳飞机设计研究所，辽宁沈阳　１１００３５　摘　要：在与定常方程相容的情况下，通过对Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的时间导数项实施Ｃｈｏｉ及　Ｔｕｒｋｅｌ矩阵预处理，发展了适用于低、亚、跨声速粘性流动的有效的预处理方法。对预处理后的控　制方程采用了Ｊａｍｅｓｏｎ格式进行有限体积空间离散和Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ显示时间推进求解，以及采用　了ＦＡＳ多重网格方法加速收敛。对ＲＡＥ２８２２、ＧＡＷ一１等不同类型翼型进行了低速和跨声速流动　的数值模拟。算例表明：Ｃｈｏｉ预处理方法和Ｔｕｒｋｅｌ预处理方法均有效改善了时间推进方法对低马　赫数流动计算的收敛性，而且提高了计算精度；预处理方法同样适用于跨声速非线性流动的计算，　且表现出了一定的加速收敛效果。　关键词：Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程，预处理方法，多重网格法，有限体积法，翼型　中图分类号：Ｖ２１１．３　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—２７５８（２Ｏ０６）０３—２７５—０６　目前，时间推进方法在可压缩流动（亚、跨、超声　本文旨在研究有效的ＮＳ方程预处理方法，并　速）的Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ（Ｎｓ）方程数值求解中取得了　结合多重网格法研究发展较宽马赫数范围内翼型粘　成功应用。而直接采用可压缩计算方法求解低速流　性流动的高效数值模拟方法和计算程序，为翼型的　动时（特别是当Ｍａ＜０．１时），出现了收敛缓慢、计　数值优化设计提供高效的气动计算工具。　算精度低等问题。其原因是流动速度和音速不在同　一量级，使得条件数［１］（最大特征值与最小特征值的　１预处理方法　比值）太大，控制方程表现出了很强的“刚性”。为了　对控制方程特征系统实施人工控制，以达到改善系　１．１　控制方程　统刚性而又不改变物理问题解的目的，目前主要有　在曲线坐标系下，经过预处理后的二维可压缩　２类方法：①拟压缩性方法　。　；②预处理方法　。拟　ＮＳ方程可表示成如下形式（忽略体积力）　压缩性方法由于引入了不可压假设，使得该方法只　适用于低速流动的求解；预处理方法的优点是对于　＋　＋　一０　从低速到超声速范围内的流动问题，采用同一控制　（１ａ）　方程进行描述，并采用相同空间离散和时间推进格　式中，Ｐ为预处理矩阵或预处理算子。此外，　式求解。一方面，由于低速流动仍然具有一定的压缩　一Ｊ（ｐ，　，　，ｐＥ）　嚣一　（　Ｅ＋ｇｙＦ）　性，预处理方法更符合流动的物理特性；另一方面，　—Ｊ（Ｖ　Ｅ＋ＶｙＦ）　营　一　（　＋　）　对于流动中既有低速流动又有高速流动的问题，控　—　（　＋　）　（１ｂ）　制方程必须采用可压缩方程，此时预处理方法表现　无粘通矢量项Ｅ，Ｆ的表达式如下　出了明显的优越性。　收稿日期：２００５—０６—３０　基金项目：西北工业青年教师创新基金（Ｍ０１６２０４）资助　作者简介：韩忠华（１９７７一），西北工业大学讲师、博士生，主要从事计算流体力学及设计空气动力学等方面的研究。　维普资讯 http://www.cqvip.com 西北工业大学学报　第２４卷　Ｅ一（ｐｕ，ｐｕ　＋户，ｐｕｖ，ｐＨｕ）　式中　Ｆ一（ｐｖ，ｐｕｖ，ｐｖ　＋户，ｐＨｖ）　（１ｃ）　厂一　Ｐ　一Ｊ（ｐ，　丁）　粘性通矢量项Ｅ　，Ｆ　表达式如下　Ｅ　一（Ｏ，ｒ　，ｒ　，　＋　ｒ　＋ｋ３Ｔ／３　）　方程（２）式中对流项保持散度形式，因此该方程仍然　Ｆ　一（Ｏ，＂Ｆｒｙ，ｒｙ　，Ｕ＇Ｆｘｙ＋　ｒ　ｙ＋ｋ３Ｔ／３　）　（１ｄ）　为守恒形式方程，这样表述的优点在于计算跨声速　式中，Ｊ　８（ｘ，　）／ａ（　，７１）表示坐标变换Ｊａｃｏｂｉａｎ行　流动时可以正确描述激波前后流动参数的变化，从　列式，１０、（　，７３，　）、Ｅ、Ⅳ、户、Ｔ分别代表流体的密度、　而确保了所发展的计算程序既适用于低马赫数流动　速度在直角坐标系下的３个分量、总能、总焓、压强、　计算，又适用于可压缩流动计算。　温度，ｒ…ｒ　、ｒ　．　为粘性应力，ｋ为热传导系数。　１．２预处理矩阵及方程的特征系统　从（１）式看出，经过预处理后的控制方程与原来　预处理矩阵可分为Ｅｕｌｅｒ方程预处理矩阵和　的ＮＳ方程并不相容。但对于定常问题而言，当时间　ＮＳ方程预处理矩阵，实践表明对于Ｅｕｌｅｒ方程有效　导数项趋于零时，预处理矩阵的影响消失，方程（１）　的预处理矩阵对粘性流动计算并不一定适用。为了　式相容于定常ＮＳ方程。因此适当的构造预处理矩　对粘性流动计算实施有效的预处理，这里采用了２　阵，可使得预处理后的ＮＳ方程是适定的。　种预处理矩阵：Ｔｕｒｋｅｌ预处理矩阵和Ｃｈｏｉ预处理　通常情况下，为了更好地计算粘性问题并使预　矩阵。需要说明的是，这２种矩阵都是针对低速流动　处理矩阵保持相对简单的形式，一般采用原始变量　设计的，对于高速流动或流场中高速流动区域，应尽　Ｑ一（户，Ｕ，７３，丁）　进行计算，采用原始变量后方程　量减小预处理矩阵的影响。　（１）式可变为如下形式　Ｃｈｏｉ和Ｍｅｒｋｌｅ在文献中发展了粘性流动计算　的预处理方法，并给出了一种有效的预处理矩阵，其　广　ａ　ｔ＋　‘　ａ　＋　‘　ａ刁　一　一”　表达式如下　Ｍａ；　Ｏ　Ｏ　Ｏ　～１　一　Ｏ　Ｏ　１０　１０　厂　Ｏ　１　Ｏ　１０　１０　（ｙ一１）（ｇ　＋　Ｍａ；）　（ｙ一１）　（ｙ一１）　ｙ一１　ｙ　ｙ　口ｙ　ｙ　』赢ｏ　ｏ　ｏ　』　厂　一Ｉ　ｊ　ＩＤ　ｏ　ｏ　（３）　Ｐ０一　Ｉ　ｏ　ＩＤ　ｏ　一　．ｏ　式中，　ｚ一　一　户，ｙ为比热比，对于　空气取ｙ一１．４，　为自由参数，取值０或１。　Ｐｏ　＝　（４）　Ｔｕｒｋｅｌ在文献［１］中发展了一种适用于粘性流　动计算的预处理矩阵，为了使表达简洁，该矩阵以熵　变量Ｗ。一（户，Ｕ，７３，Ｓ）　的形式给出，具体表达式如　（４）式所示　式中，ｃ为当地音速，ｅ为自由参数，取值为１或Ｏ。对　于Ｔｕｒｋｅｌ预处理矩阵，对应于方程（２）式中厂的表　达式可由如下公式得到　一丁　　Ｏ　Ｏ　●　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　韩忠华等：Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程预处理方法及其ｘ，￣ＮＮＮＮ数值模拟的应用　厂一　Ｐｏ　（５）　＝　ｌ　１　Ｉ　ｌ　］，对于￡一０，条件数为ＣＮ—　不难看出对于Ｔｕｒｋｅｌ预处理矩阵，厂的表达式将比　Ｃｈｏｉ预处理矩阵更为复杂。　对Ｃｈｏｉ预处理矩阵和Ｔｕｒｋｅｌ预处理矩阵，为了　ＩＴ　ｌ＿　１一￣／５　ｌ　ｆ≈２．６；当￡一１，条件数为ＣＮ≈１。这　说明￡一０时，Ｔｕｒｋｅｌ预处理后的特征值与Ｃｈｏｉ预　处理一致，且条件数相同。实践证明￡一１的收敛性　并不比￡一０好，所以本文取￡一０。总之，在低马赫　数情况下，预处理前的特征系统的条件数趋于无穷　避免在驻点附近的奇异性，都必须对　Ｍａｊ实施一　定的人工控制。为此，Ｃｈｏｉ和Ｔｕｒｋｅ１分别采用了不　同的控制方法，但基本原理都是使　Ｍａ；在驻点附　近大于零。为了统一起见，这里采用如下的控制方法　ｌｆ２Ｍａ２ｒ—ｍｉｎ｛ｍａｘ［Ｋｌｃ２Ｍａｚ（１＋　Ｍａ　），　Ｋ；（ｕ５＋　）］，ｃ　｝　（６）　式中，　和　为自由参数，　一般取１．０，Ｋ　的取　值依赖于驻点附近网格点的数目，也依赖于当地网　格单元的雷诺数，Ｋ　典型的取值为０．４～１．０（Ｅｕｌｅｒ　方程取０．５，ＮＳ方程取１．Ｏ）。Ｍａ。为事先设定的参　考马赫数。不难看出，在当地马赫数Ｍａ大于Ｍａ。　时，Ｔｕｒｋｅｌ预处理矩阵成为单位阵，即还原到非预　处理状态；而对于Ｃｈｏｉ预处理矩阵，其作用减弱，但　并没有完全还原到非预处理状态。这样使得低速预　处理方法不影响高速流动计算的收敛性，Ｍａ。一般　取０．５左右。　为了说明预处理后控制方程的特征值，这里首　先给出特征系统条件数的定义ｎ　ＣＮ一　ｉ一１～４　（７）　ｍｌｎ　ｌ　Ａｉ　ｌ　不难证明，采用Ｃｈｏｉ预处理矩阵后，控制方程　方　向Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵特征值为　、　、　ｑ｝（１＋　Ｍａ］ｃｏ／ｃ　）±ｃ　Ａ１，２一ｑｅ　Ａ３，４一—————　———一　ｃｆ２一ｇ；（１＋ｆ丁ｌ２Ｍａ￣　）＋４ｌｆ２Ｍａ］（￣＋　～　ｑｇ）　ｑｅ一　“＋　（８）　式中　＝ｙ一（ｙ—１）　。当马赫数Ｍａ一０，　≈　０．５ｑ｝（１＋　５），特征系统的条件数为ＣＮ—　ｌ　Ｉｌ一　５　ｆｌ　≈２．６。而采用Ｔｕｒｋｅｌ预处理矩阵后，　控制方程　方向Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵的特征值为　１．２一ｑｅ　¨一ｚｑｅ±　√　ｇ；＋　；（　＋　一警ｊ　—ｏ．５ｆ　１一￡＋　１，ｑｅ一　＋拿　（９）　当Ｍａ一０，　３．４≈０．５ｑ｝［（１一￡）±　大，而采用Ｃｈｏｉ或Ｔｕｒｋｅｌ预处理后的条件数具有１　的量级，系统的刚性得到有效改善。　１．３控制方程离散及求解　对预处理后的控制方程采用中心格式有限体积　法进行空间离散　］，并采用Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ混合多步　格式进行显示时间推进求解。为了使计算加速收敛　到定常状态，采用了当地时间步长、隐式残值光顺等　技术。为了进一步改善流动计算的收敛性，针对预处　理后ＮＳ方程采用了ＦＡＳ多重网格技术　Ｊ。细网格　向粗网格的限制算子及粗网格向细网格的插值算子　均采用面积加权的方法，多重网格循环方式采用了　Ｖ循环。每一完整的多重网格循环需要在细网格上　进行５次完整的Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ循环。　２算例与分析　２．１　ＲＡＥ２８２２翼型粘性流动算例　图１～图４给出了ＲＡＥ２８２２翼型在极低马赫　数下的计算结果。计算状态：Ｍａ一０．０５，ａ一０．０。，Ｒｅ　＝６．５×１Ｏ　，计算网格为２０８　Ｘ　４８，湍流模型为Ｂ—Ｌ　代数模型，多重网格计算采用３层网格Ｖ循环。图３　和图４说明了未经预处理的可压缩计算程序在低马　赫数下存在收敛慢和收敛精度低的缺点，而采用　Ｃｈｏｉ或Ｔｕｒｋｅｌ预处理后，计算的收敛性有很大的　改善，计算精度也有所提高（特别是在前后缘附近）。　从图１和图２还可以看出，在极低马赫数下Ｃｈｏｉ和　Ｔｕｒｋｅｌ预处理的效果基本相当（图中Ｒｅｓ表示连续　方程残值，Ｒｅｓ。为初始残值）。图３和图４说明预处　理加快了计算过程中力系数的稳定。　为了考察ＮＳ方程预处理程序对跨声速计算的　适应性，图５和图６给出了ＲＡＥ２８２２典型状态的跨　声速计算结果。对图５分析可知，Ｃｈｏｉ预处理和　Ｔｕｒｋｅｌ预处理对跨声速计算均有一定的加速收敛　效果，原因可能是跨声速场中附面层内仍然有一步　低速流动区域，预处理的作用仍然存在。Ｃｈｏｉ预处　理的效果略优于Ｔｕｒｋｅｌ预处理方法，其原因是在马　维普资讯 http://www.cqvip.com ・２７８・　西北工业大学学报　第２４卷　赫数大于Ｍａ。的区域，Ｔｕｒｋｅｌ预处理的作用完全消　失，而Ｃｈｏｉ预处理仍然具有一定的作用效果。这说　明对于高速流动区域，适当进行预处理，仍有可能对　算与实验的比较，表明了预处理程序能够正确捕捉　跨声速流场中的激波，原因是预处理控制方程对流　项保持了守恒形式。　计算起到加速收敛的作用。图６给出了压力分布计　１．０×ｌ０　５．０Ｘ１０　Ｉ　ｏ　｝　‘——－一－一Ｃｈｏｉ或Ｔｕｒｋｅｌ　预处理　未预处理　Ｘｉ０　５　Ｏ×ｉ０。３　ｌ　０Ｘｉ０‘　循环次数　图　图３　ＲＡＥ２８２２翼型粘性计　算升力系数收敛情况　（Ｍａ一０．０５。口一０。。　Ｒｅ一６．５×１Ｏ　）　图４　ＲＡＥ２８２２翼型粘性计　算阻力系数收敛情况　（Ｍａ一０．０５。口一０。．　Ｒｅ＝６．５×１０　）　更快）。　２．２　ＧＡＷ一１翼型粘性流动算例　器　ＧＡＷ一１翼型为用于通用航空飞机的低速高升　一　２　力翼型。采用ＧＡＷ一１翼型作为计算算例，可考察预　处理方法对低速高升力流动计算的适应性（计算的　状态为Ｍａ一０．１５，Ｒｅ一６．３×１Ｏ　，计算网格为２０８　循环次数　ｘｆ　ｃ　警　×４８，湍流模型为Ｂ—Ｌ代数模型，多重网格计算采　用３层网格Ｖ循环）。　图５　ＲＡＥ２８２２翼型粘性　图６　ＲＡＥ２８２２翼型粘　计算残值收敛情况　（Ｍａ一０．７２９。口一２．７９。，　Ｒｅ一６．５×１０　）　性计算压力分布　（Ｍａ一０．７２９。口一２．７９。，　Ｒｅ一６．５×１０　）　图７给出了迎角为Ｏ。的计算结果。残值收敛情　况表明采用预处理后计算收敛性得到明显改善；　Ｃｈｏｉ预处理与Ｔｕｒｋｅｌ预处理的效果基本相当，但　Ｃｈｏｉ预处理的残值曲线更加平滑，收敛过程更稳　总之，所发展的方法和程序既可进行低速计算，　又可用于高速计算，而且取得了非常高的效率（如果　就连续方程残值下降５个量级而言，在ＰＩＶ　２．４Ｇ　定。图８给出了迎角为１２．Ｏ４。的计算结果。从残值　收敛情况看，没有采用预处理时计算无法收敛，残值　下降不到２个量级（可能是网格质量较差引起的）；　微机上平均运行７０　Ｓ左右，对于低马赫数计算甚至　嚣　邑　２　一　２　０　２０　４０　６０　８０　１ｏ０　循环次数　循环次数　图７　ＧＡＷ一１翼型粘性计算残值收敛情况　（Ｍａ一０．１５，口一０。，尺　一６．３×１０　）　图８　ＧＡＷ一１翼型粘性计算残值收敛情况　（Ｍａ一０．１５，口一１２．０４。，Ｒｅ一６．３×１０　）　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　韩忠华等：Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程预处理方法及其对翼型绕流数值模拟的应用　Ｃｈｏｉ预处理和Ｔｕｒｋｅｌ预处理收敛情况基本相同，　气动设计是非常重要的。为了考察所发展的预处理　残值很快下降了５个量级。由此说明，在较大迎角的　计算程序的力系数计算精度，图９给出了计算与实　验的比较。图中看出升力和力矩特性与实验值能很　高升力计算中，预处理方法在一定程度上能有效改　善计算的收敛性和稳定性。　好地符合，而从升阻极曲线分析，计算的阻力系数略　为偏大，但仍然比较合理。　了解气动分析程序的力系数计算精度对于翼型　ａ／（。）　（ａ）　升力系数随迎角变化　ａ／（。）　（ｂ）　力矩系数随迎角变化　（ｃ）　升力系数随阻力系数变化　图９　ＧＡＷ一１翼型气动特性的计算与实验比较（Ｍａ＝０．１５，Ｒｅ＝６．３×１０　）　适用于高速流动，且有一定加速收敛效果。　３　结　论　本文研究发展了适用于低、亚、跨、超声速流动　ＮＳ方程计算的有效预处理方法，并对ＲＡＥ２８２２、　ＧＡＷ一１等翼型进行了流动数值分析。研究表明：　（１）预处理方法能十分有效地改善低马赫数粘　性流动计算的收敛性和收敛精度；预处理方法同样　（２）Ｃｈｏｉ预处理和Ｔｕｒｋｅｌ预处理对于低马赫　数流动计算的性能基本相当。在较高马赫数计算中　Ｃｈｏｉ预处理的稳定性和加速性能略优于Ｔｕｒｋｅｌ预　处理。　（３）将预处理方法与多重网格方法结合，能非　常有效地进行不同翼型在不同流动状态的粘性气动　计算，是一种能应用于气动设计的高效计算方法。　参考文献：　Ｅ１３　Ｔｕｒｋｅｌ　Ｅ．Ｒｏｂｕｓｔ　Ｌｏｗ　Ｓｐｅｅｄ　Ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｖｉｓｃｏｕｓ　Ｈｉｇｈ　Ｌｉｆｔ　Ｆｌｏｗｓ．ＡＩＡＡ　Ｐａｐｅｒ　２００２—０９２６，２００２　Ｅ２　３　Ｒｏｇｅｒｓ　Ｓ　Ｅ．Ｋｗａｋ　Ｄ．Ａｎ　Ｕｐｗｉｎｄ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｉｎｇ　Ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ・Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．１９９１，８：４３～４６　Ｅ３］Ｃｈｏｉ　Ｙ　Ｈ．Ｍｅｒｋｌｅ　Ｃ　Ｌ．Ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｖｉｓｃｏｕｓ　Ｆｌｏｗｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｐｈｓｉｃｓ，１９９３’１０５：　２Ｏ７～２２３　Ｅ４３　Ｊａｍｅｓｏｎ　Ａ．Ｓｃｈｍｉｄｔ　Ｗ，Ｔｕｒｋｅｌ　Ｅ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｕｌｅｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｂｙ　ａ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｖｏｌｕｍｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　Ｕｓｉｎｇ　Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ　Ｔｉｍｅ　Ｓｔｅｐｐｉｎｇ　Ｓｃｈｅｍｅｓ．ＡＩＡＡ　Ｐａｐｅｒ　１９８１—１２５９，１９８１　Ｅ６３杨爱明，翁培奋，乔志德．用多重网格方法计算旋翼跨声速无粘流场．空气动力学学报，２００４，２２（３）：３１３￣３１８　维普资讯 http://www.cqvip.com ・２８０・　西北工业大学学报　第２４卷　Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｏｆ　ａｎ　Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　Ｖｉｓｃｏｕｓ　Ｐｒｅｃ０ｎｄｉｔｉ０ｎｉｎｇ　Ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｆｌｏｗｓ　ｏｖｅｒ　Ａｉｒｆｏｉｌｓ　Ｈａｎ　Ｚｈｏｎｇｈｕａ　，Ｑｉａｏ　Ｚｈｉｄｅ　，Ｘｉｏｎｇ　Ｊｕｎｔａｏ　，Ｈｅ　Ｇｕａｎｇｈｏｎｇ。　１．Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ　Ｄｅｓｉｇｎ　ａｎｄ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，　Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａ［Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ　ａｎ　７１００７２，Ｃｈｉｎａ　２．Ｓｈｅｎｙａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ａｉｒｃｒａｆｔ　Ｄｅｓｉｇｎ　ａｎｄ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，Ｓｈｅｎｙａｎｇ　１　１　００３５，Ｃｈｉｎａ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｕｒｐｏｓｅ．Ｋｅｅｐｉｎｇ　ｉｎ　ｍｉｎｄ　ｔｈｅ　ｐｅｒｅｎｎｉａｌ　ｎｅｅｄ　ｆｏｒ　ｍｏｒｅ　ａｎｄ　ｍｏｒｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｒｏｂｕｓｔ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｃｏｄｅｓ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ａｉｒｆｏｉｌｓ，ｗｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ　ｔｈｅ　ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ　ｏｆ　ＮＳ（Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ）ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．　Ｗｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ　ｔｈｅ　ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｂｙ　Ｔｕｒｋｅｌ　ａｎｄ　Ｃｈｏｉｃｚ￣ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　Ｒｅｙｎｏｌｄｓ—Ａｖｅｒａｇｅｄ　ＮＳ（ＲＡＮＳ）ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｗｅ　ｒｅｍｏｖｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ｏｆ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　ＲＡＮＳ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｅａｒｌｙ　ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　ｆｌｏｗｓ　ａｎｄ　ｆｏｒ　ｆｌｏｗ　ｒｅｇｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｏｆ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　ｆｌｏｗｓ．Ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ　ＲＡＮＳ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｅ　ｅｍｐｌｏｙ　ａ　ｃｅｌｌ—　ｃｅｎｔｅｒｅｄ　ｆｉｎｉｔｅ——ｖｏｌｕｍｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｆｏｒ　ｓｐａｔｉａｌ　ｄｉｓｃｒｅｔｉｚｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｕｓｅ　ａ　ｍｕｌｔｉ—－ｓｔａｇｅ　Ｒｕｎｇｅ——Ｋｕｔｔａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｔｉｍｅ　ｍａｒｃｈｉｎｇ．Ａ　ＦＡＳ（Ｆｕｌｌ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｈｅｍｅ）ｍｕｌｔｉｇｒｉｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ　ａｃｃｅｌｅｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｔｏ　ｓｔｅａｄｙ　ｓｔａｔｅ．Ｗｅ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｔｈｅ　ｌＯＷ—ｓｐｅｅｄ。ｓｕｂｓｏｎｉｃ　ａｎｄ　ｔｒａｎｓｏｎｉｃ　ｖｉｓｃｏｕｓ　ｆｌｏｗｓ　ｏｖｅｒ　ＲＡＥ２８２２　ａｎｄ　ＧＡＷ一１　ａｉｒｆｏｉｌｓ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ　ａｎｄ　ａｃｈｉｅｖｅｄ　ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ　ｓｕｃｃｅｓｓ；ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗｎ　ｉｎ　Ｆｉｇｓ．１　ｔｈｒｏｕｇｈ　６　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｕｌｌ　ｐａｐｅｒ（ＲＡＥ２８２２　ａｉｒｆｏｉｌ）ａｎｄ　ｉｎ　Ｆｉｇｓ．７　ｔｈｒｏｕｇｈ　９（ＧＡＷ一１　ａｉｒｆｏｉｌ）ｓｈｏｗ　ｇｏｏｄ　ａｇｒｅｅｍｅｎｔ　ｗｉｔｈ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｄａｔａ　ａｎｄ　ｅｘｈｉｂｉｔ　ｒａｐｉｄ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ．Ｔｈｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｎｄ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ　ｄａｔａ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｂｏｔｈ　Ｔｕｒｋｅｌ’Ｓ　ａｎｄ　Ｃｈｏｉ’Ｓ　ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ａｎｄ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｃｏｄｅ　ｗｈｅｎ　ｕｓｅｄ　ｆｏｒ　ｌｏｗ—ｓｐｅｅｄ　ｆｌｏｗｓ．Ｗｅ　ａｌｓｏ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ　ｔｏ　ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｌｏｗ—ｓｐｅｅｄ　ｆｌｏｗ　ｒｅｇｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｏｆ　ｓｕｂｓｏｎｉｃ　ａｎｄ　ｔｒａｎｓｏｎｉｃ　ａｉｒｆｏｉｌｓ．Ｉｎ　ｓｈｏｒｔ，ｗｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ　ａｎ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｒｏｂｕｓｔ　ｃｏｄｅ　ｆｏｒ　ｌｏｗ　ｓｐｅｅｄ，ｓｕｂｓｏｎｉｃ，ｔｒａｎｓｏｎｉｃ　ａｎｄ　ｓｕｐｅｒｓｏｎｉｃ　ｆｌｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｃａｎ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ａｉｒｆｎｉ１ｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ　（ＮＳ）ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，　ｐｒｅｃｏｎ　ｄｉｔｉｏｎｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ，　ｍｕｈｉｇｒｉｄ　ｍｅｔｈｏｄ，　ｆｉｎｉｔｅ—ｖｏｌｕｍｅ　ｓｃｈｅｍｅ。ａｉｒｆｏｉｌ　１９９９－－２００４六年《工程索引》Ｅ１年刊或月刊　收录中国大陆１３校３０行以上论文２９４篇　大学　浙江　上海　清华　西安　北京　哈尔滨　华中　南京　西北　华东　中国　北京航　东南　交通　交通　１３校　工业　科技　工业　理工　科技　空航天　Ｅ１年刊收录３Ｏ行　以上篇数　４７　４５　４１　２４　２２　２０　２０　１８　１５　１３　１２　１０　７　２９４　胡沛泉　２００６年５月２１日