2020-2021学年天津市部分区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A. 2𝑥2+𝑥+5=0 C. (𝑥−1)(𝑥+8)=6
1
B. 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 D. 𝑥3−2𝑥𝑦+5𝑦2=0
2. 一元二次方程(𝑥−3)(𝑥+1)=0的根是( )
A. 𝑥1=3，𝑥2=−1 C. 𝑥1=3，𝑥2=−1
1
B. 𝑥1=−3，𝑥2=1 D. 𝑥1=−3，𝑥2=1
1
3. 在平面直角坐标系中，把点𝑃(−5,4)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点𝑃′的
坐标为( )
A. (5,4) B. (−5,4) C. (−5,−4) D. (5,−4)
4. 若点(−2,𝑦1)，(−1,𝑦2)，(5,𝑦3)在抛物线𝑦=4(𝑥−1)2+5上，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大
小关系是( )
A. 𝑦1<𝑦2<𝑦3
B. 𝑦3<𝑦2<𝑦1 C. 𝑦2<𝑦1<𝑦3 D. 𝑦3<𝑦1<𝑦2
5. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小
礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方程为( )
A. 𝑥(𝑥+1)=56 C. 2𝑥(𝑥+1)=56
B. 𝑥(𝑥−1)=56 D. 𝑥(𝑥−1)=56×2
6. 将抛物线𝑦=−5𝑥2+1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到
的抛物线为( )
A. 𝑦=−5(𝑥+1)2−1 C. 𝑦=−5(𝑥+1) 2+3
B. 𝑦=−5(𝑥−1) 2−1 D. 𝑦=−5(𝑥−1) 2+3
7. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=4，8. 如图，将△𝐴𝐵𝐶绕点A顺时针旋转60°得
到△𝐴𝐸𝐷，连接BE，则BE的长为( )
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A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
9. 用配方法将二次函数𝑦=𝑥2+8𝑥−9化为𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘的形式为( )
A. 𝑦=(𝑥−4)2+7 C. 𝑦=(𝑥+4) 2+7
B. 𝑦=(𝑥−4) 2−25 D. 𝑦=(𝑥+4) 2−25
10. 抛物线𝑦=−𝑥2+3𝑥−2的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11. 抛物线𝑦=−3𝑥2，𝑦=3𝑥2+2，𝑦=3𝑥2−2共有的性质是( )
A. 开口向上 B. 对称轴都是y轴 C. 都有最高点 D. 顶点都是原点
12. 已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,b，c是常数，𝑎≠0)的y与x的部分对应值如下
表： x y … … −3 −3 0 −2 1 −1 0 0 1 −3 … … 下列结论正确是( ) ①𝑎𝑏>0 ②𝑎+𝑏+𝑐<0
③若点(−7,𝑦1)，点(7,𝑦2)在二次函数图象上，则𝑦1<𝑦2 ④方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=−3有两个不相等的实数根
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 将一元二次方程4𝑥2−5𝑥=81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数
项分别为______ ．
14. 已知𝑥=2是一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥+6=0的一个根，则方程的另一个根是______． 15. 抛物线𝑦=−3(𝑥+2)2−3的顶点坐标是______ ． 16. 抛物线𝑦=(𝑥−4)(𝑥+3)的对称轴为______ ．
17. 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100−𝑥)件，
获利y元，当获利最大时，售价𝑥= ______ 元．
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18. 如图，在正方形ABCD中，将△𝐴𝐵𝐷绕点B顺时针旋
转得到△𝐴′𝐵𝐷′，若点𝐴′恰好落在对角线BD上，连接𝐷𝐷′，则∠𝐵𝐷𝐷′的大小为______ (度)．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 19. 解下列方程
(1)𝑥2−4𝑥−1=0； (2)(2𝑥−3)2=(3𝑥+5)2．
四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）
△𝐴𝐵𝐶的三个顶点分别是𝐴(−4,−2)，𝐵(−2,−1)，20. 如图所示，在平面直角坐标系中，
𝐶(−3,2)．
(1)作出与△𝐴𝐵𝐶关于原点O成中心对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；
(2)若点B关于x轴的对称点为点𝐵1，将点𝐵1向右平移a个单位长度后落在△𝐴′𝐵′𝐶′的内部(不包括顶点和边)． ①写出点𝐵1坐标______ ， ②写出a的取值范围为______ ．
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21. 已知，关于x的一元二次方程𝑥2+2𝑚𝑥+(𝑚−4)2=0有两个相等的实数根．
(1)求m的值； (2)求此方程的根．
22. 国家鼓励大学生自主创业，并有相关的支持政策，受益于支持政策的影响，某大学
生自主创立的公司利润逐年提高，据统计，2017年利润为200万元，2019年利润为288万元.求该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率．
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23. 如图，四边形ABCD是正方形，𝐴𝐵=6，四边形EFGH
也是正方形.点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上.点E在AB边上移动时，正方形EFGH面积也随之改变，当AE的长度为多少时，正方形EFGH的面积最小？并求出最小面积．
24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−4经过
𝐴(−3,0)𝐵(5,−4)两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC． (1)求此抛物线的解析式； (2)求△𝐴𝐵𝐶的面积．
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25. 在平面直角坐标系中，点𝐴(6,0)，点𝐵(0,8)，把△𝐴𝑂𝐵绕原点O逆时针旋转，得△𝐶𝑂𝐷，
其中，点C，D分别为点A，B旋转后的对应点.记旋转角为𝛼(0°<𝛼<360°)． (1)如图，当𝛼=45°时，求点C的坐标；
(2)当𝐶𝐷//𝑥轴时，求点C的坐标(直接写出结果即可)．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意． B、当𝑎=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意． C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． D、该方程属于二元三次方程，故本选项不符合题意． 故选：C．
本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件： (1)未知数的最高次数是2； (2)二次项系数不为0．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(且𝑎≠0).特别要注意𝑎≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.【答案】A
【解析】解：∵(𝑥−3)(𝑥+1)=0， ∴𝑥−3=0或𝑥+1=0， ∴𝑥1=3，𝑥2=−1． 故选：A．
利用因式分解法把方程转化为𝑥−3=0或𝑥+1=0，然后解两个一次方程即可． 本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，P与𝑃′关于原点对称， ∵𝑃(−5,4)， ∴𝑃′(5,−4)， 故选：D．
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由题意，P与𝑃′关于原点对称，根据中心对称的性质解决问题即可．
本题考查坐标由图形变化−旋转，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4.【答案】C
【解析】解：抛物线𝑦=4(𝑥−1)2+5的开口向上，对称轴是直线𝑥=1，当𝑥<1时，y随x的增大而减小，
∵点(−2,𝑦1)，(−1,𝑦2)，(5,𝑦3)在抛物线𝑦=4(𝑥−1)2+5上， ∴点(5,𝑦3)关于对称轴𝑥=1的对称点是(−3,𝑦3)， ∵−3<−2<−1<1， ∴𝑦2<𝑦1<𝑦3， 故选：C．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设有x人参加聚会，则每人送出(𝑥−1)件礼物， 由题意得，𝑥(𝑥−1)=56． 故选：B．
设有x人参加聚会，则每人送出(𝑥−1)件礼物，根据共送礼物56件，列出方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
6.【答案】D
【解析】解：将抛物线𝑦=−5𝑥2+1向右平移1个单位长度所得直线解析式为：𝑦=−5(𝑥−1)2+1；
再向上平移2个单位长度为：𝑦=−5(𝑥−1)2+1+2，即𝑦=−5(𝑥−1)2+3． 故选：D．
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根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7.【答案】D
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确； 故选：D．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠𝐶=90°，𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=4， ∴𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=√9+16=5， ∵将△𝐴𝐵𝐶绕点A顺时针旋转60°得到△𝐴𝐸𝐷， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐸=5，∠𝐵𝐴𝐸=60°， ∴△𝐴𝐵𝐸是等边三角形， ∴𝐵𝐸=𝐴𝐵=5， 故选：A．
由勾股定理可求𝐴𝐵=5，由旋转的性质可得𝐴𝐵=𝐴𝐸=5，∠𝐵𝐴𝐸=60°，即可求解． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：𝑦=𝑥2+8𝑥−9=𝑥2+8𝑥+16−9−16=(𝑥+4) 2−25， 故选：D．
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运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：𝑦=−𝑥2+3𝑥−2=−(𝑥−2)2+4=−(𝑥−1)(𝑥−2)， 顶点坐标是(2,4)，即函数图象的顶点在第一象限， 抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)，(2,0)， 当𝑥=0时，𝑦=−2，
即与y轴的交点坐标是(0,−2)，
所以抛物线𝑦=−𝑥2+3𝑥−2的图象不经过第二象限， 故选：B．
根据函数的解析式求出函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，再逐个判断即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
31
3
1
11.【答案】B
【解析】解：在𝑦=−3𝑥2中，可知其开口向下，对称轴为y轴，有最高点， 在𝑦=3𝑥2+2中，可知其开口向上，对称轴为y轴，有最低点， 在𝑦=3𝑥2−2中，可知其开口向上，对称轴为y轴，有最低点， ∴三抛物线共有的性质是对称轴为y轴， 故选：B．
根据抛物线解析式可判断其开口方向、对称轴及最值，可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘中，对称轴为𝑥=ℎ，顶点坐标为(ℎ,𝑘)．
12.【答案】B
【解析】解：由表格可知，
该二次函数有最大值，开口向下，对称轴为直线𝑥=−1，顶点坐标为(−1,1)，
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∴𝑎<0，𝑏<0， ∴𝑎𝑏>0，故①正确；
由表格可知，当𝑥=1时，𝑦=𝑎+𝑏+𝑐=−3<0，故②正确； ∵点(−7,𝑦1)到对称轴𝑥=−1的距离小于点(7,𝑦2)到对称轴的距离， ∴𝑦1>𝑦2，故③错误，
∵图象经过(−3,−3)和(1,−3)两个点，
∴方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=−3有两个不相等的实数根，故④正确， 故选：B．
根据表格中的数据，可以得到此二次函数具有最大值，对称轴为𝑥=1，再根据二次函数的性质，即可判断题目中的各个小题是否正确．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】4，−5，−81
【解析】解：一元二次方程4𝑥2−5𝑥=81化为一般形式为4𝑥2−5𝑥−81=0， 二次项系数，一次项系数，常数项4，−5，−81， 故答案是：4，−5，−81．
根据一元二次方程的一般形式是：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎,b，c是常数且𝑎≠0)，a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
14.【答案】𝑥=3
【解析】解： 设方程的另一根为a，
∵𝑥=2是一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥+6=0的一个根， ∴2𝑎=6，解得𝑎=3， 即方程的另一个根是𝑥=3， 故答案为：𝑥=3．
设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得a的值，即可求得方
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程的另一根．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于−𝑎、两根之积等于𝑎是解题的关键．
𝑐
𝑏
15.【答案】(−2,−3)
【解析】解：由𝑦=−3(𝑥+2)2−3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−2,−3)． 故答案为：(−2,−3)．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
考查二次函数的性质，顶点式𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘中顶点坐标是(ℎ,𝑘)，对称轴是𝑥=ℎ．
16.【答案】𝑥=2
【解析】解：∵𝑦=(𝑥−4)(𝑥+3)=0时，𝑥=4或−3， ∴对称轴𝑥=
4−32
1
=2，
1
1
故答案为：𝑥=2．
可以向求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据坐标求出对称轴即可．
本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎、b、c为常数，𝑎≠0)和x轴的两交点坐标为(𝑥1,0)和(𝑥2,0)，则此抛物线的对称轴是直线x，则𝑥=
𝑥1+𝑥22
．
17.【答案】65
【解析】解：设最大利润为w元，
则𝑤=(𝑥−30)(100−𝑥)=−(𝑥−65)2+1225， ∵−1<0，0<𝑥<100，
∴当𝑥=65时，二次函数有最大值1225， ∴售价𝑥=65元时，利润最大． 故答案为：65．
本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价−每件
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进价．再根据所列二次函数求最大值．
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
18.【答案】67.5
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠𝐷𝐵𝐶=45°，
∵将△𝐴𝐵𝐷绕点B顺时针旋转得到△𝐴′𝐵𝐷′， ∴𝐵𝐷=𝐵𝐷′， ∴∠𝐵𝐷𝐷′=∠𝐵𝐷′𝐷=故答案为：67.5．
由旋转的性质可得𝐵𝐷=𝐵𝐷′，由正方形的性质和等腰三角形的性质可求解． 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
180°−45°
2
=67.5°，
19.【答案】解：(1)𝑥2−4𝑥−1=0，
移项，得𝑥2−4𝑥=1， 配方，得𝑥2−4𝑥+4=1+4， 则(𝑥−2)2=5， 𝑥−2=±√5， 𝑥=±√5+2，
𝑥1=√5+2，𝑥2=−√5+2； (2)(2𝑥−3)2=(3𝑥+5)2．
移项，得(2𝑥−3)2−(3𝑥+5)2=0， (2𝑥−3+3𝑥+5)(2𝑥−3−3𝑥−5)=0， (5𝑥+2)(−𝑥−8)=0， 𝑥1=−5，𝑥2=−8．
【解析】(1)利用配方法可得出答案； (2)利用因式分解法求解可得答案．
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2
本题考查的是解一元二次方程，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
20.【答案】(−2,1) 4<𝑎<4
【解析】解：(1)如图，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求．
23
(2)①𝐵1(−2,1)．
②∵𝐴′(3,−2)，𝐶′(4,2)，
∴直线𝐴′𝐶′的解析式为𝑦=4𝑥−14， 当𝑦=1时，𝑥=
154
154
，
+2=
234
，
234
∴𝑎的取值范围为4<𝑎<故答案为：4<𝑎<
234
．
．
(1)分别作出A，B，C的对应点𝐴′，𝐵′，𝐶′即可． (2)①根据轴对称的性质求解即可．
②求出直线𝐴′𝐶′的解析式，求出𝑦=1时，自变量的值，即可解决问题．
本题考查作图−旋转变换，坐标与图形的性质−平移，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)根据题意得△=4𝑚2−4(𝑚−4)2=0，
解得𝑚=2；
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(2)把𝑚=2代入𝑥2+2𝑚𝑥+(𝑚−4)2=0得𝑥2+4𝑥+4=0， 解得𝑥1=𝑥2=−2．
【解析】(1)利用判别式的意义得到△=4𝑚2−4(𝑚−4)2=0，然后解关于m的方程； (2)写出𝑚=2时的方程，然后利用因式分解法解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与△=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
22.【答案】解：设该科技外贸公司从2015年到2017年利润的年平均增长率为𝑥.根据题
意得
200(1+𝑥)2=288，
解得 𝑥1=0.2=20%，𝑥2=−2.2 (不合题意，舍去)．
答：这该公司从2017年到2019年利润的年平均增长率为20%．
【解析】设这两年该公司年利润平均增长率为𝑥.根据题意得200(1+𝑥)2=288，解方程即可求得增长率．
此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
23.【答案】解：设𝐴𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=6−𝑥，
∵四边形EFGH是正方形， ∴𝐸𝐻=𝐸𝐹，∠𝐻𝐸𝐹=90°， ∴∠𝐴𝐸𝐻+∠𝐵𝐸𝐹=90°， ∵∠𝐴𝐸𝐻+∠𝐴𝐻𝐸=90°， ∴∠𝐴𝐻𝐸=∠𝐵𝐸𝐹， 在△𝐴𝐻𝐸和△𝐵𝐸𝐹中， ∠𝐴=∠𝐵=90°{∠𝐴𝐻𝐸=∠𝐵𝐸𝐹， 𝐸𝐻=𝐸𝐹
∴△𝐴𝐻𝐸≌△𝐵𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)，
同理可证△𝐴𝐻𝐸≌△𝐵𝐸𝐹≌△𝐶𝐹𝐺≌△𝐷𝐻𝐺，
∴𝐴𝐸=𝐵𝐹=𝐶𝐺=𝐷𝐻=𝑥，𝐴𝐻=𝐵𝐸=𝐶𝐹=𝐷𝐺=6−𝑥 ∴𝐸𝐹2=𝐵𝐸2+𝐵𝐹2=(6−𝑥)2+𝑥2，
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∴正方形EFGH的面积𝑆=𝐸𝐹2=(6−𝑥)2+𝑥2=2(𝑥−3)2+18，
即：当𝐴𝐸=3(即E在AB边上的中点)时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为18．
【解析】设𝐴𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=6−𝑥，易证△𝐴𝐻𝐸≌△𝐵𝐸𝐹≌△𝐶𝐹𝐺≌△𝐷𝐻𝐺，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．
24.【答案】解：(1)把𝐴(−3,0)𝐵(5,−4)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−4得{9𝑎−3𝑏−4=0
𝑎=6解得{5，
𝑏=−6
∴抛物线解析式为𝑦=6𝑥2−6𝑥−4； (2)当𝑥=0时，𝑦=6𝑥2−6𝑥−4=−4， ∴𝐶点坐标为(0,−4)， ∵𝐵(5,−4)，
∴𝐵𝐶//𝑥轴，𝐵𝐶=5，
∴△𝐴𝐵𝐶的面积=2×5×4=10．
1
1
51
5
1
，
25𝑎+5𝑏−4=−4
【解析】(1)把A点和B点坐标代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−4得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
(2)先确定C点坐标，利用B、C的坐标特征得到𝐵𝐶//𝑥轴，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
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25.【答案】解：(1)如图，过点C作𝐶𝐸⊥𝑂𝐴于E．
∵𝐴(6,0)， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=6， ∵∠𝐶𝑂𝐸=45°， ∴𝐸𝐶=𝑂𝐸=3√2，
∴𝐶(3√2,3√2).
(2)如图，CD在x轴上方时，设CD交y轴于F，过点D作𝐷𝑇⊥𝑥轴于T．
∵𝐶𝐷//𝑥轴， ∴𝐶𝐷⊥𝑂𝐹，
∵𝑂𝐵=𝑂𝐷=8，𝑂𝐶=𝑂𝐴=6， ∴𝐶𝐷=√𝑂𝐶2+𝑂𝐷2=√62+82=10， ∴𝐷𝑇=𝑂𝐹=
𝑂𝐷⋅𝑂𝐶𝐶𝐷
=
245
，
24
325
∴𝑂𝑇=√𝑂𝐷2−𝐷𝑇2=√82−(5)2=∴𝐷(−
32245
，
,5)，
32
24
当CD在x轴下方时，同法可得𝐷(5,−5).
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综上所述，满足条件的点D的坐标为(−
32245
,5)或(5,−5).
3224
【解析】(1)如图，过点C作𝐶𝐸⊥𝑂𝐴于𝐸.解直角三角形求出OE，CE即可． CD在x轴上方时，(2)分两种情形：设CD交y轴于F，过点D作𝐷𝑇⊥𝑥轴于𝑇.求出OT，DT即可．当CD在x轴下方时，同法可得．
本题属于坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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