姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（ ）
A．3 B． C．3或﹣3 D．或﹣ 2．如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30° 3．
的值是（ ）
A．±16 B．±4 C．16 D．−16
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
5．已知等边三角形的边长为，则它面积与边长之间的关系用图象大致可表示为（ ）
A．B． C． D．
6．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 7．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（ ） A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y
8．函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），则a+b的值为（ ） A．1
B．11
C．25
D．无法求解
22
9．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ） A．10 B．20 C．10π D．20π 10．如图，在菱形纸片ABCD中，P在
上，折痕为DE，则
，P为AB中点折叠该纸片使点C落在点处且点
的大小为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知
是整数，则n是自然数的值是_____．
12．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设_____． 13．如果不等式组
有解，那么m的范围是______．
14．已知点15．如图，矩形标为
，轴，且，则点N的坐标为______． ，
分别在轴，轴的正半轴上，点的坐
位置时的坐标为
的顶点在坐标原点，
，点的坐标为，当此矩形绕点旋转到如图
________．
16．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点 F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.
三、解答题（本大题共8小题，共66分） 17．（本题8分）解方程组和分式方程： （1）解方程组
（2）解分式方程．
18．（本题8分）平面上有3个点的坐标：，，
上又在抛物线上
在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线
上的概率是多少？
从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线
上的概率．
19．（本题10分）某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？
20．（本题8分）周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处点A与大树及其影子在同一平面内，此时太阳光与地面夹角为在A处测得树顶D的仰角为
如图所示，已知背水坡AB的坡度
米，参考数据：
，
：3，AB的长为10米，
，
请你帮助小亮算一算这颗大树的高度结果精确到注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比
21．（本题10分）据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．
(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1 000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
22．（本题10分）已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M． （1）求点A、B、C的坐标． （2）求直线BM的函数解析式． （3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．
（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题12分）如图1，正方形ABCD中，F为AB中点，连接DF，CE⊥DF于E，连接BE． （1）作出△ADF关于F成中心对称的图形，并探究BE和BC数量关系；
（2）如图2，BM平分∠ABE交CE延长线于M，连接MD，试探究DM、CM、BM线段关系并给出证明；
（3）若点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，写出BE长度的取值范围．
答案分析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（ ）
A．3 B． C．3或﹣3 D．或﹣ 【考点】倒数和绝对值
【分析】直接利用倒数以及绝对值的性质分析得出答案． 解：设这个数为a，则||=3，
则=±3，
解得：a=±． 故选：D
【点睛】此题主要考查了倒数和绝对值，正确把握相关定义是解题关键． 2．如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30° 【考点】对顶角的定义
【分析】直接利用对顶角的定义得出答案． 解：∵∠1=120°， ∴∠2的度数是：120°． 故选：A．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键． 3．
的值是（ ）
A．±16 B．±4 C．16 D．−16 【考点】平方根
【分析】根据解：故选：A.
，进行化简即可．
＝｜－16｜＝
.
【点睛】考查平方根的知识，区分平方根与算术平方根是避免出错的关键．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】题中有三个条件，图形为常见图形，可先由AB∥DE，∠BCE=35°，根据两直线平行，内错角相等求出∠B，然后根据三角形内角和为180°求出∠A．
解：∵AB∥DE，∠BCE=35°，∴∠B=∠BCE=35°（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣35°=55°（在直角三角形中，两个锐角互余）． 故选C．
【点睛】看到两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
5．已知等边三角形的边长为，则它面积与边长之间的关系用图象大致可表示为（ ）
A．B．C．D．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式及图象，勾股定理，三角形的面积
【分析】作出三角形的高，利用直角三角形的性质及勾股定理可得高，那么三角形的面积=×
底×高，把相关数值代入可得y与x之间的函数关系，且根据x、y实际意义x、y应大于0，即可求解．
解：作等边三角形ABC中BC边上的高AD．
∵△ABC是等边三角形，边长为x， ∴CD=x，
∴高AD=x，
∴△ABC的面积y=BC•AD，
即y=x•x=x（x＞0）． 故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式及图象，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是用含x的代数式表示出等边三角形一边上的高．
6．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 【考点】三角形的三边关系
【分析】先设第三根木棒长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得5-2＜x＜5+2，计算出x的取值范围，然后可确定答案． 解：设第三根木棒长为xcm，由题意得： 5-2＜x＜5+2， 3＜x＜7， ∴5cm符合题意， 故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
7．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（ ）
2
A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y 【考点】提公因式法分解因式
【分析】利用多项式的每一项除以公因式，即可得到另一个因式． 解：-6ab+18abx+24aby=-6ab（1-3x-4y）， 所以另一个因式是（1-3x-4y）． 故选：A．
【点睛】考查了提公因式法分解因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商．
8．函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），则a2+b2的值为（ ）. A．1
B．11
C．25
D．无法求解
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），得出ab=5，a﹣b=﹣1，再把
要求的式子进行变形，然后代值计算．∵函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），
∴b=，b=a+1，∴ab=5，a﹣b=﹣1，∴a+b=（a﹣b）+2ab=（﹣1）+2×5=11；故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解此题的关键是根据题意求出ab和a-b的值，体现了整体思想．
9．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（ ） A．10 B．20 C．10π D．20π 【考点】圆锥的计算
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解． 解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
解得r=10.
故圆锥的底面半径为10. 故选：A.
2222
【点睛】考查圆锥的相关计算，掌握圆锥的底面圆周长=扇形的弧长是解题的关键. 10．如图，在菱形纸片ABCD中，P在
上，折痕为DE，则
，P为AB中点折叠该纸片使点C落在点处且点
的大小为
A． B． C． D．
【考点】菱形的性质，翻转变换的性质
【分析】连接BD，根据菱形的性质得到AD=AB，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，求出∠ADP=∠ADB=30°，根据折叠的性质计算即可． 解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，又∠A=60°，∴△ABD是等边三角形， ∵P为AB中点，∴∠ADP=∠ADB=30°， ∵AB∥CD，∴∠ADC=120°，∴∠CDP=90°， 由折叠的性质可知，∠CDE=∠C′DE=∠CDP=45°， 故选C．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．已知是整数，则n是自然数的值是_____．
【考点】算术平方根
【分析】求出n的范围，再根据可． 解：∵
是整数，
是整数得出8﹣n＝0或8﹣n＝1或8﹣n＝4，求出即
∴8﹣n＞0， ∴n＜8， ∵n是自然数，
∴8﹣n＝0或8﹣n＝1或8﹣n＝4， 解得：n＝8或7或4， 故答案为：4或7或8．
【点睛】本题考查了算术平方根，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 12．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设_____． 【考点】反证法
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，需一一否定．
解：用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°． 故答案为：∠A≤60°．
【点睛】本题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 13．如果不等式组
有解，那么m的范围是______．
【考点】不等式组有解的条件
【分析】根据不等式组有解的条件，得出2≤x＜m，即可求出m的取值范围．
解：∵不等式组∴2≤x＜m， ∴m＞2， 故答案为：m＞2．
有解，
【点睛】本题主要考查了不等式组有解的条件，在解题时要会根据条件列出不等式． 14．已知点
，
轴，且
，则点N的坐标为______．
【考点】坐标与图形性质
【分析】设N点坐标为（x，y），根据与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相同得到y＝7，根据MN＝5得到|x＋4|＝5，然后去绝对值求出x即可得到N点坐标． 解：设N点坐标为（x，y）， ∵MN∥x轴，MN＝5，点M（−4，7）， ∴y＝7，|x＋4|＝5，解得x＝−9或1， ∴点N的坐标为（−9，7）或（1，7）． 故答案为：（−9，7）或（1，7）
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应的线段的长和判断线段与坐标轴的关系． 15．如图，矩形标为
的顶点在坐标原点，
，
分别在轴，轴的正半轴上，点的坐
位置时的坐标为
，点的坐标为，当此矩形绕点旋转到如图
________．
【考点】坐标与图形的变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质 【分析】根据点B和点D的坐标得到OB=1，OD=
，再根据旋转的性质得
∠A′BC′=∠OBC=90°，OD=A′D′=BC′，利用等角的余角相等得到∠OBD=∠BC′H=∠CBC′，则可根据”AAS”判断△OBD≌△HC′B，则BH=OD=
，C′H=OB=1，
OH=OB+BH=1+，然后写出C′点的坐标．
解：作C′H⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,3√)， ∴OB=1,OD=
，
∵矩形绕点B旋转到如图A′B′C′D′位置， ∴∠A′BC′=∠OBC=90°,OD=A′D′=BC′， ∠OBD=∠BC′H=∠CBC′， 在△OBD和△HC′B中，
，
∴△OBD≌△HC′B(AAS)， ∴BH=OD=
,C′H=OB=1，
，
,1).
∴OH=OB+BH=1+
∴C′点的坐标为(1+故答案为(1+
,1).
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的变换的知识点.
16．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点 F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.
【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质
【分析】设CD=3x，则CE=4x，BE=12﹣4x，依据∠EBF=∠EFB，可得EF=BE=12﹣4x，由旋转
可得DF=CD=3x，再根据Rt△DCE中，CD+CE=DE，即可得到（3x）+（4x）=（3x+12﹣4x）
2
22222
，进而得出CD=6．
解：如图所示，设CD=3x，则CE=4x，BE=12﹣4x． ∵
=，∠DCE=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△DCE，∴∠DEC=∠ABC， ∴AB∥DE， ∴∠ABF=∠BFE． 又∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠EBF=∠EFB，
∴EF=BE=12﹣4x，由旋转可得DF=CD=3x． 在Rt△DCE中，∵CD+CE=DE， ∴（3x）+（4x）=（3x+12﹣4x）， 解得x1=2，x2=﹣3（舍去），∴CD=2×3=6． 故答案为：6．
2
2
2
2
2
2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
三、解答题（本大题共8小题，共66分） 17．（本题8分）解方程组和分式方程： （1）解方程组
（2）解分式方程．
【考点】解二元一次方程组，解分式方程 【分析】（1）利用代入消元法解方程组。
（2）最简公分母为2（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验。 （1）解：
由①得x=﹣2y ③
把③代入②，得3×（﹣2y）+4y=6，解得y=﹣3。 把y=﹣3代入③，得x=6。 ∴原方程组的解为
。 ，
（2）解：去分母，得14=5（x﹣2）， 解得x=4.8，
检验：当x=4.8时，2（x﹣2）≠0， ∴原方程的解为x=4.8。
【点睛】解二元一次方程组。解分式方程 18．（本题8分）平面上有3个点的坐标：
，
，
上又在抛物线上
在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线
上的概率是多少？
从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线【考点】概率公式，一次函数、二次函数图象上的点点坐标 【分析】(1)把
,
,
三点分别代入直线
上的概率．
和抛物线上
,求出既满足在直线上又满足抛物线上的点的个数,然后根据概率公式计
算,
(2)树状图第一层先从三个点中任取一个点共有3种情况,第二层从剩下两个点中任取一个点,组合共有6种情况,然后再代入抛物线解析式求出满足两点同时在抛物线上的情况,然后根据概率公式计算. 解：
当
时,
,
,则A点在直线和抛物线上,
当当
时,时,
,,
，,则B点在直线和抛物线上, ,则C点在直线上,不在抛物线上,
上又在抛物线上
所以在A,B，,C三个点中任取一个点,这个点既在直线
上的概率,
画树状图为:
共有6种等可能的结果数,其中两点都落在抛物线上的结果数为2,
所以两点都落在抛物线上的概率.
【点睛】本题主要考查概率公式,随机事件A的概率等于事件A可能出现的结果除以所有可能出现的结果,解决本题的关键是要熟练掌握概率计算公式.
19．（本题10分）某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？ 【考点】一元一次不等式、一次函数及二元一次方程组的应用
【分析】（1）可设甲客车租金每辆x元，乙客车租金每辆y元，根据等量关系：①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；
（2）设甲客车租了x辆，则乙客车租了（8-x）辆，设租车费用为W元，根据W=甲客车租金+乙客车租金，甲客车载客量+乙客车载客量≥330列不等式，进而求解即可． 解：(1) 设甲客车租金每辆x元，乙客车租金每辆y元，根据题意得：
，
解得：．
答：甲客车租金每辆400元，乙客车租金每辆280元．
（2）设甲客车租了x辆，则乙客车租了（8-x）辆，设租车费用为W元．根据题意得： W=400x+280(8-x)=2240+120x 45x+30(8-x)≥330，
解得：x≥6，W随x的增大而增大，∴x=6时W最小，400×6+2×280=2960． 答：最节省的租车费用是2960元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式、一次函数及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
20．（本题8分）周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处点A与大树及其影子在同一平面内，此时太阳光与地面夹角为在A处测得树顶D的仰角为
如图所示，已知背水坡AB的坡度
米，参考数据：
，
：3，AB的长为10米，
，
请你帮助小亮算一算这颗大树的高度结果精确到注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比
【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】过点A作解：如图，过点A作
于G，于G，
于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
于H，
在中， ：3， ：
：3， ，
，由勾股定理得： ，
设
解得：
，
，
，
，
四边形AGEH是矩形，
，
在设则在
中，
，，
，
，
中，，
，
，
，
即：，
解得：，
米，
所以这棵树约为米高．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
21．（本题10分）据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．
(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1 000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
【考点】一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设年平均增长率是x，根据某小区2011年底拥有私家车125辆，2014年底私家车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2014年底私家车将达到多少辆． （2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况．
解：(1)设私家车拥有量的年平均增长率为x， 则125(1＋x)2＝180，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 故180(1＋20%)＝216(辆)．
答：该小区到2014年底私家车将达到216辆． (2)设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，
1000a200b=30000，①则{
2ab2.5a，②由①得b＝150－5a，
代入②得20≤a≤150， 7因为a是正整数，所以a＝20或21. 当a＝20时，b＝50；当a＝21时，b＝45. 所以方案一：建室内车位20个，露天车位50个； 方案二：建室内车位21个，露天车位45个．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，再求出2014年的私家车量，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解．
22．（本题10分）已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M． （1）求点A、B、C的坐标． （2）求直线BM的函数解析式． （3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．
（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据题意可以直接可求点A、B、C的坐标； （2）用待定系数法可求解析式；
（3）根据两点距离公式可求BM，BC，CM的长度，根据勾股定理的逆定理可得∠BCM=90°，即可证：∠CBM+∠CMB=90°；
（4）根据题意可求线段BM中点坐标，即可求直线CP解析式，且点P在抛物线上，可列方程，即可求点P坐标．
解：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，∴0=x2﹣2x﹣3，∴x1=3，x2=﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0）．
∵抛物线y=x﹣2x﹣3与y轴交于点C，∴当x=0时，y=﹣3，∴点C坐标为（0，﹣3）； （2）∵抛物线y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4，∴点M（1，﹣4）． 设直线BM的解析式：y=kx+b过点B（3，0），M（1，﹣4），∴解得：k=2，b=﹣6．
∴直线BM的解析式：y=2x﹣6．
2
2
2
（3）∵点M（1，﹣4），点B（3，0），点C（0，﹣3），∴BC==3
BM==2
CM=
2
2
2
2
=
2
2
∵BC+CM=20，BM=20，∴BC+CM=BM，∴∠BCM=90°，∴∠CBM+∠CMB=90°． （4）如图：设直线CP与BM的交点为F．
∵直线CP把△BCM分成面积相等的两部分，∴S△CMF=S△BCF．
∵△CMF和△BCF是等高的两个三角形，∴FM=BF，即点F是BM的中点． ∵点B（3，0），点M（1，﹣4），∴点F坐标为（2，﹣2）． 设直线CP的解析式为y=mx+n，∴
解得：m=，n=﹣3
∴直线CP解析式y=x﹣3．
∵点P是直线CP与抛物线y=x﹣2x﹣3的交点，∴x﹣3=x﹣2x﹣3
22
解得：x1=0（不合题意舍去），x2=．
当x=时，y=﹣2×=﹣，∴点P坐标为（，﹣）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，图象上的点的坐标特征，勾股定理逆定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（本题12分）如图1，正方形ABCD中，F为AB中点，连接DF，CE⊥DF于E，连接BE． （1）作出△ADF关于F成中心对称的图形，并探究BE和BC数量关系；
（2）如图2，BM平分∠ABE交CE延长线于M，连接MD，试探究DM、CM、BM线段关系并给出证明；
（3）若点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，写出BE长度的取值范围．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）结论：BE=BC．取CD的中点H，连接BH交EC于点G．想办法证明BH垂直平分线段EC即可； （2）结论：DM+BM=
CM．过点C作CH⊥CM，交MB的延长线于点H．只要证明△MCH为等腰
直角三角形，△CDM≌△CBH（SAS）即可解决问题；
（3）当点F与B重合时，BE的值最小，此时点E是DF的中点，BE=DF=BD=2
，当点F
与A重合时，BE的值最大，此时点E与D重合，BE=4解：
，由此即可解决问题；
（1）结论：BE＝BC．
理由：取CD的中点H，连接BH交EC于点G．
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AF＝FB，DH＝CH， ∴BF∥DH，BF＝DH，
∴四边形DFBH是平行四边形， ∴DF∥BH， ∵CE⊥DF于E， ∴BH⊥CE， ∵HG∥DE，DH＝HC， ∴EG＝GC， ∴BE＝BC． （2）结论：DM+BM＝
CM．
理由：过点C作CH⊥CM，交MB的延长线于点H．
∵BM平分∠ABE，
∴可以假设∠ABM＝∠EBM＝x， 又∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝45°+x＝∠EBM+∠BME＝x+∠BME， ∴∠BME＝45°，
∴△MCH为等腰直角三角形， ∴CM＝CH，
∵∠MCH＝∠BCD＝90°， ∴∠HCB＝∠MCD， ∵CB＝CD，CH＝CM， ∴△CDM≌△CBH（SAS）， ∴DM＝BH， ∴DM+BM＝MH＝
CM．
（3）当点F与B重合时，BE的值最小，此时点E是DF的中点，BE＝DF＝BD＝2，
当点F与A重合时，BE的值最大，此时点E与D重合，BE＝4∴2
＜BE＜4v．
，
【点睛】四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
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