电路原理(邱关源)习题答案相量法

第八章 相量法

求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。

所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。

8－1 将下列复数化为极坐标形式：

F4j3F20j40 （1）F15j5；（2）2；（3）3； （4）F4j10；（5）F53；（6）F62.78j9.20。 解：（1）F15j5a

22a(5)(5)52

arctan51355(因F1在第三象限)

故F1的极坐标形式为F152135

22F4j3(4)3arctan(34)5143.132 （2）（F2在第二象

限）

22F20j402040arctan(4020)44.7263.433 （3） F10j10904 （4） F331805 （5）

22 （6）F62.78j9.202.789.20arctan(9.202.78)9.6173.19

注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即

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Fa1ja2aaej,它们相互转换的关系为：

2aa12a2

arctana2a1

和 a1acos a2asin

需要指出的，在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限，它关系到的取值及实部a1和虚部a2的正负。

8－2 将下列复数化为代数形式：

F1.2152F1073F15112.6312 （1）；（2）；（3）；

F1090F5180F10135411 （4）；（5）；（6）。 F107310cos(73)j10sin(73)2.92j9.56 1 解：（1）F15112.615cos112.615sin112.65.76j13.85 2 （2）

F1.21521.2cos1521.2sin1521.06j0.56 3 （3）

F1090j10 4 （4）

F51805 1 （5）

F1013510cos(135)10sin(135)7.07j7.07 1（6）

1000A60175。求A和。 8－3 若

100Acos60jasin60175cosj175sin根据复数相等的定 解：原式=

义，应有实部和实部相等，即

Acos60100175cos

虚部和虚部相等 Asin60175sin

把以上两式相加，得等式

A2100A206250

1001002420625102.07A2202.069解得

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所以

sinAsin60175102.07175320.505

30.34

8－4 求8－1题中的F2•F6和F2F6。

FF6(4j3)(2.78j9.20)5143.139.6173.192 解：

48.05216.3248.05143.68

4j35143.13F2F60.5269.942.78j9.209.6173.19

8－5 求8－2题中的F1F5和F1F5。

FF107351805 解：1  10cos(73)j10sin(73)5 2.08j9.569.78102.27

1073F1F527318021075180

i5cos(314t60)A,i10sin(314t60)A, 128－6若已知。

i4cos(314t60)A 3

（1） 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图； （2） i1与i2和i1与i3的相位差； （3） 绘出i1的波形图；

（4） 若将i1表达式中的负号去掉将意味着什么？ （5） 求i1的周期T和频率f。

解：（1）i15cos(314t60)5cos(314t60180)5cos(314t120)  i210sin(314t60)10cos(314t30)精选doc

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故i1，i2和i3的相量表达式为

5120A,I1030A,I460AI123222

其相量图如题解图（a）所示。

题解8－6图

120(30)901212 （2） 120601801313

（3）i1（t）的波形图见题解图（b）所示。

（4）若将i1（t）中的负号去掉，意味着i1的初相位超前了180。即i1的

参考方向反向。

（5）i1（t）的周期和频率分别为

T220.02s20ms314

f1150HzT20.02

注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在比较相位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率；（2）同函数，即都是正弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。

8－7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为

5030V,U100150VU12，其频率f100Hz。求：

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（1）写出u1， u2的时域形式；（2）u1与u2的相位差。

 （1）u1(t)502cos(2ft30)502cos(628t30)V

u(t)1002cos(2ft150)1002cos(628t150180)V 2

 1002cos(628t30)V

 （2）因为U15030V,U2100150V10030V

故相位差为30300，即u1与u2同相位。

8－8 已知：u1(t)2202cos(314t120)V

u(t)2202cos(314t30)V 2

（1） 画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率f和周期T； （2） 写出它们的相量和画出其相量图，求出它们的相位差； （3） 如果把电压u2的参考方向反向，重新回答（1），（2）。

解：（1）波形如题解8－8图（a）所示。

题解8－8图

有效值为 u1u2220Vu2

f1f2频率

31450Hz22

110.02sf50

周期

T1T2（2）u1和u2的相量形式为

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220120VU1 U222030V

1203015012故相位差为

相量图见题解图（b）所示。

（3）u2的参考方向反向，u2（t）变为－u2（t），有效值、频率和周期均

22030180200150VUu不变，－2（t）的相量为2

120(150)30uu12故 1 和 2 的相位差为

波形图和向量图见题解图（a）和（b）。

8－9 已知一段电路的电压、电流为：

u10sin(103t20)V i2cos(103t50)A

（1） 画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差。

33解：（1）u10sin(10t20)10cos(10t110)V，故u和i的相量分别为

10110V250AUI22

其波形和相量图见题解图(a)和图（b）所示。

题解8－9图

110(50)60ui（2）相位差 ，说明电压落后于电流60。

8－10 已知图示三个电压源的电压分别为：

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ua2202cos(t10)V，ub2202cos(t110)V， uc2202cos(t130)V，

求：（1）3个电压的和；（2）uab,ubc；（3）画出它们的相量图。

题解8－10图

解：ua，ub，uc的相量为

22010VUa

220110VUb 220130VUc

（1）应用相量法有

UU22010220110220130Uabc

0

即三个电压的和 ua(t)ub(t)uc(t)0

UU22010220110Uabab（2）

 220340V

UU220110220130Ubcbc  220380V

（3）相量图如题解8－10图所示。

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题解8－10图

8－11 已知图（a）中电压表读数为V1:30V； V2:60V；图（b）中的V1:15V；

V2:80V； V3:100V。（电压表的读数为正弦电压的有效值。）求图中电压Us。

题8－11图

解法一：

I0，根据元件的电压、电流相量关系，可得 （a） 图：设回路中电流I

题8－11图

RIRI0300VUR

jXIULLXLI906090V

则总电压 USURUL30j60V

22uU306067.08V sS所以的有效值为

I0A，因为 （b） 图：设回路中电流相量IRIRI0150VUR

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元件 电阻R 相量关系 RIURR 有效值关系 相位关系 相量图 URRIR 可编辑修改 ui  ULjXLIXLI908090V

jXIXI9010090VUCCC 所以总电压 USURULUC15j80100j15j20V

22uU132025V sS故的有效值为

I0为参考相量， 解法二： 利用相量图求解。设电流I电阻电压UR与I90，电容电压U90，总电压Uc要滞后Is与各元件同相位，电感电压UL超前I电压向量构成一直角三角形。题解8-11图（a）和（b）为对应原图（a）和（b）的相量图。由题解图（a）可得

由题解图（b）可得

2USUR(UCUL)2152(10080)2258V22USURUL30260267.08V

题解8－11图

注：这一题的求解说明，R，L，C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系（如下表所示）是我

们分析正弦稳态电路的基础，必须很好地理解和掌握。

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电感L jXIULLL ULjXLI ui90 可编辑修改 电容C jXIUCCC UCXCIC ui90 8－12 已知图示正弦电流电路中，电流表的读数分别为A1:5A；A2:20A；

A3:25A。求：（1）图中电流表A的读数；（2）如果维持A1的读数不变，而把电

源的频率提高一倍，再求电流表A的读数。

题8－12图

解法一：

（1）R，L，C并联，设元件的电压为

UUUU0URLC

根据元件电压、电流的相量关系，可得

UUIR50ARR

UUIL90Aj20AjXLXL ICUU902590j25AjXCXC

应用KLC的相量形式，总电流相量为

III5j20j255j55245AIRLC

故总电流表的读数

I527.07A

UUUU0URLC（2）设

UUIR50ARR当电流的频率提高一倍后，由于不变，所以URU精选doc

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不变，而XL2L增大一倍，

XC12C减小一倍，因此，有

UU1IL20jXLj2L2

ICUjXCUj12c225905090A

所以 IIRILIC5j10j505j40

22即，电流表的读数 A54040.31A

题解8－12图

U0UUUUC为参考向量，根据RL 解法二： 利用相量图求解。设

同相位，I90，C超前90，IL滞后U元件电压、电流的相位关系知， IR和U与IR，IC和IL组成一个直角三角形。故相量图如题解8－12图所示，总电流I电流表的读数为

2IR(ICIL)2A

即 （1） （2）

52(2520)27.07A 52(2510)240.31A

注：从8－11题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是首先要选好一个参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地将电路中其它电

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压、电流相量，根据电路的具体结构及参数特点逐一画出，把所给的条件转化成相量图中的几何关系。最后根据相量图中的相量关系，使问题得到解决。一般对串联电路，选电流作参考方向较方便，如8－11题。对并联电路，则选电压作参考相量较方便，如8－12题。有些问题通过相量图分析将很直观和简便。

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8－13 对RL串联电路作如下两次测量：（1）端口加90V直流电压（0）时，输入电流为3A；（2）端口加f50Hz的正弦电压90V时，输入电流为1.8A。

求R和L的值。

题解8－13图

解：由题意画电路如题解8－13图所示。

（1）当us为90V直流电压时，电感L看作短路，则电阻

Rus9030i3

I01.80A，根据相量法， （2）当us为90V交流电压时，设电流I有

 USRIjXLI301.8jXL1.8

22故 US901.830XL

90XL()2302401.8

根据XLL，解得

LXLXL400.127H2f100

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8－14 某一元件的电压、电流（关联方向）分别为下述4种情况时，它可能是什么元件？

u10cos(10t45)Vu10sin(100t)Vi2sin(10t135)A100t)A （1） （2）i2cos(u10cos(314t45)Vu10costVisintA （3） （4）i2cos(314t)A

i2cos(10t13590)2cos(10t45)A， 解：（1）把电流变为余弦形式有

u和i的相量为

1045V245AUI22 ， U50则 I

即电压、电流同相位，根据元件电压、电流相位关系可知这是一个5的电阻元件。

（1） 把电压变为余弦形式有 ucos(100tj90)V

104520AUI22（2） u和i的相量为

U5545(1j)RjXL2则 I

R52即这是一个

的电阻和

XL52的电感的串联组合。

3u100cos(10t)V及R和L＝0.025H串联组成。电感端电s8－15 电路由电压源

压的有效值为25V。求R值和电流的表达式。

解：由题意画电路的相量模型如题解8－15图（a）所示，相量图如题解图（b）所示。由于

1000Us2

XLL1030.02525精选doc

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I故电流的有效值为

UL251AXL25

题解8－15图

由图（b）知电阻电压的有效值为

100222URUSUL()25266.144V2

所以电阻为

RUR66.14466.144I1

滞后US的角度（因为是感性电路）为 I

ZarcsinUL25arcsin20.70US1002

因此电流的瞬时表达式为

3i(t)2cos(10t20.70)A

I也可根据

U2S120.70ARjXL66.144j25

1003i(t)2cos(10t20.70)A 得

和US。 8－16 已知图示电路I1I210A。求I解：设US为参考相量。I1与US同相位，I2超前US90，相量图如题解8－

16图所示。由图可知

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题解8－16图 题解8－16图

II221I2102102102A

I2ZarctanIarctan1451

由电路图知

USRI11010100V 故US和I分别为 US1000V

IIZ10245A

8－17 图示电路中I20SA。求电压U。 I 解：

SIRIUULRjXL UIS2011245245V即

j

题8－17图

.

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