𝑥→0
3
13𝑥A. 𝑒2 B. 𝑒 C. 𝑒6 D. 2. A. B. C. D.
𝑒6
设函数y=x+2sinx，则dy= (1-2cosx)dx (1+2cosx)dx (1-cosx)dx (1+cosx)dx
𝑥2+𝑥+1𝑥→132
1233. lim𝑥2−𝑥+2 = A. B. 1 C. 2 D. 2 4. 设函数f(x)=3+x5，则f’(x)= A. x4 B. 1+x4 C. 𝑥4
511
D. 5x4
5. 设函数f(x)=2lnx，则f’’(x)= A.
2𝑥2
2
B. −2 𝑥
C.
1𝑥2
1
D. −𝑥2 6. ∫−2(1+𝑥)𝑑𝑥= A.4 B.0 C.2
2
E. - 4 7. ∫5𝑑𝑥=
𝑥A. B.
34𝑥435𝑥43
+𝐶 +𝐶
3
C. −4𝑥4+𝐶 D. −5𝑥4+𝐶
8. 把3本不同的语文书和2本不同的英语书排成一排，则2本英语书卡好相邻的概率为 A. 5 B. 5351242
3
C. D. 9. A. B. C. D.
设函数z=x2-4y2，则dz= xdx-4ydy xdx-ydy 2xdx-4ydy 2xdx-8ydy
𝜕𝑧𝜕𝑦
10. 设函数z=x3+xy2+3，则=
A.3x2+2xy B.3x2+y2 C.2xy D.2y
二、填空题（11~20小题，每小题4分，共40分） 11. 设函数y=e2x，则dy=_________.
12. 函数f(x)=x3-6x的单调递减区间为___________.
13. 若函数f(x)={在x=0处连续，则a=__________.
𝑎+𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥>0，14. lim
𝑠𝑖𝑛𝑥2𝑥→0𝑥2
𝑥2−2，𝑥≤0，=______________.
15. ∫(3𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥=____________.
16. 曲线y=arctan(3x+1)在点(0,4)处切线的斜率为__________. 17. (∫0sint2dt)′=_____________.
2x
π
18. ∫−∞𝑒𝑥𝑑𝑥=_____________.
19. 区域D={(x,y)|1≤x≤2 ,1≤y≤x2}的面积为__________. 20. 方程𝑦3+𝑙𝑛𝑦−𝑥2=0在点（1，1）的某领域确定隐函数y=y(x)，则三、解答题（21~28题，共70分。解答应写出推理、演算步骤） 21、（本题满分8分） 计算∫𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥.
22、（本题满分8分） 计算lim
1−𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥22𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑥→0
𝑑𝑦
1
|𝑑𝑥𝑥=1
=________.
.
23、（本题满分8分）
已知函数f(x)=excosx，求f′′(2). 24、（本题满分8分） 计算∫0√1+𝑥𝑑𝑥.
25、（本题满分8分） 设D为曲线y=√𝑥，直线x=4，x轴围成的有界区域，求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。 26、（本题满分10分）
求函数z=𝑥2+2𝑦4+4𝑥𝑦2−2𝑥的极值。 27、（本题满分10分）
求曲线y=𝑥3−3𝑥2+2𝑥+1的凹凸区间与拐点。 28、（本题满分10分）
已知离散型随机变量X的概率分布为
X -1 0 2 P 且E（X）=0. (1) 求a,b; (2) 求E[X(X+1)]
a 0.5 b 1
3
π
参考答案及解析
一、选择题 1. 【答案】B
【考情点拨】本题考查了函数极限的知识点。
【应试指导】lim(1+2𝑥)3𝑥=lim(1+2𝑥)2𝑥 ·3=[lim(1+2𝑥)2𝑥 ]3=𝑒3.
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
1
12
1
2
2
2. 【答案】B
【考情点拨】本题考查了函数微分的知识点。
【应试指导】y’=(x+2sinx)’=1+2cosx，故dy=y’dx=(1+2cosx)dx. 3. 【答案】A
【考情点拨】本题考查了分式函数的极限的知识点. 【应试指导】lim
𝑥2+𝑥+1𝑥2−𝑥+2𝑥→1
=
12+1+112−1+2
=
2
3
4. 【答案】D
【考情点拨】本题考查了一阶导数的知识点。 【应试指导】f’(x)=(3+𝑥5)’=5𝑥4 5. 【答案】B
【考情点拨】本题考查了二阶导函数的知识点。 【应试指导】f’（x）=(2lnx)’=，f’’(x)=()′=−2 𝑥
x
x
2
2
2
6. 【答案】A
【考情点拨】本题考查了牛顿--莱布尼兹公式的知识点。 【应试指导】∫−2(1+𝑥)𝑑𝑥=(𝑥+2𝑥2)|2−2=4 7. 【答案】C
【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点
【应试指导】∫𝑥5𝑑𝑥=3×−5+1𝑥−5+1+𝐶=−4𝑥4+𝐶 8. 【答案】A
【考情点拨】本题考查了随机事件的概率的知识点 【应试指导】2本英语书恰好相邻的概率为9. 【答案】D
【考情点拨】本题考查了全微分的知识点 【应试指导】易知
𝜕𝑧𝜕𝑥
2𝐴44·𝐴2
21
313
𝐴55
=5
2
=2𝑥，𝜕𝑧𝜕𝑦
=−8𝑦，故dz=
𝜕𝑧𝜕𝑥
𝑑𝑥+
𝜕𝑧𝜕𝑦
𝑑𝑦=2𝑥𝑑𝑥−8𝑦𝑑𝑦
10. 【答案】C
【考情点拨】本题考查了函数的偏导数的知识点 【应试指导】𝜕𝑦=𝑥·(𝑦2)′=2𝑥𝑦
二、填空题
11. 【答案】2𝑒2𝑥𝑑𝑥
【考情点拨】本题考查了函数微分的知识点
𝜕𝑧
【应试指导】y′=(e2x)′=2e2x，故dy=y′dx=2e2xdx 12. 【答案】(−√2,√2)
【考情点拨】本题考查了函数的单调性知识点
【应试指导】易知f’(x)=3x2-6，令f’(x)<0，则有−√2 【应试指导】由于f(x)在x=0处连续，故有lim−𝑓(𝑥)=lim+𝑓(𝑥)=𝑓(0)，而𝑓(0)=−2，𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0− lim𝑓(𝑥)=lim−(𝑥2−2)=−2，lim+𝑓(𝑥)=lim+(𝑎+𝑠𝑖𝑛𝑥)=𝑎，因此𝑎=−2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 14. 【答案】1 【考情点拨】本题考查了函数极限的知识点 【应试指导】x→0时，𝑥→0，故有lim15. 【答案】𝑥2−2cosx+C 23 2 𝑠𝑖𝑛𝑥2x→0𝑥2 =1 【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点 【应试指导】∫(3𝑥+2𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑑𝑥=𝑥2−2cosx+C 216. 【答案】2 【考情点拨】本题考查了函数切线的知识点 【应试指导】y′=[arctan(3x+1)]′=1+(3x+1)2，故曲线在点（0，4）处的切线斜率为y′|x=0=1+(3x+1)2|x=0=2 17. 【答案】2sin(4x2) 【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点 【应试指导】（∫0sint2dt)'=sin(2x)2·(2x)′=2sin(4x)2 18. 【答案】e 【考情点拨】本题考查了反常积分的知识点 【应试指导】∫−∞𝑒𝑥𝑑𝑥=𝑒𝑥|1−∞=𝑒−1=𝑒 19. 【答案】3 【考情点拨】本题考查了定积分的应用的知识点 2【应试指导】区域D的面积为∫1(𝑥2−1)𝑑𝑥=(3(𝑥3−𝑥)|1=3 2 1 4 4 1 2x 3 3 3 π 3 3 20. 【答案】2 【考情点拨】本题考查了隐函数求导的知识点 【应试指导】方程两边对x求导，得3y2·𝑑𝑥+𝑦·𝑑𝑥−2𝑥=0，即𝑑𝑥=3𝑦3+1，故有𝑑𝑥|𝑥=1= 𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑥𝑦 𝑑𝑦 1 |=3×13+1=2 3𝑦3+1𝑥=1 三、解答题 21. ∫𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥=−∫𝑥𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑥)=−(𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥)=−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=−𝑥𝑐𝑜𝑠+𝑠𝑖𝑛𝑥+𝐶 22. lim 1−𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥22𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑥→0 𝑥𝑦2×1×11 =lim2𝑠𝑖𝑛2𝑥−lim2𝑠𝑖𝑛2𝑥=lim 𝑥→0 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥2 𝑥→0 12𝑥22𝑥2−lim2𝑥2=4−2=−4 𝑥→0 𝑥2 111 23. f′(x)=excosx+ex·（cosx）’=excosx+exsinx=ex(cosx−sinx), f′′(x)=ex(cosx−sinx)+ex（cosx−sinx）’=ex(cosx−sinx)+ex（−sinx−cosx）=−2exsinx 故有f′′(2)=−2e2sin2=−2e2 24. ∫0√1+𝑥𝑑𝑥=∫0(1+𝑥)3𝑑(𝑥+1)=25. 区域D：0≤y≤2，y2≤x≤4, 故所求旋转体的体积=π·42·2−∫0πx2dy=32π−∫0πy4dy=32π−y5|20= 5 2 2 π 1285 1 3 π π π π 1 1 11+ +11 |0=(1+𝑥)3|21(1+𝑥)30=(23−1) 3 1 34 4 34 4 π 26. 𝜕𝑥=2𝑥+4𝑦2−2，.𝜕𝑦=8𝑦3+8𝑥𝑦, 令𝜕𝑥=0，𝜕𝑦=0, 得驻点为（1，0），（1，1），（-1，-1） 而 𝜕2𝑧𝜕𝑥 2=2, 𝜕𝑧𝜕𝑧 𝜕𝑧𝜕𝑧 𝜕2𝑧𝜕𝑥𝜕𝑦 =8𝑦, 𝜕2𝑧𝜕𝑦2=24𝑦2+8𝑥, 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 在（1，0）点，A=𝜕𝑥2|(1,0)=2,𝐵=𝜕𝑥𝜕𝑦|(1,0)=0,𝐶=𝜕𝑦2|(1,0)=8 B2-AC= - 16<0,且A>0, 故函数在（1，0）点有极小值，z极小值= - 1; 在（1，0）点，A=𝜕𝑥2|(1，−1)=2，𝐵=𝜕𝑥𝜕𝑦|(−1，1)=8，𝐶=𝜕𝑦2|(−1，1)=16， B2-AC=32>0,故点（-1，1）不是极值点; 在（-1，-1）点，A=𝜕𝑥2|(−1.−1)=2,𝐵=𝜕𝑥𝜕𝑦|(−1,−1)=−8,𝐶=𝜕𝑦2|(−1,−1)=16 B2-AC=32>0,故点（-1，-1）不是极值点. 因此函数在（1，0）点有极小值，z极小值= - 1 27. y′=3x2−6x+2,y′′=6x−6, 令y’’=0,得x=1. 当x>1时，y’’>0,故（1，+∞）为曲线的凹区间； 当x<1时，y’’<0,故（-∞，1）为曲线的凸区间， 函数的拐点为（1，1）. 28. （1）由概率的性质可知a+0.5+b=1, 又E（X）=0，得−1×a+0×0.5+2×b=0, 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 故有a=，b= 3 6 11 （2）E[X(X+1)]=E(X2+X)=E(X2)+E(x), 而E（X2）=D(X)+[E(X)]2=3·(−1−0)2+2·(0−0)2+6·(2−0)2 因此E[X(X+1)]=1+0=1 1 1 1 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容