高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

〖2.1〗指数函数

2.1.1指数与指数幂的运算

（1）根式的概念 ①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号nan表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数

a没有n次方根．

②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．

n③根式的性质：(a (a0)a)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时， nan|a|．

a (a0) mn（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：a mnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数

指数幂的意义是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底

aa数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质

①arasars(a0,r,sR) ②(ar)sars(a0,r,sR) ③(ab)rarbr(a0,b0,rR)

2.1.2指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称 定义 函数指数函数 yax(a0且a1)叫做指数函数 a1 0a1 xy图象 ya (0,1)yaxyy1 y1 (0,1) O 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 xR （0,+∞） Ox图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1． 非奇非偶 在R上是增函数 在R上是减函数

函数值的 变化情况 y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0) y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0) a变化对 图象的影 响

在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴； 在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴； 在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴． 在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴． 〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：x（2）几个重要的对数恒等式: loga10，logalogaNaxN(a0,a1,N0)．

a1，logaabb．

N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．

（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN) ②减法：logaMlogaNlogaMN

③数乘：nloganMlogaM(nR) ④anlogaNN

logbNn(b0,且b1) ⑤logabMlogaM(b0,nR) ⑥换底公式：logaNlogbab

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数名称 定义 函数对数函数 ylogax(a0且a1)叫做对数函数 a1 yx1 ylogax0a1 yx1 y logax 图象 (1,0) O(1,0)xO x定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,)上是增函数 (0,) R 图象过定点(1,0)，即当x1时，非奇非偶 在(0,)上是减函数 y0． logax0(x1)函数值的 变化情况 logax0(x1) logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1) a变化对 图象的影响 (6)反函数的概念

设函数

在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴 在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴 在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴 在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴 yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中

(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函

的任何一个值，通过式子x数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数

yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

②函数

yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

yf(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．

③若P(a,b)在原函数④一般地，函数

yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义 一般地，函数

yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于

y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)y轴．

qp上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpq（其中p,q互质，p和qZ），p是偶函数，若

若则

p为奇数q为奇数时，则yx是奇函数，若

p为奇数q为偶数时，则yxp为偶数q为奇数时，

yxqp是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数

yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象

在直线

yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：③两根式：

f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0) f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（3）二次函数图象的性质

f(x)更方便．

①二次函数

b4acb2bf(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x,顶点坐标是(,)

2a4a2a2②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,4acb2fmin(x)4abbb时，]上递减，在[,)上递增，当x2a2a2abb]上递增，在[,)上递减，当2a2a；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,4acb2b时，fmax(x)x4a2a③二次函数

．

f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|（4）一元二次方程ax2． |a|bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，从以下四个方

面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x（5）二次函数 设

b ③判别式： ④端点函数值符号． 2af(x)ax2bxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值

f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x01(pq)． 2（Ⅰ）当a0时（开口向上）

①若

bbbbq，则mf(q) p，则mf(p) ②若pq，则mf() ③若2a2a2a2af(q) Of(p) x

Of(b)2af(q) x

f(p) Ofbf((p) )2ax

b)2aff((q) bb①若x0，则Mf(q) ②x0，则Mf(p)

2a2a

fx(q)0 Of(p) x0x

Ox

b)2afbf((p) )2aff((q) (Ⅱ)当a0时(开口向下) ①若

①若 bbbbq，则Mf(q) p，则Mf(p) ②若pq，则Mf() ③若2a2a2a2abf()2af(p) Of(p) x

Obf()2aff((q) x

Ob)2ax

f

(q)

(q)

f

(p) fbbx0，则mf(q) ②x0，则mf(p)． 2a2af(b)2a f(p) Off((q) x0xb)2ax0O f(q) xf(p)