寿县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，公比q=2，Sk+2﹣Sk=48，则k等于（ ） A．7

B．6

C．5

D．4

2． 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足 A．（0，1）

B．（0，]

=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

C．（0，

）

D．[

，1）

3． 设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）

A1

B﹣1 Ci D﹣i

4． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5． 已知a为常数，则使得A．a＞0

B．a＜0

成立的一个充分而不必要条件是（ ）

C．a＞e

D．a＜e

6． （m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C． 7． 已知A．0

B．2

C．4

D．

，则f{f[f（﹣2）]}的值为（ ） D．8

x2y28． 已知点P是双曲线C：221(a0,b0)左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且

abPF1PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率

是（ ） A.5

B.2 C.3 D.2

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【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 9． 已知g(x)(ax取值范围是（ ）

A．(1,) B．(1,0) C. (2,) D．(2,0) 10．函数A．

B．

的定义域为（ ）

C．

bb2a)ex(a0)，若存在x0(1,)，使得g(x0)g'(x0)0，则的 xaD．（，1）

11．若直线L：(2m1)x(m1)y7m40圆C：(x1)2(y2)225交于A,B两点，则弦长|AB|的最小值为（ ）

A．85 B．45 C．25 D．5 12．函数

的定义域是（ ）

D．（2，+∞）

A．（﹣∞，2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2]

二、填空题

x2y213．已知抛物线C1：y4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|3，双曲线C2：221

ab（a0，b0）的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为 . 2【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.

14．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为 ．

15．对于函数yf(x),xR,,“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”

的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 16．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

17．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．

三、解答题

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18．已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

19．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

(不等式选做题)设

（几何证明选做题）如图，若

,则

，且

中，

，以

，则的最小值为

于点

，

为直径的半圆分别交

20．（本小题满分16分）

给出定义在0,上的两个函数f(x)x2alnx,g(x)xax. （1）若f(x)在x1处取最值．求的值；

（2）若函数h(x)f(x)g(x2)在区间0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数m(x)f(x)g(x)6的零点个数，并说明理由．

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21．已知函数f(x)(xk)ex（kR）． （1）求f(x)的单调区间和极值； （2）求f(x)在x1,2上的最小值．

（3）设g(x)f(x)f'(x)，若对k,及x0,1有g(x)恒成立，求实数的取值范围．

22

22．（本题满分13分）已知函数f(x)（1）当a0时，求f(x)的极值；

（2）若f(x)在区间[,2]上是增函数，求实数a的取值范围.

【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.

23．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨 迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；111]

（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点， 线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．

3512ax2xlnx. 213第 4 页，共 18 页

31x2y224．已知椭圆C：221（ab0），点(1,)在椭圆C上，且椭圆C的离心率为．

22ab（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C交于P，Q两点，A为椭圆C的右顶点，直线PA，QA分别

交直线：x4于M、N两点，求证：FMFN．

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寿县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

，

【解析】解：由题意，Sk+2﹣Sk=

kk

即3×2=48，2=16，

∴k=4． 故选：D．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题．

2． 【答案】C 【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c， ∵

=0，

∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆． 又M点总在椭圆内部，

2222

∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c＜b=a﹣c． 2∴e=

＜，∴0＜e＜

．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．

3． 【答案】B

【解析】解：由z（1+i）=2，得∴复数z的虚部是﹣1． 故选：B．

，

考查方向

本题考查复数代数形式的乘除运算.

解题思路

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

易错点

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把﹣i作为虚部. 4． 【答案】B 【解析】

考

点：空间直线与平面的位置关系．

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．

5． 【答案】C 【解析】解：由积分运算法则，得

=lnx

因此，不等式即

=lne﹣ln1=1

即a＞1，对应的集合是（1，+∞）

将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集 ∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e 故选：C

【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．

6． 【答案】C

2

【解析】解：不等式（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，

2

即（m+1）x﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立

若m+1=0，显然不成立 若m+1≠0，则 解得a故选C．

．

【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需

7． 【答案】C

．

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【解析】解：∵﹣2＜0 ∴f（﹣2）=0

∴f（f（﹣2））=f（0） ∵0=0

∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2 ∵2＞0

2

∴f（2）=2=4

即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4 故选C．

8． 【答案】A. 【

解

析

】

9． 【答案】A 【解析】

考

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点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.

【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数fx的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③令fx0，解不等式得的范围就是递增区间；令fx0，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数fx的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.

10．【答案】C 即4x﹣1＞1，得x∴函数故选：C．

．

【解析】解：要使原函数有意义，则log2（4x﹣1）＞0，

．

的定义域为

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．

11．【答案】B 【解析】

试题分析：直线L:m2xy7xy40，直线过定点是弦中点时，此时弦长AB最小，圆心与定点的距离d2xy70，解得定点3,1，当点（3,1）

xy405，弦长

132212AB225545,故选B.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.

【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是l2R2d2，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离. 1111]

12．【答案】D

【解析】解：根据函数有意义的条件可知∴x＞2 故选：D

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二、填空题

13．【答案】3

14．【答案】 ．

【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，

222222

∴由正弦定理得a=b+c﹣bc，即：b+c﹣a=bc， 222

∴由余弦定理可得b=a+c﹣2accosB，

∴cosA=∵bc=4， ∴S△ABC=bcsinA=故答案为：

==，A=60°．可得：sinA=，

=．

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．

15．【答案】必要而不充分 【解析】

试题分析：充分性不成立，如yx2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，yf(x)是奇函数，

|f(x)||f(x)||f(x)|，所以y|f(x)|的图象关于y轴对称.

考点：充要关系

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1.定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

2.等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3.集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

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16．【答案】 50π ．

【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，

所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：， 所以球的半径为：故答案为：50π．

；则这个球的表面积是：

=50π．

【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．

17．【答案】﹣2≤a≤2

2

【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a﹣4×2×9≤0，解得：﹣2

2

≤a≤2．

故答案为：﹣2≤a≤2

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．

三、解答题

18．【答案】

【解析】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．

2

∴1+d=q，2（1+2d）﹣q=1，解得

或

．

∴an=1，bn=1；

n﹣1

．

或an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3（II）当当

时，cn=anbn=1，Sn=n．

n1

时，cn=anbn=（2n﹣1）3﹣，

2n1

∴Sn=1+3×3+5×3+…+（2n﹣1）3﹣，

3Sn=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，

2n1n

∴﹣2Sn=1+2（3+3+…+3﹣）﹣（2n﹣1）3=n

∴Sn=（n﹣1）3+1．

nn

﹣1﹣（2n﹣1）3=（2﹣2n）3﹣2，

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【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．【答案】 【解析】A

B

20．【答案】（1） a2 （2） a≥2（3）两个零点． 【解析】

(1)0 ，解得a2 ，需试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此f(x)在x1处取极值，即f′(x)≤0在区间0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应验证（2） h(x)在区间0,1上单调递减，转化为h′4x24x2函数最值：a≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得Fx最大值2（3）先利用导数研究函数

x1x1mx单调性：当x0,1时，递减，当x1,时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：m10，

m（e4)0 ， m(e4)0，结合零点存在定理可得零点个数

a(1)0即: 2a0, 由已知，f′x解得：a2 经检验 a2 满足题意 (x)2x试题解析：（1） f′所以 a2 ………………………………………4分

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12112 因为x0,1，所以1,，所以xxxmin所以Fxmax2，所以a≥2 ……………………………………10分

（3）函数mxf(x)g(x)6有两个零点．因为mxx22lnxx2x6

2212x2xx所以m′x2x1xxxx12xx2xx2x ………12分

当x0,1时，mx0，当x1,时，mx0

所以mxminm140， ……………………………………14分 （1-e)(1+e+2e3)12e8e4(2e21)4m(e）=0 ，m（e)0

e4e84m(e4)e（e41)2(e27)0 故由零点存在定理可知：

2 函数mx在(e4,1) 存在一个零点，函数mx在(1,e4) 存在一个零点，

所以函数mxf(x)g(x)6有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

21．【答案】（1）f(x)的单调递增区间为(k1,)，单调递减区间为(,k1)，

f(x)极小值f(k1)ek1，无极大值；（2）k2时f(x)最小值f(1)(1k)e，2k3时

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f(x)最小值f(k1)ek1，k3时，f(x)最小值f(2)(2k)e2；（3）2e.

【解析】

（2）当k11，即k2时，f(x)在1,2上递增，∴f(x)最小值f(1)(1k)e； 当k12，即k3时，f(x)在1,2上递减，∴f(x)最小值f(2)(2k)e2； 当1k12，即2k3时，f(x)在1,k1上递减，在k1,2上递增， ∴f(x)最小值f(k1)ek1

．

x（3）g(x)(2x2k1)e，∴g'(x)(2x2k3)e，

x由g'(x)0，得xk当xk3， 23时，g'(x)0； 23当xk时，g'(x)0，

233∴g(x)在(,k)上递减，在(k,)递增，

223k32g(x)g(k)2e故， 最小值23k3335又∵k,，∴k0,1，∴当x0,1时，g(x)最小值g(k)2e2，

2222∴g(x)对x0,1恒成立等价于g(x)最小值2e又g(x)最小值2ek32k32；

35对k,恒成立．

22第 14 页，共 18 页

∴(2ek32)mink，故2e．1

考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的. 22．【答案】

【解析】（1）函数的定义域为(0,)，因为f(x)12ax2xlnx，当a0时，f(x)2xlnx，则2111.令f'(x)20，得x.…………2分 xx2所以x,f'(x),f(x)的变化情况如下表：

111(0,) (,) x 222f'(x) 0 － ＋ f'(x)2f(x) 所以当x↘ 极小值 ↗ 11时，f(x)的极小值为f()1ln2，函数无极大值.………………5分

22第 15 页，共 18 页

23．【答案】（１） y4x；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】

2

（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 则直线：yk(x1)，M(x1x2y1y2,)， 22y24x,2222由得kx(2k4)xk0， yk(x1),第 16 页，共 18 页

(2k24)24k416k2160，

考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．

【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当f(x)不含参数时，可通过解不等式f'(x)0(f'(x)0)直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件

f'(x)0(f'(x)0),x(a,b)恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意

'参数的取值是f(x)不恒等于的参数的范围．

x2y21；（２）证明见解析． 24．【答案】（１） 43【解析】

试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中a,b,c的等式关系可得a,b的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线PQ的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得y1y26m9yy，，得12223m43m4直线lPA，直线lQA，求得点 M、N坐标，利用FMFN0得FMFN．

91a24b21,c1a2,试题解析： （1）由题意得,解得

b3.a2a2b2c2,第 17 页，共 18 页

x2y21． ∴椭圆C的方程为43又x1my11，x2my21， ∴M(4,

2y12y22y12y2)，N(4,)，则FM(3,)，FN(3,)，

my11my21my11my21362y12y24y1y23m24FMFN999990 226m9my11my211m(y1y2)my1y212m23m43m24∴FMFN

考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件．

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