1. 已知
求A； 当 2. 设函数
求
的单调区间；
时，
；
．
时，求
面积的最大值．
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中
．
证明当
设
，证明当时，．
3. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，
M是AB的中点，N是CE的中点． 求证：求证：
； 平面ADE；
，，
求点A到平面BCE的距离．
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4. 如图，正三棱柱
Ⅰ求证：Ⅱ求二面角Ⅲ在线段
平面
的底面边长是2，侧棱长是； 的大小；
上是否存在一点E，使得平面
平面
，若存在，求出AE，D是AC的中点．
的长；若不存在，说明理由．
5. 已知等差数列
的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．
求数列
的通项公式；
令，求数列
的前n项和．
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矩形ABCD中，6. 如图1，
，将．
，
E，F分别为CD，AB边上的点，，且位置如图2所示，连接AP、PF，其中
，
沿BE折起至
求证：平面ABED；
求点A到平面PBE的距离．
7. 已知函数
．
Ⅰ求Ⅱ求
的最小正周期、零点； 在区间
上的最大值和最小值．
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8. 在直角坐标系xOy中，曲线：
为参数，，其中，
在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：
．
Ⅰ求与Ⅱ若与
交点的直角坐标； 相交于点A，与
相交于点B，求
的最大值．
，曲线：
9. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇
到红灯的概率分别为，，．
Ⅰ设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
Ⅱ若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
10. 等差数列
Ⅰ求Ⅱ设
，
中，的通项公式；
，求数列
的前10项和，其中
表示不超过x的最大整数，如
，
．
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1.答案：解：
由正弦定理可得：
，
， ，
，
又
， ，
， ．
，
，
又
，即：
，
，当且仅当
时取等号
可得面积的最大值为．
解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题． 由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得
，可求
，由范围
，可得A的值．
，结合
由余弦定理，基本不等式可求大值．
，进而利用三角形面积公式可求面积的最
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2.答案：解：
导函数为
函数
，
的定义域为，
由即有
，可得的单调增区间为
；由，可得． ；
．
；单调减区间为时，
，即为证
证明：要证当
由可得
时，
，
时，
在递减， ，即有
；
，
递增，即有
，
可得当设当即有证明：设
，
，可得
，则原不等式成立；
，
时，，令，
在
单调递减，而的单调性，可得
，当
，
，
，使得
， ，递减； ，
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则需要证明：当； ，
，
，
时，
，可得
，
由由
中可得
递减，即有
即即
在
时，递增，在
时，；
又因为：
时
即
，当
成立，不等式得证； 时，
．
解析：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于难题．
求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；
由题意可得即证
，
设式．
运用
的单调性可得
，设成立；
的单调性，进而证明原不等
，求出单调性，即可得到，求
的导数，判断
3.答案：
证明：，
，M是AB的中点，
平面平面ABCD，平面平面ABCD， 平面ABCD，
；
平面，平面ABE，
证明：取DE的中点F，连接AF，NF，
是CE的中点，
，
是AB的中点，
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，
，
四边形AMNF是平行四边形，
， 平面ADE，平面ADE；
解：设点A到平面BCE的距离为d， 由则
知
平面ABC，，
，，
，
平面ADE，
，
，
，
即
，
解得，
故点A到平面BCE的距离为．
解析：本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题． 推导出
，从而
平面ABCD，由此能证明
；
，
NF，取DE的中点F，连接AF，推导出四边形AMNF是平行四边形，从而由此能证明
平面ADE；
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设点A到平面BCE的距离为d，由离．
，能求出点A到平面BCE的距
4.答案：解：Ⅰ证明：连结
因为三棱柱所以四边形所以M为
交于M，连结，DM，
是正三棱柱， 是矩形， 的中点．
因为D是AC的中点， 所以MD是三角形所以因为
C. 平面平面所以
平面
，
． 于O，所以
中， ． 平面
，
，
的中位线，
Ⅱ解：作所以在正三棱柱
如图建立空间直角坐标系
因为所以所以
，0，，
，
，D是AC的中点． 0，，
，
，
， ．
设是平面的法向量，
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所以即
令所以
，则，，
的一个法向量． 是平面ABD的一个法向量， ．
是平面
由题意可知所以
所以二面角的大小为．
Ⅲ解：设设平面所以
x，，则的法向量
即
，
，
令，则，，，
又，即，解得，
所以存在点E，使得平面平面且．
解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题． Ⅰ连结
交
于M，连结平面
，DM，由已知条件得四边形．
利用向量法能求出二面角
是矩形，由三角
形中位线能证明Ⅱ作
于O，建立空间直角坐标系的大小．
Ⅲ设x，，求出平面平面
，且
的法向量，利用向量法能求出存在点E，使得平面．
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5.答案：解：
等差数列的公差为
，
，前n项和为，
，，成等比数列，
，
，
化为
，解得
．
．
由
可得
．
，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
，
．
解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于中档题．
利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
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由可得，对n分类讨论“裂项求和”即可得出．
6.答案：解：连接EF，
由翻折不变性可知：
，
在
中：
，
，
在图1中利用勾股定理得：
，
在
中：
，
，
又
，
平面ABED； 解：由
知
平面ABED， 的高． 平面ABED，
平面ABED，
，
为三棱锥
设点A到平面PBE的距离为h， 由等体积法得即
，
，
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即点A到平面PBE的距离为．
解析：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，要注意等体积法的合理运用，属于中档题． 连接EF，由翻折不变性可知，股定理推导出由
，
，
，由已知条件，利用勾
平面ABED．
，由此能够证明
平面ABED，知PF为三棱锥的高，利用等体积法能求出点A到平面
PBE的距离．
7.答案：解：函数
．
化简可得：
，
Ⅰ函数的最小正周期，
令，即，
解得：函数
的零点是
，
．
Ⅱ，，
，
当，即时，函数的最小值为；
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当，即时，函数的最大值为2．
在区间上的最大值为2，最小值．
解析：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题． Ⅰ利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，令Ⅱ
，解得x的值即为零点．
上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得出
的最大值和最小值．
8.答案：解：Ⅰ曲线：
：由
得
，则或
得，即
，即
，
，
即与交点的直角坐标为，；
Ⅱ曲线的直角坐标方程为则极坐标方程为因此A的极坐标为所以
， ，其中
．
．
，
，B的极坐标为
当时，取得最大值，最大值为4．
解析：本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查学生的运算和转化能力． Ⅰ将与
转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；
Ⅱ求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．
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9.答案：解：Ⅰ随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则
，
，
，
；
所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P ；
随机变量X的数学期望为
Ⅱ设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为
；
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题． Ⅰ随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；
Ⅱ利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
10.答案：解：Ⅰ设等差数列的公差为d，
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，
，
．
解得：，
；
Ⅱ， ，
，
， ．
故数列的前10项和．
解析：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档． Ⅰ设等差数列Ⅱ根据
的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案； ，列出数列
的前10项，相加可得答案．
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