基于APOS理论的数学概念教学设计

145413 霍思达

摘要：APOS理论是近年来美国数学家杜宾斯基（Dubinsky）等人提出的一种数学教学理论.他将数学概念的建立分为四个阶段：Action,Process,Object,Scheme，并用于指导教学实践.早期APOS理论只是被用在大学数学的教学中，现在该理论正逐步地渗透于我们的中学数学教学中.本文首先谈了对APOS理论的认识，然后通过锐角三角函数的教学设计尝试了一下APOS理论在数学概念教学中的应用.

关键词：APOS理论；数学概念；教学设计；锐角三角函数

任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对“学生是如何学数学的”及“什么样的教学计划可以帮助这种学习”的理解，而不仅仅是陈述一些事实

1.基于这样的考虑，杜宾斯基等人建立了APOS

理论—一个可以促进我们有效教学的数学教学理论.从20世纪90年代起，APOS理论就被介绍到我国的数学教育界，它是为数不多的依据数学学科特点而建立的教学理论，因此，对这样的理论进行深入的研究是十分有意义的.我国的数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行，这种教学过程虽然简明，但却忽视了许多数学概念具有过程—对象的双重性.近年来，相关学者的研究结果表明，将APOS理论应用到我们的概念教学中可以弥补我们一以前那种概念教学方式的缺点. 1

什么是APOS理论？

APOS理论是20世纪80年代末至90年代初由美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来的一种数学教学理论.杜宾斯基认为，一个人是不可能直接学习到数学概念的.更确切地说，人们透过心智结构（mental structure）使所学习的数学概念产生意义.如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念.相反的，如果一个人无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的.因此，教学的目的就在于如何帮助学生建立适当的心智结构.杜宾斯基等人认为，APOS理论可以看做是对皮亚杰的“反思性抽象（reflective abstraction）”的扩展.APOS理论的一个基本假设是：数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的过程中获得的，在这个过程中，个体依序建构了心理活动（actions）、程序（processes）和对象（objects），最终组织成用以理解问题情境的图式结构（schemas）.根据APOS理论，学生学习数学概念的心理建构过程要经历以下的四个阶段

2：

活动（actions）阶段.“活动”是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象.例如在理解函数概念时需要活动或操作，对于yx，需要用具体的数字构造对应：

224;39;416;525;通过操作活动理解函数的意义.

程序（processes）阶段.当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后，就可以内化为一种称之为“程序（processes）”的心理操作.有了这种“程序”，个体就可以想象这个“活动”，而不需要通过外部的刺激；他可以在头脑中实施这个程序，而不需要具体操作；进而，他还可以对这个程序进行逆转以及与其他程序进行组合.例如把上述例子中的操作活动综合为一个函数过程.一般地有xx;其他的各种函数也可以概括为一般的对应过程x2f(x).

对象（objects）阶段.当个体能够把“程序”作为一个整体进行操作时，这一程序就变成了一种心理“对象（objects）”.接着上面的例子，然后可以把函数过程当作一个独立的对象来处理，比如函数的加减乘除、符合运算等.在表达式

f(x)g(x)中，函数f(x)和g(x)都是作为一个整体对象出现的.

最后是“图式（或者说图式结构，schema）”.一个数学概念的“图式”是指由相应的“活动”、“程序”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用以解决与这个概念相关的问题.

按照杜宾斯基的解释，上述四个成分中，“活动”、“程序”和“对象”也可以看作是数学知识的三种状态，而“图式”则是由这三种知识构成的一种认知结构（cottrill,et al.,1996）.此外，上述四种成分的排列虽然在理论上具有一种等级结构，也就是说，一般情况下前一成分的建构是后一成分的基础，但实际上，个体对某个数学概念的理解并不一定遵循这种线性的途径.例如函数函数概念，学习者一开始的“活动”是把函数看作一个简单的公式，其中含有一些可以运算和赋值的字母变量；随后，函数被看作是一种可以“输入—输出”的机器（函数机），于是得到了初步的“程序”.但是当学生遇到更为复杂的函数表达式时，往往又回到了“活动”阶段，并在“活动”的基础上，又进一步完善了函数“程序”.如此经过多个循环之后，学生才最终形成明确而完整的函数“对象”

4.

从数学学习心理学角度分析，APOS理论的四个学习层次是合理的，反应了学生学习数学概念过程中真实的思维活动.其中的“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系.“程序阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质; “对象阶段”是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中一次为对象进行新的活动；“图式阶段”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，，起初的图式包含反应概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心智结构. 2

锐角三角函数概念的教学设计

上课开始，出示两个倾斜角不同的斜面（图1、图2）. 图1 图2 操作阶段:

物体在两个不同倾斜角的斜面上前进的距离都是a，图1中的角A为60，图2中的角B为30，观察和测量各自对边的值.

继续操作.在角A（图3、图4）边上任意取一点B，作BC垂足为点C，计算AC，

00BCAC、、ABABBC的值，并将所得的结果与其他同学所得的结果做比较. AC图3 图4 图5

通过上面两个活动，让学生从特殊的角度中去计算出线段的比值，为三角函数概念做铺垫.其中活动1是学生最熟悉的特殊角30，活动2是非特殊角50，要通过度量再计算，通过比较得到相等的结论.让学生初步感悟到这三个比值与点B的位置无关，那么与什么有关呢？

程序阶段:

一般地问，若图3和图4中的两个AB相等，那么

00BCACBC、、还相等吗？ ABABAC很容易得到结果——不相等.目的是让学生体会到比值与角度有关.然后就可以进入程序性的思考.如图5，B、D是一边上的任意两点，作BC值

AC，垂足为点C，DEAE,垂足为点E,判断比

BCDEACAEBCDE与、与、与是否相等，并说明理由.通过相似三角形很容易得到它们的ABADABADACAE比值都相等.本活动的目的是让学生确认这三个比值与角度有关.随着角度的变化，比值也变化，所以根据

函数的概念就可以得到这三个比值是角度的函数，而这个函数就是三角函数，水到渠成地得出三级哦啊函数的概念.通过上述三个活动，学生就初步内化为三角函数的这个“程序”，形成了三角函数的特征：一是三角函数是比值；二是三角函数的值与角度有关.

对象阶段:

这时，三角比，例如正弦，符号sin，成为独立的对象.我们可以离开程序直接进行运算，例如

sinAcos(900A)，sin2Acos2A1，等等.在运算过程中，正弦、余弦都是独立的对象，不再

有三角比的过程了.

图式阶段:

这是一个长期积累的过程，在以后高中阶段通过对三角函数进一步的学习后，三角函数在脑海里储备的是正弦、余弦、正切、余切等的总称，它们的图像，彼此间的恒等变换，与“波”的关系等，那是一个丰富的有组织的结构.

这个教学环节是按照完全A—P—O—S的顺序来进行的，但是在有些概念教学过程中，我们有“开门见山”的教学设计，所以对于概念性知识的教学我们也可以试着用O—A—P—S的顺序来进行.也就是说，首先把三角比当做一个“对象”出示，然后再慢慢通过操作加以理解.下面是一个新的设计.

上课开始时，出示本节课的题目：锐角三角函数.

问题1：本节课我们一起来学习研究“锐角三角函数”，请问在这个课题中，你对什么，内容比较熟悉？

学生：锐角、三角、函数.（学生说的三角是指三角形）. 问题2：我们学过的函数有哪些？

学生：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数共4个.

问题3：函数的定义是什么？

学生：在某一变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说

y是x的函数.

以上的目的是为后面引出三角函数的概念做铺垫.

教师：三角函数是初中学习的第五个函数，它到底是什么？具有那些性质？有怎样的应用？现在我们开始学习研究.

这样做的目的是提示学生就进行联想类比.原来学过的有四种函数，现在的三角函数布置会是什么？从而激发学生的学习兴趣，到最后学习完成，就成了学生主动建构的过程.

在操作阶段，我们也可以有另外的设计子在墙面上的投影为BC，

3:如图6，现有一梯子DE斜靠在一竖直的墙面BC上，梯

CECE是DE在竖直方向上的折扣率，我们把竖直方向上的折扣率成为DEDEEDC的正弦函数.然后进行相关的符号、书写的介绍.

图6

折扣概念是日常生活中常见的问题，由此入手，更能使学生接受新知识.

既然正弦函数相当于一个折扣率，正如商品打折，打几折，就是原商品的价格乘以零点几.因为折扣率的取值范围是在0~1之间，所以锐角的正弦函数的取值范围也在0~1之间.

x.当折扣确定时，商品的实际价格与原价格就有了10正比例的关系.同样在图6的RtCDE中，DE相当于商品的原价，CE相当于商品打折后的实际价格，CECEsinEDC. 即sinEDC，相当于折扣率，就有

DEDE商品打几折（x折），那就是商品的原价乘以

我们是先给出的对象，这样可以使学生一目了然地了解本节课的重点，然后再由针对性的进行相关

内容的学习，亦即活动，通过活动来达到程序的境界，最终深刻理解锐角三角函数的概念，形成自己的图式. 3

小结

张景中院士把学数学比做吃核桃，作为教师需要研究的是如何砸核桃，让学生吃到核桃.数学概念有其本身的特点，许多数学概念具有二重性，既表现为一种过程操作，又表现为一种对象、结构，所以在实际学习理解的过程中应根据其具体的特点需要灵活地改变认识的角度—有时要将某个概念当做有操作步骤的过程，有时又需要把它作为一个整体性的固定的对象，做出最有效的教学设计.APOS理论是适应数学概念特点的教学理论，对其在数学概念教学中的应用不必拘泥于固定的模式，领会其精髓，合理地将其运用于数学教学中制定出最有效的教学策略才是最重要的. [参考文献]

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[3]王继光，龚辉. APOS理论与锐角三角函数概念的形成 [J].中学数学教学参考（上旬）,2011（11）：

13-14

[4]濮安山，史宁中.从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007（5）:48-50.