高中数学：柯西不等式

例1．求函数解：∵

且

的最大值

， 函数的定义域为

，且

，

即法二：∵

时函数取最大值，最大值为

且

， ∴函数的定义域为

由，得

即，解得∴时函数取最大值，最大值为.

当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解 【变式1】设 利用柯西不等式得【变式2】已知 法一：由柯西不等式

，

，求

的最值.

且

，求

的最大值及最小值。

,故最大值为10，最小值为-10

于是

的最大值为

，最小值为

.

法二：由柯西不等式

于是

的最大值为

，最小值为

.

【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数 根据柯西不等式

的最大值．

故

。

，

当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即

时等号成立，此时，

222

变式4：设a (1，0， 2)，b (x，y，z)，若x  y  z  16，则ab的最大值为 。 【解】∵ a (1，0， 2)，b (x，y，z) ∴ a．b x  2z

由柯西不等式[12  0  ( 2)2](x2  y2  z2)  (x  0  2z)2  5  16  (x  2z)2   45 x  45

  45 a．b  45，故a．b的最大值为45:

变式5：设x，y，z  R，若x2  y2  z2  4，则x  2y  2z之最小值为 时，(x，y，z)  解(x  2y  2z)2  (x2  y2  z2)[12  (  2) 2  22]  4．9  36 ∴ x  2y  2z最小值为  6，公式法求 (x，y，z) 此时

xyz6222 ∴ ，x1222(2)22233y

44，z 33222变式6：设x, y, zR，若2x3yz3，则x(y1)z之最小值为________，又此时y________。 解析：[x(y1)z][2(3)1](2x3y3z)[x(y1)z] ∴t22222222223618∴最小值 14732 ∴y 774916之最小值为 abc2344916abc)2  ()(a  b  c) 解： (abcabc4916491681 ()．9  (2  3  4)2  81    9

abcabc9123变式8：设a, b, c均为正数，且a2b3c2，则之最小值为________

abc1223222)()2()2](123)2 解：: [(a)(2b)(3c)][(abc123 ∴()18，最小值为18

abc变式7：设a，b，c均为正数且a  b  c  9，则

(x1)2(y2)2(z3)21，求x  y  z之最大、小值: 变式9：设x，y，z  R且

1654(x1)2(y2)2(z3)21由柯西不等式知 【解】∵

1654[42（5)2  22](x12y22z32)()()4252  x1y2z34．()5．()2．()  25  1  (x  y  z  2)2  5  |x  y  z  2|   5  x  y  z  425

2  5 ∴  3  x  y  z  7

故x  y  z之最大值为7，最小值为  3

类型二：利用柯西不等式证明不等式

基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）

（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）

例1．设、、为正数且各不相等，求证：

又、、各不相等，故等号不能成立∴例2．、为非负数，+=1， ∴

，求证：

即

。

例3．若>>，求证：

解：，，∴，∴所证结论改为证

∴

例4．，求证：

左端变形，

∴只需证此式即可。

【变式1】设a,b,c为正数，求证： 同理

，即，

．

。

． 将上面三个同向不等式相加得， ．

【变式2】设a,b,c为正数，求证：

于是即

【变式3】已知正数满足 证明。

解：

又因为

在此不等式两边同乘以2，再加上

得：

，故。

类型三：柯西不等式在几何上的应用

6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

证明：由三角形中的正弦定理得，所以，

同理，

于是左边=

。

【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分别为x，y，z，求最小值。

的

且

4x+5y+6z=

由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)

柯西不等式

≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥

。

等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立（k为常数，i1,2n） 利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明不等式

a2b2c2例2:已知正数a,b,c满足abc1 证明 abc

3333证明： abc22221313123232323a2a2b2b2c2c2 a2b2c2abc

2222又因为 abcabbcca 在此不等式两边同乘以2，再加上abc得：

22abc322a2b2 c333222333abc222a2b2c2abc3abc故abc

32） 解三角形的相关问题 例3 设p是

ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明

z12R222abc

xy证明：

xyzax111byczaxbyczabc111 abc记S为ABC的面积，则axbycz2S23） 求最值

abcabc 4R2R222例4已知实数a,b,c,d满足abcd3， a2b3c6d5试求a的最值

2

解： 2b3c6d22222111222bcd即 2b3c6dbcd236由条件可得， 5a23a 解得，1a2当且仅当22b3c6d 时等号成立， 12131611,d时， amax2 3621 b1,c,d时 amin1

33代入b1,c5）利用柯西不等式解方程

9222xyz例5．在实数集内解方程 48x6y24y39解： xyz2228222262248x6y24y ①

2又8x6y24y39,.xyz222822262248x6y24z

即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

xyz，它与8x6y24y39联立，可得 8624