2019-2020学年北京八中七年级（下）第一次月考数学试
卷
题号 得分 一 二
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1. 窗棂即窗格(窗里面的橫的或坚的格)是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上
雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
三 四 总分 A.
B.
C.
D.
2. 下列说法正确的是( )
A. √81的平方根是3
C. 两个无理数的和一定是无理数
3. 如图，在△ ABC中， DE// AC，
B. (−1)2010是最小的自然数 D. 实数与数轴上的点一一对应
，DE=3，则AC的长为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
4. 10.58亿用科学记数法表示为( )
A. 1.058×1010 B. 1.058×109 C. 10.58×109 D. 10.58×108
5. 若一个多边形的每个外角都等于45°，则它的内角和等于( )
A. 720°
6. 化简
𝑎2𝑎−11
B. 1040° C. 1080° D. 540°
−(𝑎+1)的结果是( )
A. 𝑎−1
B. −𝑎−1
1
C.
2𝑎−1
𝑎−1
D. −
2𝑎−1𝑎−1
7. 已知果农贩卖的西红柿，其重量与价钱成线型函数关系，今小华向果农买一竹篮的
西红柿，含竹篮秤得总重量为15公斤，付西红柿的钱250元．若他再加买0.5公斤的西红柿，需多付10元，则空竹篮的重量为多少公斤？( )
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A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
8. 某电动车厂2018年第三、四季度各月产量情况如图所示．则下列说法错误的是( )
A. 7月份产量为300辆
B. 从10月到11月的月产量增长最快 C. 从11月到12月的月产量减少了20% D. 第四季度比第三季度的产量增加了70%
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分） 9. 比较大小：𝑠𝑖𝑛53°______𝑡𝑎𝑛37°． 10. 在函数𝑦=√
1−2𝑥𝑥
中，自变量x的取值范围是______．
1
11. 化简𝑚√−的结果为______．
𝑚
12. 如图，点A、D在⊙𝑂上，BC是⊙𝑂的直径，若∠𝐷=35°，
则∠𝑂𝐴𝐵的度数是______．
13. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提
价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则可列方程组为______． 14. 要使√3−𝑎在实数范围内有意义，a应当满足的条件是______ ． 15. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，C为直角顶点，𝐴𝐶=8，𝐵𝐶=6，
D为AB的中点．点E是边BC上的动点，连结DE，作𝐷𝐹⊥CD交于𝐺.当△𝐷𝐸𝐺和△𝐷𝐹𝐺的𝐷𝐸交AC于点F，连结EF，面积之比为1：2时，则线段CE的长是______．
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𝑥−𝑦=8
.按下列要求编写应用题：把x、y分别看作甲、乙两个16. 试根据方程组{
6𝑥−7𝑦=46
学习小组的人数：______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）
17. (1)计算(−1)2019+(𝜋−2018)0−√3𝑠𝑖𝑛60°+(2)−1．
(2)解方程：𝑥−2=
18. 一个不透明的口袋中装有三张分别标有1，——3的卡片，卡片的外形相同，从中
任取一张卡片，将上面的数字记为a，然后将其放回袋中，搅匀后再任取一张卡片，将上面的数字记为b．
(1)请你用树形图或列表法列出所有可能的结果；
(2)求取出的卡片上的数字a，b能使关于x的方程𝑎𝑥2+2𝑏𝑥+2=0有实数根的概率。
2𝑥−5
3𝑥−3𝑥−2
1
−3．
四、解答题（本大题共10小题，共58.0分）
19. 已知：如图，𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐴𝐵𝐶，∠1+∠2=
180°．
求证：𝐵𝐹⊥𝐴𝐶．
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证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶(已知) ∴∠𝐶𝐸𝐷=90°(______) ∵∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐴𝐵𝐶(已知) ∴______//______(______) ∴∠1=______(______) 又∵∠1+∠2=180°(已知) ∴∠2+∠3=180°(______) ∴𝐵𝐹//𝐷𝐸(______)
∴∠𝐶𝐹𝐵=∠𝐶𝐸𝐷=90°(______) ∴𝐵𝐹⊥𝐴𝐶．
20. (1)解方程：𝑥2−2𝑥−1=0；
𝑥+2<4
(2)解不等式组{．
2(𝑥−1)>−10
21. 如图，已知点M，N和∠𝐴𝑂𝐵，求作一点P，使P到M，N的
距离相等，且到∠𝐴𝑂𝐵的两边的距离相等．(要求尺规作图，并保留作图痕迹)
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22. 一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与反比例函数𝑦=−𝑥的图象交于A、B两点．过A点分别作x
轴、y轴的垂线，E、F为垂足． (1)请直接写出矩形AEOF的面积；
(2)设一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与x轴、y轴的交点分别为C、D，当𝑂𝐶=3𝑂𝐸时． ①试求△𝑂𝐶𝐷与△𝐹𝐴𝐷的面积比；
②当𝑂𝐸=1时，以BD的中点为圆心，2𝐵𝐷长为半径作弧，与x轴相交于P点，请求出P点的坐标．
12
23. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐴=𝐵𝐶，以AB为直径的⊙𝑂与AC交于D点，过点D作DF
丄BC交AB的延长线于点E，垂足为F，
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(1)证明：DE为⊙𝑂的切线；
(2)若⊙𝑂的半径为5，𝑠𝑖𝑛𝐴=√，求EB的长．
33
24. 为了了解学生最喜欢的趣味运动项目类型：A：跳长绳，B：踢毽子，C：打篮球，
D：拔河，共四类，随机抽查了部分学生，并将统计结果绘制成图①和图②的统计图(不完整).请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)在图①中，求D部分所占扇形的圆心角的度数． (2)将图②补充完整．
(3)若全校共有学生1200名，估计该校最喜欢踢毽子的学生有多少．
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25. AB为⊙𝑂的弦，⊙𝑂的弦AC与⊙𝑂的切线BD平行，连接CB．
(1)如图1，求证：𝐵𝐶=𝐵𝐴；
⏜的中点，OE的延长线交BD于点F，(2)如图2，∠𝐴𝐶𝐵=点E为𝐵𝐶连接CF，求证：∠𝐵𝐶𝐹；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接CE并延长交BF于点G，若𝐵𝐺=7，𝐴𝐶=4，求OE长．
9
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26. 如图，抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐴(−3,0)，𝐵(1,0)两点，与y轴交于点C，P为y
轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN． (1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形AMPN与△𝐴𝑂𝑃面积之比为5：2时，求点P的坐标； (3)当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．
27. 如图，一次函数𝑦=−𝑥+3的图象与反比例函数𝑦=
𝑘𝑥
(𝑘≠0)在第一象限的图象交于𝐴(1,𝑎)和B两点，与x
轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且△𝐴𝑃𝐶的面积为5，求点P的坐
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标；
(3)若点P在y轴上，是否存在点P，使△𝐴𝐵𝑃是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
一个周末她在自己家门前的地上发现了一个不规则的封28. 小丽是一位爱探索的学生，
闭图形ABCD，她很想知道此图形的面积，于是她在封闭图形内划出了一个半径为1米的⊙𝑂，在不远处向圈内掷石子，且记录如下： 掷石子次数 石子落在的区域 石子落在⊙𝑂内(含⊙𝑂上的次数)𝑚 石子落在ABCD内，且在⊙𝑂外的次数n 26 85 186 241 299 482 24 65 93 59 201 318 50次 150次 300次 400次 500次 800次 根据上表提供的信息，你能估计出图形ABCD的面积吗？若能，请写出估计的过程．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误， 故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、√81=9，9的平方根为±3，不符合题意； B、(−1)2010=1，不是最小的自然数，不符合题意；
C、两个无理数的和不一定是无理数，例如−√2+√2=0，不符合题意； D、实数与数轴上的点一一对应，符合题意， 故选：D．
利用算术平方根定义，乘方的意义，以及实数、无理数的性质判断即可． 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：
∵𝐷𝐸//𝐴𝐶
∴△𝐵𝐸𝐷∽△𝐵𝐶𝐴
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故选D．
4.【答案】B
【解析】 【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
n为整数．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数． 【解答】
解：10.58亿=1058000000，
故将10.58亿用科学记数法表示为：1.058×109． 故选B．
5.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征．多边形的外角和是固定的360°，依此可以先求出多边形的边数．再根据多边形的内角和公式(𝑛−2)⋅180°求出多边形的内角和． 【解答】
解：∵一个多边形的每个外角都等于45°， ∴多边形的边数为360°÷45°=8，
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∴这个多边形的内角和=180°×(8−2)=1080°． 故选C．
6.【答案】A
【解析】解：原式==𝑎−1， 故选：A．
先根据通分法则把原式变形，再根据平方差公式、合并同类项法则计算即可． 本题考查的是分式的加减法，掌握分式的加减法法则、平方差公式是解题的关键．
1
−𝑎−1
𝑎2𝑎2−1𝑎−1
7.【答案】C
【解析】解：由题意，得
西红柿的单价为：10÷0.5=20元， 西红柿的重量为：250÷20=12.5𝑘𝑔， ∴空竹篮的重量为：15−12.5=2.5𝑘𝑔． 故选C．
由加买0.5公斤的西红柿，需多付10元就可以求出西红柿的单价，再由总价250元÷西红柿的单价就可以求出西红柿的数量，进而求出结论．
本题考查了总价÷数量=单价的运用，总价÷单价=数量的运用，解答时求出西红柿的单价是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由图可得，
7月份产量为300辆，故选项A正确，
从10月到11月的月产量增长最快，故选项B正确， 从11月到12月的月产量减少了
720−600720
≈16.7%，故选项C错误，
=70%，故选项D正确，
第四季度比第三季度的产量增加了故选：C．
550+720+600−300−350−450
300+350+450
根据题目中的折线统计图，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
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9.【答案】>
【解析】解：如图，
𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐴=53°，∠𝐵=37°，则𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=4，𝐴𝐵=5， ∵𝑠𝑖𝑛53°=
𝐵𝐶𝐴𝐵
==0.8，𝑡𝑎𝑛37°=
5
4𝐴𝐶𝐵𝐶
==0.75，
4
3
∴𝑠𝑖𝑛53°>𝑡𝑎𝑛37°． 故答案为>．
本题比较特殊，勾三股四弦五的直角三角形中的勾三对的角刚好是37°，由此即可求解． 本题考查锐角三角函数，解题的关键是记住：勾三股四弦五的直角三角形中的勾三对的角刚好是37°．
10.【答案】𝑥≤2且𝑥≠0
【解析】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1−2𝑥≥0， 即𝑥≤2时，二次根式√1−2𝑥有意义． 又因为0做除数无意义， 所以𝑥≠0．
因此x的取值范围为𝑥≤2且𝑥≠0． 故答案为：𝑥≤2且𝑥≠0．
函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√𝑎(𝑎≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零．
1
1
1
1
11.【答案】−√−𝑚
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【解析】解：由题意得𝑚<0， 𝑚√−
1𝑚
=−√𝑚2⋅(−)=−√−𝑚．
𝑚
1
故答案为：−√−𝑚．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出m的符号是解题关键．
12.【答案】35°
【解析】解：方法一： ∵∠𝐴𝑂𝐶=2∠𝐷=70°， 又∵𝑂𝐴=𝑂𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐵𝐴𝑂， ∵∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐵𝐴𝑂， ∴∠𝑂𝐴𝐵=35°． 方法二： ∵𝐴𝑂=𝐵𝑂， ∴∠𝐵=∠𝐵𝐴𝑂，
∵∠𝐷=∠𝐵(同弧所对圆周角相等)， ∴∠𝑂𝐴𝐵=35°， 故答案是：35°．
根据圆周角定理即可求得∠𝐴𝑂𝐶的度数，再根据三角形的外角的性质以及等边对等角，即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，以及三角形的外角的性质，正确求得∠𝐴𝑂𝐶的度数是解题的关键．
13.【答案】{(1−10%)𝑥+(1+40%)𝑦=100×(1+20%)
【解析】解：设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元， ∵甲、乙两种商品原来的单价和为100元， ∴𝑥+𝑦=100，
甲商品降价10%后的单价为：(1−10%)𝑥， 乙商品提价40%后的单价为：(1+40%)𝑦，
∵调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，
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𝑥+𝑦=100
调价后，两种商品的单价为：100×(1+20%)， 则(1−10%)𝑥+(1+40%)𝑦=100×(1+20%)，
𝑥+𝑦=100
即方程组为：{，
(1−10%)𝑥+(1+40%)𝑦=100×(1+20%)𝑥+𝑦=100
故答案为：{．
(1−10%)𝑥+(1+40%)𝑦=100×(1+20%)
设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”，列出关于x和y的一个二元一次方程，根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%”，列出关于x和y的一个二元一次方程，即可得到答案．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
14.【答案】𝑎≤3
【解析】解：∵√3−𝑎在实数范围内有意义， ∴3−𝑎≥0， 解得𝑎≤3． 故答案为：𝑎≤3．
根据二次根式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
15.【答案】41
【解析】解：∵△𝐷𝐸𝐺和△𝐷𝐹𝐺的面积之比为1：2， ∴△𝐷𝐸𝐶和△𝐷𝐹𝐶的面积之比为1：2， 作𝐷𝑀⊥𝐵𝐶于M，𝐷𝑁⊥𝐴𝐶于N， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴𝐷𝑀//𝐴𝐶，𝐷𝑁//𝐵𝐶， ∵𝐷是AB的中点，
∴𝐵𝑀=𝐶𝑀=3，𝐷𝑀=2𝐴𝐶=4，𝐴𝑁=𝐶𝑁=4，𝐷𝑁=2𝐵𝐶=3， ∴𝐷𝑀=𝐶𝑁，𝐷𝑁=𝐶𝑀， ∴四边形DMCN是矩形， ∴∠𝑀𝐷𝑁=90°， ∵∠𝐸𝐷𝐹=90°，
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1
1
75
∴∠𝑀𝐷𝐸=∠𝑁𝐷𝐹， ∵∠𝐷𝑀𝐸=∠𝐷𝑁𝐹=90°． ∴△𝐹𝐷𝑁∽△𝐸𝐷𝑀， ∴
𝐹𝑁𝐸𝑀
=
=， 𝐷𝑀4
𝐷𝑁3
设𝐹𝑁=3𝑡，𝐸𝑀=4𝑡，
∵△𝐷𝐸𝐶和△𝐷𝐹𝐶的面积之比为1：2
∴𝐶𝐸⋅𝐷𝑀：𝐶𝐹⋅𝐷𝑁=1：2，即4(3−4𝑡)：3(4+3𝑡)=1：2
2
2
1
1
∴2×4(3−4𝑡)=3(4+3𝑡)， ∴𝑡=
1241
，
7541
∴𝐶𝐸=3−4𝑡=
．
作𝐷𝑀⊥𝐵𝐶于M，𝐷𝑁⊥𝐴𝐶于N，根据题意得到△𝐷𝐸𝐶和△𝐷𝐹𝐶的面积之比为1：2，易证得𝐷𝑀=𝐶𝑁，𝐷𝑁=𝐶𝑀，易证得△𝐹𝐷𝑁∽△𝐸𝐷𝑀，得到𝐸𝑀=𝐷𝑀=4，设𝐹𝑁=3𝑡，𝐸𝑀=4𝑡，由三角形面积公式得到4(3−4𝑡)：3(4+3𝑡)=1：2，求得t的值，即可求得结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、直角三角形的性质的综合运用，通过辅助线构造相似形和直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
𝐹𝑁
𝐷𝑁
3
16.【答案】有甲乙两个数学学习小组，其中甲组人数比乙组人数多8人，且甲组人数
的6倍比乙组人数的7倍多46人，求甲乙两组人数
【解析】解：题目：有甲乙两个数学学习小组，其中甲组人数比乙组人数多8人，且甲组人数的6倍比乙组人数的7倍多46人，求甲乙两组人数． 设甲、乙两个学习小组的人数分别为x、y， 𝑥−𝑦=8
根据题意得{．
6𝑥−7𝑦=46
故答案为有甲乙两个数学学习小组，其中甲组人数比乙组人数多8人，且甲组人数的6倍比乙组人数的7倍多46人，求甲乙两组人数．
利用甲、乙两个学习小组的人数的关系设计应用题：甲组人数比乙组人数多8人，且甲组人数的6倍比乙组人数的7倍多46人，求甲乙两组人数．
(1)审本题考查了二元一次方程组的应用：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．(2)设元：找出题中的两个关
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键的未知量，并用字母表示出来．(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．(4)求解．(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
31
； 17.【答案】解：(1)原式=−1+1−√3×√+2=22
(2)去分母得：2𝑥−5=3𝑥−3−3𝑥+6， 解得：𝑥=4，
经检验𝑥=4是分式方程的解． 所以方程的解为𝑥=4．
【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． (1)原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
18.【答案】(1)画图见解析
(2)
【解析】解：
(1)所有等可能的结果，画树状图如下：
∴能组成的结果共有9种即11，12，13，21，22，23，31，32，33． (2)∵当△=(2𝑏) 2−4×2𝑎=4 𝑏 2−8𝑎≥0;即b 2≥2𝑎，方程有实数根， 当𝑎= 1，𝑏=1时，b 2<2𝑎，此时ax 2+2𝑏𝑥+2=0无实数根，
当𝑎= 1，𝑏=2时，b 2>2𝑎，此时ax 2+2𝑏𝑥+2=0有两个不相等的实数根， 当𝑎= 1，𝑏=3时，b 2>2𝑎，此时ax 2+2𝑏𝑥+2=0有两个不相等的实数根， 当𝑎= 2，𝑏=1时，b 2<2𝑎，此时ax 2+2𝑏𝑥+2=0无实数根，
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当𝑎= 2，𝑏=2时，b 2=2𝑎，此时ax 2+2𝑏𝑥+2=0有两不相等的实数根， 当𝑎= 2，𝑏=3时，b 2>2𝑎，此时ax 2+2𝑏𝑥+2=0有两个不相等的实数根， 当𝑎=3，𝑏=1时，b 2<2𝑎，此时ax 2+2𝑏𝑥+2=0无实数根， 当𝑎=3，𝑏=2时，b 2<2𝑎，此时ax 2+2𝑏𝑥+2=0无实数根，
当𝑎=3，𝑏=3时，b 2>2𝑎，此时ax 2+2𝑏𝑥+2=0有两个相等的实数根， ∴𝑃(有实数根)=𝑃(△≥0)=
19.【答案】垂直的定义 BC GF 同位角相等，两直线平行 ∠𝐹𝐵𝐶 两直线平行，內错
角相等 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等
【解析】证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶(已知) ∴∠𝐶𝐸𝐷=90°(垂直的定义) ∵∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐴𝐵𝐶(已知)
∴𝐵𝐶//𝐺𝐹(同位角相等，两直线平行) ∴∠1=∠𝐹𝐵𝐶(两直线平行，內错角相等) 又∵∠1+∠2=180°(已知) ∴∠2+∠3=180°(等量代换)
∴𝐵𝐹//𝐷𝐸(同旁内角互补，两直线平行)
∴∠𝐶𝐹𝐵=∠𝐶𝐸𝐷=90°(两直线平行，同位角相等) ∴𝐵𝐹⊥𝐴𝐶．
故答案为：垂直的定义；BC；GF；同位角相等，两直线平行；∠𝐹𝐵𝐶；两直线平行，內错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 要证𝐵𝐹⊥𝐴𝐶，只要证得𝐷𝐸//𝐵𝐹即可，由平行线的判定可知只需证∠2+∠𝐵𝐹𝐶=180°，根据平行线的性质结合已知条件即可求证．
本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
20.【答案】解：(1)∵𝑎=1，𝑏=−2，𝑐=−1，
∴△=𝑏2−4𝑎𝑐=(−2)2−4×1×(−1)=8， ∴𝑥=
2±2√2， 2
∴𝑥1=1+√2，𝑥2=1−√2；
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𝑥+2<4①(2){，
2(𝑥−1)>−10②不等式①的解集为𝑥<2， 不等式②的解集为𝑥>−4， 则原不等式组的解集为−4<𝑥<2．
【解析】(1)利用公式法求出x的值即可；
(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：如图所示，点P即为所求作的点．
【解析】本题考查了复杂作图，主要有线段垂直平分线的作法，角平分线的作法，都是基本作图，需熟练掌握．
连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，再作∠𝐴𝑂𝐵的平分线OC，EF与OC的交点即为点P．
22.【答案】解：(1)∵𝑘=−2，点𝐴(𝑥,𝑦)在反比例函数上，
将点A的坐标代入反比例函数表达得：𝑥𝑦=−2， ∴矩形AEOF的面积=𝐴𝐸⋅𝐴𝐹=|𝑥|⋅|𝑦|=2；
(2)①∵四边形AEOF为矩形， ∴𝐸𝑂=𝐴𝐹，
当𝑂𝐶=3𝑂𝐸时，则OC：𝐴𝐹=3：1， ∵∠𝐴𝐷𝐹=∠𝑂𝐷𝐶，∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐶𝑂𝐷， ∴△𝑂𝐶𝐷∽△𝐹𝐴𝐷，
∴△𝑂𝐶𝐷与△𝐹𝐴𝐷的面积比为：(𝐴𝐹)2=9：1； ②如图，∵𝑂𝐸=1， ∴点𝐸(−1,0)，
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𝑂𝐶
∴𝐴(−1,2)，𝐶(3,0)，
𝑘=−2
2=−𝑘+𝑏
将点A、点C的坐标代入直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏上得：{，解得：{3， 0=3𝑘+𝑏𝑏=
2
1
∴𝑦=−𝑥+，
22
令𝑥=0，则𝑦=2，则𝐷(0,2)，
联立𝑦=−2𝑥+2和𝑦=−𝑥并解得：𝑥=4，当𝑥=4时，𝑦=−𝑥=−2， 故点B的坐标为(4,−2)，
设BD的中点为N，则其坐标为：(2,2)，
∴圆N的半径r为：𝑁𝐵=√(4−2)2+(+)2=√5 22过点N作𝑁𝑀⊥𝑥轴，
在𝑅𝑡△𝑃𝑀𝑁中，𝑃𝑀=√(𝑃𝑁)2−𝑀𝑁2=√(√5)2−()2=√，
2
2
1
191
1
1
1
1
3
2
2
1
3
3
13
∴𝑃点的坐标为(2−√,0)或(√+2,0)．
22
1919
【解析】(1)矩形AEOF的面积=𝐴𝐸⋅𝐴𝐹=|𝑥|⋅|𝑦|=2；
(2)①证明△𝑂𝐶𝐷∽△𝐹𝐴𝐷，则△𝑂𝐶𝐷与△𝐹𝐴𝐷的面积比为：(𝐴𝐹)2=9：1；
由中点公式求出N的坐标，进而计算圆②联立𝑦=−2𝑥+2和𝑦=−𝑥求出点B的坐标，N的半径r，最后利用勾股定理，即可求解．
本题考查了反比例函数的图象的性质以及圆的基本的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
1
3
2
𝑂𝐶
23.【答案】(1)证明：连接OD．
∵𝐴𝐵是直径，
∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，即𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
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∵𝐵𝐶=𝐵𝐴，
∴𝐴𝐷=𝐷𝐶，∵𝑂𝐵=𝑂𝐴， ∴𝑂𝐷//𝐵𝐶， ∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶， ∴𝑂𝐷⊥𝐷𝐸， ∴𝐷𝐸是⊙𝑂的切线．
(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵中，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐴𝐵=10， ∴𝐵𝐷=
10√3
， 3
𝐵𝐷
=𝐴𝐵
√3
，3
∵𝐵𝐹//𝑂𝐷， ∴∠𝐷𝐵𝐹=∠𝑂𝐷𝐵， ∵𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝑂𝐵𝐷，
∴∠𝐷𝐵𝐹=∠𝐴𝐵𝐷，∵∠𝐷𝐹𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90°， ∴△𝐷𝐵𝐹∽△𝐴𝐵𝐷， ∴
𝐵𝐷𝐴𝐵
=
𝐵𝐹𝐵𝐷
， ，
∴𝐵𝐹=
103
∵𝐵𝐹//𝑂𝐷， ∴𝑂𝐷=𝐵𝐸+𝑂𝐵， ∴
103
𝐵𝐹𝐵𝐸
5
=
𝐵𝐸
𝐵𝐸+5
，
∴𝐵𝐸=10．
【解析】(1)欲证明DE是切线，只要证明𝐷𝐸⊥𝑂𝐷即可；
(2)首先解直角三角形ABD，求出BD，由△𝐷𝐵𝐹∽△𝐴𝐵𝐷，可得𝐴𝐵=𝐵𝐷，推出𝐵𝐹=由𝐵𝐹//𝑂𝐷，可得𝑂𝐷=𝐵𝐸+𝑂𝐵，即可求出BE；
本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理、锐角时函数、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
𝐵𝐹
𝐵𝐸
𝐵𝐷
𝐵𝐹
103
，
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D组的人数：(1)调查人数：14÷35%=40(人)，40−12−14−8=6(解：24.【答案】人)，
D组所占的圆心角为：360°×40=54°， 答：D部分所占扇形的圆心角的度数为54°； (2)补全条形统计图如图所示：
6
(3)1200×35%=420(人)，
答：全校1200名学生中最喜欢踢毽子的有420人．
【解析】(1)从统计图可知，“B踢毽子”的有14人，占调查人数的35%，可求出调查人数，进而求出“D拔河”的人数和所占的百分比，进而求出相应的圆心角的度数； (2)补全条形统计图；
(3)样本估计总体，样本中“B踢毽子”占35%，因此根估计总体1200人的35%是喜欢“B踢毽子”的．
考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中的各个数量之间的关系是正确计算的前提．
25.【答案】(1)证明：如图1中，连接BO，延长BO交AC于E．
∵𝐵𝐷是⊙𝑂的切线， ∴𝑂𝐵⊥𝐵𝐷，
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∵𝐴𝐶//𝐵𝐷， ∴𝑂𝐵⊥𝐴𝐶， ∴𝐴𝐸=𝐸𝐶， ∴𝐵𝐴=𝐵𝐶．
(2)证明：如图2中，
⏜=𝐸𝐵⏜， ∵𝐸𝐶
∴𝑂𝐹⊥𝐵𝐶，OF平分线段BC， ∴𝐹𝐶=𝐹𝐵， ∴∠𝐹𝐶𝐵=∠𝐹𝐵𝐶， ∵𝐴𝐶//𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐹𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵𝐶𝐹．
(3)解：𝑀𝑇⊥𝐵𝐶如图3中，延长BO交AC于M，作𝐵𝐾//𝐶𝐺交AC于K，作𝐾𝐻⊥𝐵𝐶他H，于T，中BH上截取一点R，使得𝐻𝑅=𝐶𝐻，连接KR．
∵𝐴𝐶//𝐵𝐷，𝐵𝐾//𝐶𝐺， ∴四边形KBGC是平行四边形， ∴𝐾𝐶=𝐵𝐺=7， ∵𝐶𝑀=𝐴𝑀=2， ∴𝐾𝑀=7， 设∠𝐵𝐴𝐶=2𝛼，
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5
9
∴∠𝐵𝑂𝐸=2𝛼， ∴∠𝐵𝐶𝐸=𝛼， ∵𝐵𝐶=𝐵𝐴，
∴∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵𝐴𝐶=2𝛼， ∵𝐵𝐾//𝐶𝐺，
∴∠𝐾𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐸=𝛼， ∵𝐻𝑅=𝐶𝐻，𝐾𝐻⊥𝐵𝐶， ∴𝐾𝐶=𝐾𝑅，
∴∠𝐾𝑅𝐶=∠𝐾𝐶𝑅=2𝛼， ∴∠𝑅𝐾𝐵=∠𝑅𝐵𝐾=𝛼， ∴𝐾𝑅=𝑅𝐵=，
7∵𝐾𝐻//𝑀𝑇，
∴𝐻𝑇=𝐾𝑀=5，设𝐶𝐻=9𝑥，则𝐻𝑇=5𝑥，𝑅𝑇=4𝑥， ∴𝑇𝐵=4𝑥+7，𝐶𝑇=14𝑥，
在𝑅𝑡△𝐶𝑀𝑇中，𝑀𝑇2=𝐶𝑀2−𝐶𝑇2=22−(14𝑥)2， ∵∠𝐶𝑀𝑇+∠𝑀𝐶𝑇=90°，∠𝑀𝐵𝑇+∠𝑀𝐶𝑇=90°， ∴∠𝐶𝑀𝑇=∠𝑀𝐵𝑇， ∴tan∠𝐶𝑀𝑇=tan∠𝑀𝐵𝑇， ∴𝑀𝑇=∴
14𝑥𝑀𝑇𝐶𝑇
𝑀𝑇𝐵𝑇
9
𝐶𝐻
𝐶𝐾
99
，
97=
𝑀𝑇4𝑥+
，
9
∴𝑀𝑇2=14𝑥(4𝑥+)，
7
∴14𝑥(4𝑥+)=22−(14𝑥)2，
79
解得𝑥=21或−6(舍弃)， ∴𝐵𝐶=3，
∴𝐵𝑀=√32−22=√5，设𝑂𝐸═𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑚， 在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝑀中，𝑚2=(√5−𝑚)2+22， 解得𝑚=∴𝑂𝐸=
9√510
21
，
9√510
．
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【解析】(1)如图1中，连接BO，延长BO交AC于𝐸.只要证明BO垂直平分线段AC即可；
(2)首先证明OF垂直平分线段BC，可得𝐹𝐶=𝐹𝐵，推出∠𝐹𝐶𝐵=∠𝐹𝐵𝐶，再证明∠𝐹𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵即可；
(3)如图3中，𝑀𝑇⊥𝐵𝐶于延长BO交AC于M，作𝐵𝐾//𝐶𝐺交AC于K，作𝐾𝐻⊥𝐵𝐶他H，T，中BH上截取一点R，使得𝐻𝑅=𝐶𝐻，连接𝐾𝑅.首先证明𝐶𝐾=𝐾𝑅=𝑅𝐵=7，由𝐾𝐻//𝑀𝑇，可得𝐻𝑇=𝐾𝑀=5，设𝐶𝐻=9𝑥，则𝐻𝑇=5𝑥，𝑅𝑇=4𝑥，推出𝑇𝐵=4𝑥+7，𝐶𝑇=14𝑥，在𝑅𝑡△𝐶𝑀𝑇中，𝑀𝑇2=𝐶𝑀2−𝐶𝑇2=22−(14𝑥)2，由tan∠𝐶𝑀𝑇=tan∠𝑀𝐵𝑇，可得𝑀𝑇=
𝐶𝑇
𝑀𝑇
𝐶𝐻
𝐶𝐾
9
9
9
，推出𝑀𝑇
𝐵𝑇
14𝑥
=
𝑀𝑇
94𝑥+
7
，推出𝑀𝑇2=14𝑥(4𝑥+7)，可得14𝑥(4𝑥+7)=22−(14𝑥)2，
99
求出x，得到𝐵𝐶=3，即可解决问题；
本题考查圆综合题、平行线的性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
26.【答案】解：(1)把𝐴(−3,0)，𝐵(1,0)代入𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐得，
9−3𝑏+𝑐=0𝑏=2
{，解得{， 1+𝑏+𝑐=0𝑐=−3∴抛物线的关系式为𝑦=𝑥2+2𝑥−3．
(2)设P的纵坐标为y．
∵正方形AMPN与△𝐴𝑂𝑃面积之比为5：2． ∴(32+𝑦2)=××3×|𝑦|．
2
2
2
1
5
1
解得：𝑦=±2或=±6．
∴点P的坐标为：𝑃1(0,2)或𝑃2(0,−2)或𝑃3(0,6)或𝑃4(0,−6)．
(3)设𝑃(0,𝑚)，连接MN交AP于T，过点T作𝑇𝐽⊥𝑂𝐴于J，过点P作𝑃𝐸⊥𝑇𝐽于E，过点N作𝑁𝐹⊥𝑇𝐽于F，过点M作𝑀𝐺⊥𝑇𝐽于G． ∵四边形AMPN是正方形，
∴𝑇𝐴=𝑇𝑃=𝑇𝑀=𝑇𝑁，𝐴𝑃⊥𝑀𝑁， ∵𝐴(−3,0)，𝑃(0,𝑚)，
3
3
3
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∴𝑇(−2,𝑚)，
∵∠𝑃𝐸𝑇=∠𝐹=∠𝑃𝑇𝑁=90°，
∴∠𝑃𝑇𝐸+∠𝑁𝑇𝐹=90°，∠𝑁𝑇𝐹+∠𝑇𝑁𝐹=90°， ∴∠𝑃𝑇𝐸=∠𝑇𝑁𝐹， ∴△𝑃𝐸𝑇≌△𝑇𝐹𝑁(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐸𝑇=𝐹𝑁，𝑃𝐸=𝑇𝐹， 同法可证△𝑃𝐸𝑇≌△𝑇𝐺𝑀，
∴𝑀𝐺=𝐸𝑇=𝐹𝑁，𝐺𝑇=𝑃𝐸=𝑇𝐹， ∴𝑀(−2−
3
𝑚𝑚
3
,+2)，𝑁(−2+22
𝑚
3
33𝑚𝑚
,2
2
−2)，
3
𝑚
3
𝑚
3
当点M在抛物线上时，2+2=(−2−2)2+2(−2−2)−3， 解得𝑚=±√21，
当点N在抛物线上时，2−2=(−2+2)2+2(−2+2)−3， 解得𝑚=2±√13 ∴满足条件的点P的坐标是：(0,−3)或(0,√21)或(0,−√21)或(0,−√21)或(0,2−√13)或(0,2+√13).
𝑚
3
3
𝑚
3
𝑚
【解析】(1)把𝐴(−3,0)，𝐵(1,0)代入𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐可求b、c的值即可． (2)设出点p的坐标，根据面积关系列方程求解．
(3)设𝑃(0,𝑚)，连接MN交AP于T，过点T作𝑇𝐽⊥𝑂𝐴于J，过点P作𝑃𝐸⊥𝑇𝐽于E，过点N作𝑁𝐹⊥𝑇𝐽于F，过点M作𝑀𝐺⊥𝑇𝐽于𝐺.利用全等三角形的性质求出点M，N的坐标，再利用待定系数法，构建方程求出m的值即可
本题属于二次函数综合题，考查用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，正方形的性质，全等三角形的平蒂花之秀等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
27.【答案】解：(1)把点𝐴(1,𝑎)代入𝑦=−𝑥+3，得𝑎=2，
∴𝐴(1,2)，
把𝐴(1,2)代入反比例函数𝑦=𝑥， ∴𝑘=1×2=2；
∴反比例函数的表达式为𝑦=𝑥；
(2)∵一次函数𝑦=−𝑥+3的图象与x轴交于点C，
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2𝑘
∴𝐶(3,0)， 设𝑃(𝑥,0)， ∴𝑃𝐶=|3−𝑥|，
∴𝑆△𝐴𝑃𝐶=|3−𝑥|×2=5，
21
∴𝑥=−2或𝑥=8，
∴𝑃的坐标为(−2,0)或(8,0)； (3)存在，
𝑦=−𝑥+3
2理由如下：联立{， 𝑦=𝑥 𝑥=1 𝑥1=2
解得：{1或{，
𝑦1=2 𝑦1=1∴𝐵点坐标为(2,1)， ∵点P在y轴上， ∴设𝑃(0,𝑚)，
∴𝐴𝐵=√(1−2)2+(2−1)2=√2，𝐴𝑃=√(1−0)2+(2−𝑚)2，𝑃𝐵=√(2−0)2+(1−𝑚)2， 若BP为斜边， ∴𝐵𝑃2=𝐴𝐵2+𝐴𝑃2 ，
即 (√(2−0)2+(1−𝑚)2)2=2+(√(1−0)2+(2−𝑚)2)2， 解得：𝑚=1， ∴𝑃(0,1)； 若AP为斜边， ∴𝐴𝑃2=𝑃𝐵2+𝐴𝐵2 ，
即 (√(1−0)2+(2−𝑚)2)2=(√(2−0)2+(1−𝑚)2)2+2， 解得：𝑚=−1， ∴𝑃(0,−1)；
综上所述：𝑃(0,1)或 𝑃(0,−1)．
【解析】(1)将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解； (2)设𝑃(𝑥,0)，由三角形的面积公式可求解；
AB，BP的长，(3)分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，由勾股定理可求解． 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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28.【答案】解：根据统计表，可得石子落在⊙𝑂内的概率与落在ABCD内，且在⊙𝑂外
的概率之比为：482≈3， 圆的面积=𝜋⋅12=𝜋，
设在ABCD内，且在⊙𝑂外图形的面积为x，则有𝑥=3， 解得𝑥=2𝜋.
∴封闭图形ABC的面积=𝜋+2𝜋=2𝜋𝑚2．
3
5
3
𝜋
2
318
2
【解析】根据表格中提供的数据计算出落在圆内的概率与落在ABCD内，且在⊙𝑂外的概率的比值，即可解答．
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