原子物理量子力学主要知识点复习

粒二象性。

2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么？

答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化 3.波尔理论的内容是什么？波尔氢原子理论的局限性是什么？ 答：波尔理论：

（1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。出于定态时，原子不发生电磁辐射。

（2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v由式hvE2E1决定 （3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件：m rn 局限性：

（1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；

（3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。 4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系？

e4Z2答：类氢体系量子化能级的表示：En 222240n11ˆR22,波数与光谱项的关系v2nn2.5,3,3.5,4,

5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证？ 答：索莫菲量子化条件是pdqnh

空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach）实验验证。、 6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因？ 答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系） 碱金属的选择定则：l1,j0,1

碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。

形成原因：原子实外价电子只有一个，但是原子实的极化和轨道的贯穿产生了影响，产生了与氢原子能级的差别

7.自旋假设内容，碱金属光谱精细结构特点？ 答：自旋假设内容：

1（1）电子具有自旋角动量ps，它在空间任何方向上的投影只能取两个值：psz

2eeB （2）电子具有自旋磁矩 s，它在空间任何方向上的投影只能取两个值：szpszm2m碱金属光谱精细结构特点：

主线系：每条谱线皆为双线且双线间隔逐渐减小，最后并入1线系限； 二辅系：也由双线组成，双线间隔固定，最后有2线系限；

一辅系：由三线组成，最外2线间隔固定且与二辅系相同，中间一条与右侧间隔越来越小，最后有与

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二辅系相同的2线系限。

碱金属原子的能级是一个双层结构的能级，只有s能级是单层的其余所有p、d、f等能级均为双层的。 8.电子态与原子态如何表示？什么是电子自旋轨道耦合？ 答： 电子态：电子的运动状态和量子数n、l有关，一般将主量子数n表示的状态称主壳层，角量子数 l 表示的态称子壳层。电子的状态可表示为1s、2s、2p、3d、4d、4f、5f等等。 原子态：12S1,22S1,22P1,32P3,32D5 ----n

22222层数

（表示L的S,P,D,F）J，其中电子总角动量J=轨道角

动量L+自旋角动量S。

电子自旋耦合：通过电子之间的自旋产生彼此的效果力。 9.碱土族元素光谱特点？

答：Mg的光谱与He类似。也形成两套线系，有两个主线系、两个第一辅线系、两个第二辅线系等等。Mg原子也有两套能级，一套是单层能级——单态，另一套是三层能级——三重态。单层能级间的跃迁产生单线，三层能级间的跃迁产生多线光谱。

10.LS耦合与jj耦合过程？两种耦合方式的原子态表示？ 答：略

11.泡利原理与同科电子的偶数定则是什么？

答：泡利原理：同一原子中，不能有两个电子处于完全相同的状态，也就是说，任意两个电子的状态都不完全相同

同科电子偶数定则：考虑同科电子组态为nlnl 时的原子态L2l,2l1,,0;S0,1但L+S必须为偶数 12.洪特定则与郎德间隔定则？

答：洪特定则：对于L-S耦合，给定的电子组态所形成的原子态中，重数(2S+1)最大（S 最大）的能级位置最低；重数相同的能级（S相同），L最大的位置最低。 郎德间隔定则：L-S耦合形成的一个多重能级结构中，相邻的两能级间隔与相关的二J 值中较大的成正比。

13.磁场中原子磁矩的表示及引起的能量差。 答：原子磁矩：iAeePJ p，而对于两个或两个以上电子的原子，其磁矩表达式为：μJg2me2ms(s1)3B；

轨道磁矩：leeeepll(l1)l(l1)B； 自旋磁矩：sps2me2mememe22p2ejplpspjgjj1B。 总磁矩：μj122pj2me能量差：EMgBB 能级间隔与能量差有关，M可取J, J-1,…,- J 共2J+1个可能值，即ΔE 取2J+1个可能值。也就是说，在磁场作用下，一个能级分裂为2J+1个。

14.磁场中角动量与磁矩运动特征。

答：磁场中角动量运动特征：角动量PJ 绕磁场方向旋进；磁矩运动特征：磁矩绕磁场方向旋进 15.顺磁、抗磁性、铁磁性的成因及塞曼效应能级图。

答：顺磁、抗磁性、铁磁性的成因：宏观磁矩的方向与磁场的方向不同，产生了不同的磁性。有些物质在磁场中磁化后，宏观磁矩的方向与磁场的方向相反，这类物质称为抗磁性物质；有些物质在磁场中磁化后，宏观磁矩的方向与磁场方向相同，这类物质称为顺磁性物质；另外还有些物质（铁、钴、镍等），在磁场作用下，表现出比顺磁性强得多的磁性，且去掉磁场后磁性不消失，这类物质称为铁磁性物质。

16.多电子原子的壳层结构，简并度及电子态填充顺序。 答：简并度：

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电子态填充顺序

17.X射线产生和测量原理是什么？布拉格公式？

答：X射线一般由高速电子打击在物体上产生。测量：通过衍射测量，X射线波长与晶体中原子的间距接近，可利用晶体作为衍射光栅进行X射线的衍射。 布拉格公式：2dsinn 18.X射线标识谱特征是什么？

答：X射线谱由两部分组成：连续谱和标识谱。 标识谱又称特征谱，为线状光谱，由一些特定波长的谱线组成。每种元素有一套特定波长的X射线谱，成为元素的标识，所以称为标识谱。不同元素的标识谱结构相似。 19.什么是波函数的统计诠释？归一化？

答：波恩提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒子的几率。发现一个实物粒子的几率同德布罗意波的波函数平方成正比。|Ψ(r)|2 的意义是代表电子出现在r 点附近几率的大小，确切的说，|Ψ(r)|2dxdydz表示在r 点附近，体积元dxdydz中找到粒子的几率。 归一化：粒子在全空间出现的几率等于1 20.S方程及定态S方程形式？

2222U(r)](r,t)；定态薛定谔方程：[U](r)E(r) 答：薛定谔方程：i(r,t)[t2221.什么是束缚态和非束缚态？

答：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处， = 0 。这样的状态，称为束缚态。

22.什么是宇称？一维无限深势阱、谐振子及氢原子定态宇称？

答：宇称：空间反射：空间矢量反向的操作rr(r,t)(r,t)，此时若有：(r,t)(r,t)，

则称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 如果(r,t)(r,t)，称波函数具有负宇称（或奇宇称）。

一维无限深势阱：n=odd时，为偶宇称；n=even时，为奇宇称； 谐振子： n的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定。 （氢原子定态宇称讨论见下面）

23.氢原子波函数中量子数的取值及含义？ 答：

24.什么是隧道效应？

答：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。

25.量子力学中的力学量由什么来表示？

答：量子力学中的力学量由厄米算符来表示？ 26. 力学量算符本征值的含义？

答：如果算符Ô代表力学量O，那么当体系处于Ô的本征态Ψ时，力学量O取确定值，该值就是算符Ô在本征态Ψ中的本征值。

27. 力学量算符本征态的特点？

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答：厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。 28.完备系（完全系）？力学量的取值及几率？

(x)cnn(x)（Ψ答：一组函数φn(x) (n=1,2,...)，如果任意函数Ψ(x)都可以向这组函数展开：

n(x) 应具有与φn(x) (n=1,2,...)，相同的定义域和边界条件（包括无限远点）），则称这组函数φn(x)

具有完全性（完备性），或者说函数φn(x) (n=1,2,...) 组成完全系（完备系）。

2

ˆ取λn的几率，|cλ|2dλ是在态中测得力学量在λ→λ力学量取值及几率：|cn|应表示力学量F+dλ范围内的几率。

补充： 1. 电子自身具有一固有磁矩，且该磁矩的空间取向只有两个。 2. n种运动方式就有n种状态。但这n个状态的能量是相同的，这种情况叫做n重简并。

3. 相对论效应：电子椭圆轨道运动中，速度变化，而保持角动量不变，所以电子的质量在轨道运动

中是一直改变的。这种情况的效果是，电子的轨道不是闭合的，主量子数相同而角动量量子数不同的轨道速度变化不同，因而质量的变化和进动的情况完全不同。质量情况不同，其能量略有差异，从而导致原来的简并态成为非简并态，引起能量的差异，导致光谱的精细结构。

4. 波恩提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒子的几率。发现一个实物粒子的几率

同德布罗意波的波函数平方成正比。|Ψ(r)|2 的意义是代表电子出现在r 点附近几率的大小，确切的说，|Ψ(r)|2dxdydz表示在r 点附近，体积元dxdydz中找到粒子的几率。 5. 一维线性谐振子的本征值E(n12), n0,1,2, 基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。

6. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基

态能量 E0={1/2}ħω ≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。 7. 氢原子的能级：Ene42n22n1,2,3,

氢原子的本征态：nlm(r)Rnl(r)Ylm(,)，组成正交归一系。

氢原子波函数宇称：波函数的宇称将由P l m (ζ)的宇称决定，而Pl m(cos) 具有 ( l + m ) 宇称，则氢原子波函数的宇称与角量子数有关，根据角量子数的奇偶性改变。

8. 碱金属原子中，价电子的总角动量（也是原子的总角动量，因为原子实角动量为0）为：

pll(l1)l*pjplpslsj ,即jls。而确切根据爱因斯坦修正之后为：pss(s1)s*

*pj(j1)jj9. 力学量算符的要求：

1、 力学量算符必须是线性算符

2、 力学量算符的本征值必为实数—算符为厄密算符 3、 力学量算符为线性厄密算符，其中：坐标算符xc11c22c1x1c2x2、动量算符

ˆxc11c22c1pˆx1c2pˆx2均为线性厄密算符 p10. 算符之积一般不满足交换律，即ÔÛ ≠ ÛÔ（因为(ÔÛ) Ψ= Ô (ÛΨ) ，而(ÛÔ) Ψ= Û (ÔΨ) ，一

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般不等）。这是算符与通常运算规则的重要不同之处。

ˆi，单位算符Iˆ均为线性算符。 11. 动量算符p12. 如果(ÛΨ)*= Û*Ψ*，则Û*称为算符Û的复共轭算符。相当于把Û表达式中的所有量换成复共轭。

~ˆˆ* 13. 厄密共轭算符相当于复共轭算符和转置算符的综合。OOˆOˆ）的算符称为厄密算符。厄密算符就是厄密共轭算符ˆd (Oˆ)*d（或者O14. 满足*O与自身相等的算符，（转置的复共轭算符是其本身）。

ˆ。则称λ为算符Ô的本15. 如算符Ô作用于一个函数Ψ，等于一个常数与该函数的积，即 O征值，Ψ为属于（对应）本征值λ的本征函数，这一方程称为算符Ô的本征值方程。

22ˆUr，16. H哈密顿算符将动量换成了动量算符。这反映了从力学量的经典表示得出量子

2力学中表示该力学量算符的规则：如力学量O在经典力学中有对应的力学量O(r,p)，则表示这个力学量的算符Ô可由经典表示式O(r,p)中将r、p换为其对应的算符而得出，即

ˆrˆˆˆˆpˆirOOr,pOr,i。例如：角动量算符：L

17. 动量 p 的本征函数再乘以因子exp[(-i/)Et]，就是自由粒子的波函数。动量 p 可连续取值，即组

成连续谱。对于自由粒子，其运动不受限制，可在空间任何位置出现，全空间的几率总和不是有

限值，所以波函数不能归一化为1，而只能归一化为δ函数。动量 p 的本征函数可取为：

(r)piexppr

(2π)32118. 采用箱归一化的方法进行变换可以把连续本征值的动量本征函数，转化为分立本征值求解，最后

在当 L   时，变回连续谱进行分析 19. 在箱式边界条件中：

（1）由 px = 2nx  / L, py = 2ny  / L, pz = 2nz  / L,可以看出：相邻两本征值的间隔  p = 2  / L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L   时，本征值变成为连续谱； （2）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为1，连续谱归一化为  函数；

（3） p(r) ´ exp[–iEt/] 就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值 ；

（4）周期性边界条件是动量算符厄密性的要求。

20. 厄密算符本征函数的正交性（厄密算符本征函数总可以取为正交归一化，即组成正交归一系） （1） 厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交 m*nd0 （2） 厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，即组成正交归一系。

1,mn1. 分立谱正交归一条件为：m*ndmn

0,mn2. 连续谱正交归一条件为：*d()

3. 满足上述正交归一化条件的函数系φn 或φλ ，就称为正交归一（函数）系。

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xˆxpˆxxi。但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对21. 算符 xp不对易。ˆpxixˆpˆxi；pˆpˆpˆpˆ0 易。xpˆLˆiLˆ 【自旋角动量S同样】 ˆ,Lˆ]iLˆ-------------- L22. 角动量算符的对易关系：[Lxyzˆ时，ˆ和G23. 当在  态中，测量力学量F如果同时具有确定值，那么 必是二力学量共同本征函数。

定理：若两个力学量算符有一组共同的本征函数且构成完全系，则二算符对易。例如：

ˆ,Lˆ2,Lˆ氢原子中：H两两对易；znlm(r)Rnl(r)Ylm(,)共同完备本征函数系：2同时有确定值：E,l(l1),m.nˆ22Lˆ,Lˆ,Lˆ两两对易；空间转子：Hz2Il0,1,2, Ylm(,)共同完备本征函数系：m0,1,ll(l1)2同时有确定值：El,l(l1)2,m.2I24. 测不准关系反映了两个不对易的力学量不确定度的大小，是反映力学量关系的重要公式。 ˆ的本征值为：Q1、Q2、...、Qn、...，相应本征函数为：u1(x), 25. 波函数表现方式：设算符Qˆ本征态展开： u2(x), ...,un(x), ...，则任意态Ψ(x,t)可向Qx,tan(t)un(x)nan(t)un*(x)x,tdx，

ˆ表象中的表示。 则a1(t)、a2(t)、...、an(t)、...，就是波函数Ψ(x,t)所描写状态在 Qˆ表象中波函数可以用分立谱展开ˆ，且在Q26. 算符在一般表象中的表示形式：根据算符定义F(x,t)am(t)um(x)mˆ(x,i)u(x)dx。 ，则有bn(t)Fnmam(t)，其中Fnmun(x)Fmx(x,t)b(t)u(x)mmmm0102ˆˆˆˆˆLyLLY(,)27. Lx、、z在L、z共同表象lm，l =1子空间的表示矩阵Lx101，

20100i0100Ly） i0iLz000（算符在本身表象中肯定为对角阵！

200100i28. 对于在本身表象中的算符表示，即以对角阵的方式，其对角元素即为该算符的本征值。例如：Ĥ(0)

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ˆ(0)是对角矩阵H100030，是Hamilton Ĥ(0)在自身表象中的形式。所以能量的0级近似为：E1(0) 002= 1 ；E2(0) = 3； E3(0) = - 2

ˆnnn1aˆnnn1为产生算符，29. 产生湮灭算符：用狄拉克算符表示：其中aˆnn1n1a1ˆˆˆaxp2i2ˆaˆaˆ称为粒子数算符是厄密算符。 ˆnn1n1为湮灭算符。。Na1aˆˆˆpx2i230. 产生湮灭算符性质：

ˆ ˆ,aˆ]1I1. 对易姓：[a2. 湮灭和产生算符a、a+不是厄密算符 ˆ|naˆaˆ|naˆn|n1n(n1)1|nn|n 3. N

量子力学基本假设

1、 波函数完全描述粒子的状态.

2、 波函数随时间的演化遵从 Schrödinger 方程.

3、 力学量算符：量子力学中，力学量用厄密算符表示，其本征函数组成完全系且满足正交归一化条

件。有经典对应的力学量算符，可由经典表示式中将p换为 i（r不变）得出。

ˆFnnnˆ4、 力学量取值的几率分布：体系状态波函数Ψ可向力学量F的本征函数Φ展开：，ˆF*ˆcnncd其中cn*nd,cd。则在Ψ态中测量力学量Fn为λn的几率

n是|cn|，得到结果在λ→λ+dλ范围内的几率是|cλ

2

|dλ

2

。