1. 已知直线A．
是
的切线，则的值为 （ ） B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 ∴
，
，则。
∴切点为
，曲线
过
【考点】切线方程、对数运算。
点评：根据导数的几何意义，先把切点利用k表示，再利用切点是切线和曲线的公共点代入已知方程求值。
2. 已知函数，则的值为 . 【答案】 【解析】令，则 =， ∴= 【考点】求导法则的灵活应用
点评：本题是一个技巧题，在无法求的条件下，借助积的求导运算法则和0这个特殊值，消去，避免了求的运算。
3. 一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为是 （ ） A．1秒末 B．0秒
C．4秒末
，那么速度为零的时刻
D．0,1,4秒末
【答案】D
【解析】求导函数s′=t3-5t2+4t=t（t-1）（t-4） 令s′=0，可得t（t-1）（t-4）=0 ∴t=0或t=1或t=4，故选D。
【考点】本题主要考查函数模型、导数的应用。
点评：本题以函数为载体，考查函数模型的构建及导数的应用，属于中档题。
4. （2006年广东卷）设函数分别在、处取得极小值、极大值.
平面上点
A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线
的对称点
求：(Ⅰ)点A、B的坐标 ； (Ⅱ)动点Q的轨迹方程
【答案】(Ⅰ) 点A、B的坐标为.(Ⅱ) 【解析】分析：根据极值点得，根据附近导数判断极小值、极大值点；根据向量的数量及对称点坐标关系可求得Q点轨迹. 解: (Ⅰ)令解得 当时,, 当时, ,当时, 所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故 ,
所以, 点A、B的坐标为. (Ⅱ) 设
，
，
，所以，又PQ的中点在上，所以
消去得
【考点】本题主要考查向量数量积、导数的应用。
点评：本题主要考查了向量和导数的结合，（2）中求轨迹方程，使用了“相关点法”.
5. （2006年安徽卷）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
（Ⅰ）证明（Ⅱ）证明
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的
；
其中和均为常数； 时，设
，讨论
在
内的单调性并求极值.
【答案】（Ⅰ）见解析。（Ⅱ）见解析。 （Ⅲ）当
时，函数
在
内取得极小值，极小值为
【解析】分析：（Ⅰ）抽象函数通过赋值法求解. （Ⅱ）通过赋值，构做的关系. （Ⅲ）利用（Ⅱ）中关系，表示出，利用导数研究函数单调性与极值性. 证明（Ⅰ）令，则，∵，∴。 （Ⅱ）①令假设成立。 ②令假设
时，，∵时，成立。∴
（Ⅲ）当令当当所以当
时，，得时，时，时，函数
； ，∴，∴
在
是单调递减函数； 是单调递增函数；
内取得极小值，极小值为
，∴，∵
，∴
，则，，则
成立.
，
，则
，而 ，而
，∴
，即
。
，∴
，即
【考点】本题主要考查分段函数、抽象函数及导数在研究单调性方面的应用。 点评：在抽象函数的求值和求解析式中要注意通过赋特殊值构造求解关系. 6. 设函数A．
, 则
B．
( )
C．
D．以上均不对
【答案】A 【解析】
【考点】常数的导数
点评：本题应注意运算顺序，先求出
7. 点在曲线A．
上移动，设点处切线的倾斜角为，则的取值范围（ ） B．
，再求0的导数。
==0
C．
D．
【答案】B 【解析】∵
，∴
，∴
求
【考点】导数的几何意义、倾斜角和斜率的关系
点评：根据导数的几何意义得点导数的值就是曲线在处切线的斜率。然后再根据出的范围。
8. 求下列函数的导数。 ①【答案】①②【解析】①∴②===
。
； ②
【考点】基本函数的求导运算
点评：本题主要考查学生对求导公式的掌握情况，①给出的是乘积式，先展开化简再求导；②中注意把
转化为
来求。
且与曲线
，
相切的直线方程。
9. .求垂直于直线
【答案】所求的直线方程为【解析】直线
的斜率为，所以待求的直线斜率为
令，解得。把代入曲线方程中，得 所以所求的直线方程为，即。 【考点】求切线方程
点评：本题根据两直线垂直斜率之积为-1，先求出切线斜率，再利用导数的几何意义求切点坐标，最后利用点斜式方程求出。
10. 过点作抛物线的切线，则其中一条切线为 （ ）
A．； B．； C．； D．
【答案】D
【解析】设为作抛物线上一点，则在该点处切线的斜率为
的抛物线的切线的方程为，又，
又， 解之得，于是 则：过（0，1）的切线方程为，即 过（-2，-3）的切线方程为，即 故选D
【考点】切线方程的求法。
点评：求过已知点的切线方程时，先要判断已知点是否为切点。本题中因点
，于是过点
不在抛物线
上，所以要先求出切点坐标，再求切线方程。
11. 已知函数f(x)=【答案】a=1,b=1． 【解析】=若b≠1,则
= 不存在
=
(Δx+1)=1
，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导．
∴b=1且a=1时，才有f(x)在x=0处可导 ∴a=1,b=1．
【考点】本题主要考查导数的概念及其应用。
点评： 利用导数的定义求函数的导数，注意遵循“算增量，求比值，求极限”。
12. 两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速率为30 km/h,B车向东行驶，速率为40 km/h,那么A、B两车间直线距离的增加速率 ． A.50km/h B.60 km/h C.80 km/h D.65 km/h 【答案】50 km/h．
【解析】建立平面坐标系0-xy，令A车速度v1=30km/h，方向沿y轴正方向；令B车速度v2=40km/h，
方向沿x轴正方向；且令他们在原点0（十字路口）相遇，时间t=0时刻． 则在t时刻，A车前进位移Sy=30t，方向沿y轴正方向； B车前进位移Sx=40t，方向沿x轴正方向． 那么A、B车在t时刻距离为S=
=50t，
故两车间距离的变化速率为v=dS/dt=50km/h．故答案为 50km/h． 【考点】本题主要考查变化率的概念、导数的应用。
点评：通过建立坐标系，明确了变量关系，得到S=50t，是解题的关键。
13. ．当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.
(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度；(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么? 【答案】(1)细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000. (2)细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少. 【解析】(1)b′(t)=\"-2\" 000t+10 000,
b′(t)|t=5=\"-2\" 000×5+10 000=0, b′(t)|t=10=\"-2\" 000×10+10 000=\"-10\" 000, 即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000. (2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,由-2 000t+10 000<0,得t>5,
即细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少. 【考点】本题主要考查函数模型、导数的应用。
点评：本题以函数为载体，考查函数模型的构建及导数的应用，属于中档题。
14. 04湖南文）若A．
与
B．
在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围（ ）
C．（0，1）
D．
【答案】D 【解析】因为
在区间[1,2]上都是减函数，故
，得
，
；
，在区间[1,2]上都是减函数，故故选D.
【考点】本题主要考查导数在研究函数单调性方面的应用。
点评：在给定区间，导数大于0，函数是增函数；导数小于0 ，函数是减函数。
15. （2006年江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ ） A．f（0）＋f（2）<2f（1） B．f（0）＋f（2）£2f（1） C．f（0）＋f（2）³2f（1） D．f（0）＋f（2）>2f（1）
【答案】C
【解析】依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有 f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C.
【考点】本题主要考查导数在研究函数单调性方面的应用。
点评：在给定区间，导数大于0，函数是增函数；导数小于0 ，函数是减函数。
16. （2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【答案】（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【解析】分析：结合物理知识进行求解. 解：（I）当要耗没
时，汽车从甲地到乙地行驶了
（升）。
小时，
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。 （II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了依题意得
令得 当时，是减函数； 当时，是增函数。 当时，取到极小值 因为在上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【考点】本小题主要考查函数、导数及其应用。
点评：解答本题关键在于首先构建函数模型，运用导数等数学知识分析和解决实际问题.
17. 一物体的运动方程是,的单位是米,的单位是秒,该物体在3秒末的瞬时速度是 ( ) A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒
小时，设耗油量为
升，
【答案】C
【解析】由导数的意义可得该物体在3秒末的瞬时速度是∣t=3=5。
【考点】导数的意义
点评：导数的意义是瞬时变化率，在本题中即瞬时速度。
。∵，∴
18. 已知【答案】
，，又，且，.求
【解析】题中有四个参数由,得 于是有由由
,得,得
,,故
为确定它们的值需要四个方程.
①
,∴ ② ③
∴由①,②,③得∴
【考点】函数的求导运算。 点评：本题重点是求四个参数的值，所以先把已知条件化成关于的方程，再计算。
19. 已知的导数,且,求不等式的解集. 【答案】①当时,不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当，不等式的解集为； ④当时，不等式的解集为； ⑤当时，不等式的解集为。 【解析】, ∴. , ∴ ∴ ∴. 令,则 ①当时,不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当，不等式的解集为； ④当时，不等式的解集为； ⑤当时，不等式的解集为
【考点】函数的求导运算，含参数不等式的解法。
点评：在已知导函数求原函数时，应注意不要漏掉常数项。对字母的讨论是本题的难点；解三次或三次以上的不等式时，用数轴穿根法。
20. 两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 【答案】arctan
【解析】首先求得交点横坐标x=±1，y=x2+1求导数得=2x，y=3－x2
求导数得=-2x，所以两切线的斜率分别为2，-2或-2,2.由直线的夹角公式得，夹角为arctan。 【考点】本题主要考查导数的几何意义、两直线的夹角公式。
点评：利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及夹角公式等基础题知识，考查了运算求解能力，具有一定综合性。
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