八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题(第1课时)学案(新版)新人教版

13.4 课题学习 最短路径问题(第1课时)

学习目标

1.掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.

2.能利用轴对称和平移解决实际问题中路径最短的问题.

学习过程

一、深化探究

1.问题1:要在公路上修建一个泵站C,分别向公路两侧A,B两镇供气,泵站修在什么地方,可使泵站C到A,B两镇所用的输气管线最短?

教师再次提问:“如果另取一点C',你能证明此时的距离超过了刚才的距离吗?”

2.问题2:“饮马问题”.

如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河流l边饮马,然后到B地,牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?

“为什么这样作出来的点就是所求作的点呢?” 二、深化提高

变式1:已知直线m,l和点B,在直线m,l上分别取点A、点C,使点B到点C再到点A的距离之和最小.

变式2:如图,有两条直线m,l和一点B,在直线m,l上分别取点A、点C,使△BAC的周长最小.

变式3:如图,有两条直线m,l和点B、点D,在直线m,l上分别取点A、点C,使四边形DACB的周长最小.

变式4:如图,一艘旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径.

三、反思小结

1.通过这节课的学习,你获得了哪些数学知识和方法?

2.这节课你参与了哪些数学活动?谈谈你获得知识的方法和经验.

四、布置作业

(必做)1.如图,∠XOY内有一点P,在射线OX上找出一点M,在射线OY上找出一点N,使PM+MN+NP最短.

(选做)2.如图:A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮水,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线.

参考答案

一、深化探究

问题1:作法:连接AB,交直线l于点C,

AC+BC最短.

问题2:作法:

(1)作点B关于直线l的对称点B'; (2)连接AB',与直线l相交于点C. 则点C即为所求.

如图,在直线l上任取一点C'(与点C不重合),连接AC',BC',B'C'.

由轴对称的性质知, BC=B'C,BC'=B'C'. ∴AC+BC=AC+B'C=AB', AC'+BC'=AC'+B'C'.

在△AB'C'中,AB'二、深化提高

变式1:作点B关于直线m的对称点B',过B'作直线l的垂线,垂足为C,BA+AC最短.

变式2:作法:分别作点B关于直线m,l的对称点B',B″,

连接B'B″交直线m,l于点A,C. 此时,△BAC的周长最小.

变式3:作法:作点D关于直线M的对称点D',

点B关于直线l的对称点B',连接D'B', 交直线m,l于点A,C,

此时,四边形DACB的周长最小.

变式4:作Q关于直线BC的对称点Q',连接PQ'交BC于R, 则旅游船线路P——Q——R——P为最短路径.

四、布置作业

1.解:如图所示,分别以直线OX,OY为对称轴,作点P的对称点P1与P2,连接P1P2,分别交OX于点M,交OY于点N,则PM+MN+NP最短.

2.解:作A关于ON的对称点E,B关于OM的对称点F,连接EF交ON于点C,交OM于点D,连接AC,BD,即可得出答案.