第8章 整式乘法与因式分解单元测试卷（B卷提升篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2019•黄冈校级期中）下列计算正确的是（ ） A．x4•x4＝x16
C．（ab2）3÷（﹣ab）2＝﹣ab4
B．（a3）2•a4＝a9
D．（a6）2÷（a4）3＝1
【分析】根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可． 【答案】解：A、x4×x4＝x8，原式计算错误，故本选项错误； B、（a3）2•a4＝a10，原式计算错误，故本选项错误；
C、（ab2）3÷（﹣ab）2＝ab4，原式计算错误，故本选项错误； D、（a6）2÷（a4）3＝1，计算正确，故本选项正确； 故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
2．（3分）（2019秋•历下区期中）人体内一种细胞的直径约为0.00000156m，数据0.00000156用科学记数法表示为（ ） A．1.56×105
﹣
B．1.56×106
﹣C．15.6×107
﹣D．﹣1.56×106
﹣
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【答案】解：0.00000156用科学记数法表示为1.56×106，
﹣
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边
﹣
起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2019春•故城县校级期中）下列各式中，计算结果为9a8b4的是（ ） A．27a10b8÷3a2b2 C．9a10b7÷（a2b）3
B．﹣（3a6b2）2 D．（3a4b2）2
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断． 【答案】解：A、原式＝9a8b6，不合题意； B、原式＝﹣9a12b4，不合题意； C、原式＝9a4b4，不合题意；
D、原式＝9a8b4，符合题意， 故选：D．
【点睛】此题考查了整式的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（3分）（2019春•常州期中）若a3•am＝a5÷an，则m与n之间的关系是（ ） A．m+n＝﹣2
B．m+n＝2
C．mn＝
D．mn＝15
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得关于m、n的方程．
【答案】解：a3•am＝a3+m＝a5÷an＝a5n，
﹣
3+m＝5﹣n． 移项，得 m+n＝2， 故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
5．（3分）（2019春•历城区期中）将下列多项式因式分解，结果中不含因式x﹣1的是（ ） A．x2﹣1 C．x2﹣2
B．x（x﹣2）+（2﹣x） D．x2﹣2x+1
【分析】原式各项分解因式得到结果，即可做出判断． 【答案】解：A、原式＝（x+1）（x﹣1），不合题意； B、原式＝（x﹣1）（x﹣2），不合题意； C、原式不能分解，符合题意； D、原式＝（x﹣1）2，不合题意， 故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（3分）（2019春•海曙区期中）已知xy2＝﹣2，则﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）的值为（ ） A．2
B．6
C．10
D．14
【分析】先利用单项式乘多项式的法则化简，然后运用积的乘方的逆运算整理结果，使其中含有xy2，再整体代入xy2＝﹣2计算即可． 【答案】解：∵xy2＝﹣2，
∴﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）＝﹣x3y6+x2y4+xy2＝﹣（xy2）3+（xy2）2+xy2＝﹣（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）＝
8+4﹣2＝10； 故选：C．
【点睛】此题考查了单项式乘多项式，解题的关键是运用积的乘方的逆运算，使化简后的式子中出现xy2的因式．
7．（3分）（2019秋•海淀区校级期中）将多项式a2﹣6a﹣5变为（x+p）2+q的形式，结果正确的是（ ） A．A、（a+3）2﹣14 C．（a+3）2+4
B．（a﹣3）2﹣14 D．（a﹣3）2+4
【分析】已知多项式配方得到结果，判断即可．
【答案】解：根据题意得：a2﹣6a﹣5＝（a2﹣6a+9）﹣14＝（a﹣3）2﹣14， 故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（3分）（2019秋•孟津县期中）M＝（a+b）（a﹣2b），N＝b（a﹣3b）（其中a≠b），则M，N的大小关系为（ ） A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．无法确定
【分析】根据多项式乘以多项式表示出M、N，再利用求差法即可比较大小． 【答案】解：M＝（a+b）（a﹣2b） ＝a2﹣ab﹣2b2 N＝b（a﹣3b） ＝ab﹣3b2 a≠b．
M﹣N＝a2﹣ab﹣2b2﹣ab+3b2 ＝（a﹣b）2＞0． 所以M＞N． 故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是求差法比较大小． 9．（3分）（2019秋•文登区期中）如果257+513能被n整除，则n的值可能是（ ） A．20
B．30
C．35
D．40
【分析】先把把257转化成514，再提取公因式513，最后把513化成512×5，即可求出答案． 【答案】解：257+513 ＝514+513
＝513×（5+1） ＝513×6 ＝512×30， 则n的值可能是30； 故选：B．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把257转化成514，再提取公因式进行因式分解即可． 10．（3分）（2018秋•南昌期中）图（1）是一个长为 2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．a2﹣b2
B．（a﹣b）2
C．（a+b）2
D．ab
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
【答案】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形， ∴正方形的边长为：a+b，
∵由题意可得，正方形的边长为（a+b）， 正方形的面积为（a+b）2， ∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． 故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2019•连云港校级期中）计算：（2x+1）（x﹣3）＝ 2x2﹣5x﹣3 ．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可． 【答案】解：原式＝2x2﹣6x+x﹣3 ＝2x2﹣5x﹣3． 故答案是：2x2﹣5x﹣3．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 12．（3分）（2019春•文登区期中）如果等式（2x﹣1）x+2＝1，则x的值为 x＝1，x＝﹣2或x＝0 ．
【分析】根据非零的零次幂等于1，﹣1的偶数次幂是1，1的任何次幂是1，可得答案． 【答案】解：当2x﹣1≠0且x+2＝0时，解得x＝﹣2； 当2x﹣1＝1时，解得x＝1；
当2x﹣1＝﹣1，且x+2是偶数时，解得x＝0， 故答案为：x＝1，x＝﹣2或x＝0．
【点睛】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 13．（3分）（2019春•巴州区校级期中）若ab＝﹣3，a﹣2b＝5，则a2b﹣2ab2的值是 ﹣15 ． 【分析】直接利用提取公因式法将原式变形进而计算得出答案． 【答案】解：∵ab＝﹣3，a﹣2b＝5， ∴a2b﹣2ab2＝ab（a﹣2b） ＝﹣3×5 ＝﹣15． 故答案为：﹣15．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法，正确分解因式是解题关键． 14．（3分）（2019秋•思明区校级期中）计算：40372﹣8072×2019＝ 1 ． 【分析】把8072×2019变为4038×4036，再套用平方差公式计算得结果． 【答案】解：原式＝40372﹣2×4036×2019 ＝40372﹣4036×4038
＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1） ＝40372﹣（40372﹣1） ＝1 故答案为：1
【点睛】本题考查了因式分解的提公因式法，把8072×2019变为4038×4036，套用平方差公式是解本题的关键．
15．（3分）（2019秋•南安市期中）若a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．
【分析】a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，即可求解．
【答案】解：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式平方差的形式，是解题的关键．
16．（3分）（2019秋•枞阳县校级月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图表格，此表揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如： （a+b）0＝1，它只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1； …
根据以上规律，（a+b）5展开的结果为 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ．
【分析】通过观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n
﹣1
相邻两项的系数和．因此可得（a+b）5的各项系数分别为1、（1+4）、（4+6）、
（6+4）、（4+1）、1，解答即可．
【答案】解：根据题意知，（a+b）5的各项系数分别为1、（1+4）、（4+6）、（6+4）、（4+1）、1， 即：1、5、10、10、5、1，
∴（a+b）5展开的结果为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
【点睛】本题考查了完全平方公式的推广，要注意寻找题中的关键着眼点是：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n
﹣1
相邻两项的系数和．
三．解答题（共6小题，满分52分） 17．（8分）（2018春•龙华区期中）计算：
（1）（）2×（﹣1）4+|﹣9|×（2018﹣3.14）0；
﹣
（2）（a+b）（a﹣2b）﹣a（a﹣b）+（3b）2
【分析】（1）直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接利用多项式的乘法运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案． 【答案】解：（1）原式＝9×1+9×1
＝18；
（2）原式＝a2﹣ab﹣2b2﹣a2+ab+9b2 ＝7b2．
【点睛】此题主要考查了实数运算以及整式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18．（8分）（2019秋•路南区期中）（1）因式分解：9a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y） （2）解方程：（x+3）（x﹣5）﹣（x+1）（x﹣1）＝2
【分析】（1）先变形，再提取公因式，最后根据平方差公式分解即可． （2）先转化为一元一次方程的形式，然后解方程． 【答案】解：（1）9a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a2﹣b2） ＝（x﹣y）（3a+b）（3a﹣b）．
（2）（x+3）（x﹣5）﹣（x+1）（x﹣1）＝2 x2﹣2x﹣15﹣x2+1＝2 ﹣2x﹣14＝2 ﹣2x＝16 x＝﹣8．
【点睛】考查了多项式乘多项式，单项式乘单项式，以及因式分解，属于基础计算题． 19．（8分）（2019春•江阴市校级月考）（1）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n的值； （2）已知9•32x•27x＝317，求x的值．
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值； （2）已知等式左边变形后，利用幂相等求出x的值即可． 【答案】解：（1）∵10m＝2，10n＝3， ∴原式＝（10m）3•（10n）2＝8×9＝72； （2）已知等式整理得：35x+2＝317， 可得5x+2＝17， 解得：x＝3．
【点睛】此题考查了幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（8分）（2019春•常州期中）已知x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20． （1）求xy的值； （2）求x2+y2+4xy的值．
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再把x+y＝3代入，即可求出答案； （2）先根据完全平方公式变形，再代入求出即可．
【答案】解：（1）∵x+y＝3，（x+3）（y+3）＝xy+3（x+y）+9＝20， ∴xy+3×3+9＝20， ∴xy＝2；
（2）∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2+y2+4xy＝（x+y）2+2xy＝32+2×2＝13．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟记多项式乘以多项式法则和乘法公式是解此题的关键．
21．（10分）（2018秋•浦东新区期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值； （3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？ 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可； （2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b），然后运算多项式乘多项式法则求得（5a+8b）（7a+4b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．
【答案】解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣47×2＝50． （3）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b）＝35a2+76ab+32b2， ∴x＝35，y＝32，z＝76，
∴x+y+z＝143．
答：那么他总共需要143张纸片．
【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、完全平方公式的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 22．（10分）（2018秋•雨花区校级月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ （m+1）（m﹣5） ．
（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值． （3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．
【分析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）
2
﹣9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非负数的性质进行解答．
【答案】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．
故答案为（m+1）（m﹣5）；
（2）2a2+3b2﹣4a+12b+18＝2（a2﹣2a）+3（b2+4b）+18＝2（a2﹣2a+1）+3（b2+4b+4）+4＝2（a﹣1）
2
+3（b+2）2+4，
当a＝1，b＝﹣2时，2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，最小值为4； （3）∵a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27
＝a2﹣4a（b+1）+4（b+1）2+（b﹣2）2+19 ＝（a﹣2b﹣2）2+（b﹣2）2+19，
∴当a＝6，b＝2时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值19．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
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