2017年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5分）设函数y=A∩B=（ ）
A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1） 2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+A．1或﹣1 B．
或﹣
C．﹣
D．
的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则
i，z•=4，则a=（ ）
3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ） A．p∧q
B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
，则z=x+2y的最大值是（ ）
4．（5分）已知x，y满足约束条件A．0
B．2
C．5
D．6
5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知
xi=22.5，
yi=160，
=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A．160 B．163 C．166 D．170
6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（ ）
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A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ） A．a+＜
＜log2（a+b））
B．
＜log2（a+b）＜a+
C．a+＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+＜
8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A．
B． C． D．
9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ） A．a=2b
B．b=2a
C．A=2B
D．B=2A
+m的图象
10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y=有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
第2页（共26页）
，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，]∪[3，+∞）
）∪[2，+∞）
D．（0，
11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= ． 12．（5分）已知
，
是互相垂直的单位向量，若
﹣
与
+λ
的
夹角为60°，则实数λ的值是 ．
13．（5分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支
与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
15．（5分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣知f（
）=0．
）+sin（ωx﹣
），其中0＜ω＜3，已
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移，
]上的最小值．
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣
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17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是（Ⅰ）设P是
的中点．
上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
19．（12分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2． （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．
20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．
第4页（共26页）
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：率为
，焦距为2．
=1（a＞b＞0）的离心
（Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣直线OC的斜率为k2，且k1k2=
交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：
3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
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2017年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5分）设函数y=A∩B=（ ）
A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）
【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．
【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=2]，
由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1）， 则A∩B=[﹣2，1）， 故选：D．
【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+A．1或﹣1 B．
或﹣
C．﹣
D．
的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则
的定义域[﹣2，
i，z•=4，则a=（ ）
【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值． 【解答】解：由z=a+由z•=（a+
i）（a﹣
i，则z的共轭复数=a﹣
i，
i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，
∴a的值为1或﹣1， 故选：A．
【点评】本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题．
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3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（ ） A．p∧q
B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．
【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；
取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题． ∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题． 故选：B．
【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．
4．（5分）已知x，y满足约束条件A．0
B．2
C．5
D．6
，则z=x+2y的最大值是（ ）
【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是 由
解得的点A的坐标，
代入目标函数求出最大值． 【解答】解：画出约束条件
表示的平面区域，如图所示；
由解得A（﹣3，4），
此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大， 所以目标函数z=x+2y的最大值为 zmax=﹣3+2×4=5． 故选：C．
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【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．
5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知
xi=22.5，
yi=160，
=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A．160 B．163 C．166 D．170
【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高． 【解答】解：由线性回归方程为=4x+， 则=
xi=22.5，=
yi=160，
则数据的样本中心点（22.5，160），
由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70， ∴回归直线方程为=4x+70， 当x=24时，=4×24+70=166， 则估计其身高为166， 故选：C．
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【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．
6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（ ）
A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案． 【解答】解：当输入的x值为7时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3； 第二次，满足b2＞x，故输出a=1； 当输入的x值为9时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3； 第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0； 故选：D．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．
7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
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A．a+＜＜log2（a+b）） B．＜log2（a+b）＜a+
C．a+＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+＜
【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系． 【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1， ∴可取a=2，b=．
则∴
=4，=
=，log2（a+b）==∈（1，2），
＜log2（a+b）＜a+．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ） A．
B． C． D．
【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有
=36种不同情况，
且这些情况是等可能发生的，
抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=故选：C．
【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础题．
第10页（共26页）
=20种， =，
9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ） A．a=2b
B．b=2a
C．A=2B
D．B=2A
【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．
【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，
可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA， 由正弦定理可得：2b=a． 故选：A．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．
10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y=有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[2
D．（0，
，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，]∪[3，+∞）
）∪[2
，+∞）+m的图象
【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，②、当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数， 函数y=
+m为增函数，
分2种情况讨论：
①、当0＜m≤1时，有≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]， 函数y=
+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
第11页（共26页）
②、当m＞1时，有＜1，
y=（mx﹣1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数， 函数y=
+m为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m， 解可得m≤0或m≥3， 又由m为正数，则m≥3；
综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）； 故选：B．
【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= 4 ． 【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1=∵含有x2的系数是54，∴r=2． ∴
=54，可得
=6，∴
=6，n∈N*．
（3x）r=3r
xr．
解得n=4． 故答案为：4．
【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（5分）已知
，
是互相垂直的单位向量，若
．
﹣
与
+λ
的
夹角为60°，则实数λ的值是
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
【解答】解：【方法一】由题意，设
=（1，0），
=（0，1），
第12页（共26页）
则+λ
﹣=（，﹣1），
=（1，λ）；
又夹角为60°， ∴（即
﹣λ=
．
，
是互相垂直的单位向量，
•
=0；
的夹角为60°， +λ
）=|
•
﹣
|×|
+λ=
|×cos60°，
×
﹣
）•（，
+λ
）=
﹣λ=2×
×cos60°，
解得λ=
【方法二】∴|又∴（即
|=|﹣﹣
|=1，且 与
+λ
）•（
+（﹣1）×，
﹣λ
化简得即
﹣λ=
﹣λ=×，
×，
解得λ=．
．
故答案为：
【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
13．（5分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 2+
．
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【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积． 【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=×π×12×1=则该几何体的体积V=V1+2V1=2+故答案为：2+
．
，
，
【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右支
与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 y=±
x ．
=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣
【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线
2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出． 【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB=
，
=1（a＞0，b＞0），
第14页（共26页）
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2×=4×， ∴∴=
=p， ．
x．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=±故答案为：y=±
x．
【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ①④ ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断．
【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=exf（x）=上的增函数；
对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=exf（x）=对于③，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=ex•x3，
g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0， ∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立， ∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数． ∴具有M性质的函数的序号为①④． 故答案为：①④．
【点评】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中
第15页（共26页）
为实数集
为实数集上的减函数；
档题．
三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣知f（
）=0．
）+sin（ωx﹣
），其中0＜ω＜3，已
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移，
]上的最小值．
）=0
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（求出ω的值；
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣
]时g（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣=sinωxcos==
﹣cosωxsin
﹣sin（
﹣ωx）
）+sin（ωx﹣
）
，
sinωx﹣cosωx sin（ωx﹣
）=
）， sin（
ω﹣
）=0，
又f（∴
ω﹣=kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2， 又0＜ω＜3， ∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=
sin（2x﹣
），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到
第16页（共26页）
函数y=sin（x﹣）的图象；
个单位，得到y=）； ∈[﹣
，
]， sin（x+
﹣
）的图象，
再将得到的图象向左平移∴函数y=g（x）=当x∈[﹣∴sin（x﹣∴当x=﹣
，
sin（x﹣]时，x﹣
）∈[﹣，1]，
×
=﹣．
时，g（x）取得最小值是﹣
【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．
17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是（Ⅰ）设P是
的中点．
上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°； （Ⅱ）法一、取
的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取
AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．
法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．
【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，
第17页（共26页）
∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP， ∴BE⊥BP，又∠EBC=120°， 因此∠CBP=30°； （Ⅱ）解法一、 取
的中点H，连接EH，GH，CH，
∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形， ∴AE=GE=AC=GC=
．
取AG中点M，连接EM，CM，EC， 则EM⊥AG，CM⊥AG，
∴∠EMC为所求二面角的平面角． 又AM=1，∴EM=CM=
在△BEC中，由于∠EBC=120°，
由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12， ∴
，因此△EMC为等边三角形，
．
故所求的角为60°．
解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，故设由设由
，可得，得
，
，
为平面AEG的一个法向量，
，取z1=2，得
为平面ACG的一个法向量，
，取z2=﹣2，得
． ；
，3），C（﹣1，．
，0），
∴cos＜＞=．
∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．
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【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．
18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．
【分析】（1）利用组合数公式计算概率；
（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望． 【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， 则P（M）=
=
．
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（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4， ∴P（X=0）=
=
，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）=∴X的分布列为
X P
=．
0
1
+1×
2 +3×
3 =2．
4
X的数学期望EX=0×+2×+4×
【点评】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．
19．（12分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2． （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积Tn．
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【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；
（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．
【解答】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0， 由题意得
，
两式相比得：∴x1=1， ∴xn=2n﹣1．
，解得q=2或q=﹣（舍），
（II）过P1，P2，P3，…，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Qn， 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn， 则bn=
=（2n+1）×2n﹣2，
∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，① ∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，② ①﹣②得：﹣Tn=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1 =+∴Tn=
﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．
．
【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．
20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极
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值，有极值时求出极值．
【分析】（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．
（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．
由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．
对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．
【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．
∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）． 化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．
（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx） h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx） =2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．
令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增． ∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．
（1）a≤0时，ex﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；
x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减． ∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a． （2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0． 解得x1=lna，x2=0．
①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减； x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增． ∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos
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（lna）+2]．
②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增． ③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减； x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增． ∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．
x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．
0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．
a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：率为
，焦距为2．
=1（a＞b＞0）的离心
（Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣
交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，
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直线OC的斜率为k2，且k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：
3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=
．由题意设知
．得到直线OC
的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin
=
．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠
SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得．
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由题意得△=
，
＞0．
．
∴|AB|=
由题意可知圆M的半径r为 r=
．
．
由题意设知，，∴．
因此直线OC的方程为．
联立，得．
因此，|OC|=由题意可知，sin
=
．
．
而=．
令t=因此，
，则t＞1，∈（0，1），
=
≥1．
当且仅当∴
，即t=2时等式成立，此时，因此
．
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．
∴∠SOT的最大值为．
，取得最大值时直线l的斜率为
．
综上所述：∠SOT的最大值为
【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴题．
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