天津市蓟县2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理(扫描版)

天津市蓟县2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理（扫描版）

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2015-16学年度第二学期期中试卷

高二数学（理）

一．选择题 题号 1 答案 C 二．填空题

11. 2cos2x 12.

2 B 3 A 4 A 5 C 6 A 7 B 8 C 9 D 10 D 111n25 13. ,(n2且nN)

A1A2An(n-2)14.i 15.2

三．解答题

2222

16解：复数z＝(m－4m)＋(m－m－6)i，对应点的坐标为Z(m－4m，m－m－6)．

(Ⅰ)点Z在第四象限，则

2m0或m4m4m0,解得 22m3mm60∴-2即－3m＋9＝0，∴m＝3. …………………………………………………………10分

17. ①当n=1时，左边=1，右边=21=1，等式成立。…………………………...2分

②假设当n=k时，等式成立，即1222则当n=k+1时，1222所以，当n=k+1时等式成立。

由此可知，对任何nN，等式都成立。. ………………………………10分

18. 解：令f'(x)0，得x11，x13………………………………………2分

*2

2

12k12k1……………………….4分

2k12k2k12k2k11………………….8分

x变化时，f'(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：

(3,) (1,3) -1 3 x (,1) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值f(1) 减 极小值f(3) 增 ……………………………..6分 （Ⅰ）由表可得函数的递减区间为(1,3) ……………………………..8分 （Ⅱ）由表可得，当x1时，函数有极大值f(1)16；

当x3时，函数有极小值f(3)16. ……………………..10分 19. 解：（Ⅰ）f(x)6x6ax3b，

2 11

因为函数f(x)在x1及x2取得极值， 则有f(1)0，f(2)0．

即66a3b0，

2412a3b0．解得a3，b4．…………………………………………………………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2x39x212x8c，

f(x)6x218x126(x1)(x2)．f(x)0解得x1,x2,………….6分

x 0.1 1 0 (1,2) - 2 0 2,3  f(x)  f(x) 增 极大值 减 极小值 增 ……………………………………………………………………………8分

最小值为f(0)8c,最大值为f(3)98c.…………………………………………10分 20解：（I）由f(x)(x2ax2a3)ex可得

f(x)(2xa)ex(x2ax2a3)ex[x2(2a)xa3]ex………..4分 ∵x2是函数f(x)的一个极值点，∴f(2)0

2∴(a5)e0，解得a5 ……………..6分

（II）由f(x)(x2)(x1)ex0，得f(x)在(,1)递增，在(2,)递增，

由f(x)0，得f(x)在在(1,2)递减

∴f(2)e2是f(x)在x[,3]的最小值； ………………….8分

32373f()e2，f(3)e3 2437313332∵f(3)f()eee2(4ee7)0,f(3)f()

24423∴f(x)在x[,3]的最大值是f(3)e3．…………………………………10分

2 附加题

12

1证明:(1)当n1时,左=

1112625,不等式成立………………………….2分 234242411125．……………4分 k1k23k124（2）假设当nk时，不等式成立，即

则当nk1时，

111有

(k1)1(k1)23(k1)11111111 k1k23k13k23k33k4k125112． 243k23k43(k1)116(k1)22， 3k23k49k18k83(k1)116(k1)22， 3k23k49k18k83(k1)1120．………………………………………………………8分 3k23k43(k1)因为所以所以

所以当nk1时不等式也成立． 由（1）（2）知，对一切正整数n，都有

2

11125， …………10分 n1n23n1242解：（Ⅰ）设f(x)=ax+bx+c,则f (x)=2ax+b．

f(1)0,2ab0,a1, 由题设可得：f(0)2,即b2,解得b2,

f(0)3,c3.c3.所以f(x)=x-2x-3．……………………………………………………………….4分

2423

（II） g(x)=f(x)=x－2x－3，g (x)=4x－4x=4x(x－1)(x+1)．列表：

x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)

f(x) － 0 + 0 － 0 +

f(x) ↘ ↗ ↘ ↗

由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)． ………………….10分

2

a2ax2a2 3解: （Ⅰ）f'(x), 22ax1(1x)(ax1)(1x)∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)0,即a12a20,解得a1.………4分

13

（Ⅱ）f'(x)ax2a2(ax1)(1x)2,

∵x0,a0, ∴ax10.

①当a2时，在区间(0,)上，f'(x)0,∴f(x)的单调增区间为(0,). ②当0a2时， 由f'(x)0解得x2aa,由f'(x)0解得x2aa, ∴f(x)的单调减区间为（0，2-aa),单调增区间为（2-aa，）.……10分14