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第三章：中值定理与导数的应用

§3.1 中值定理

本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo定理：Rollo定理：若函数f(x) 满足：（i）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii）f(x) 在（a,b）可导，（iii）f(a) =f(b), 则在（a,b）内至少存在一点，使得f'()=0.

证明：由（i）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况： （1） M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m，f'(x)＝0，因此，可知为（a,b）内任一点，都有f'()＝0。 （2）

M>m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设Mf(a)（对

mf(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点，使得f()=M,即f(x)在点得最大值。下面来证明：f'()=0

首先由（ii）知f'()是存在的，由定义知：

f'()=limxf(x)f()f(x)Mlim …….(*) xxx因为M为最大值，对x有 f(x) Mf(x)－M0, 当x>时，有

f(x)f()f(x)M0

xx当x<时，有

f(x)f()f(x)M0。

xx又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于f()，即

f(x)f()0 和 f()f_()f()，然而，又有 f()f()limxxf(x)f()f()f()lim0 f()0。

xx

注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。

2：定理中的点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数f(x)在点处取得最大值或最小值，则有f()0。

3：Rolle定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于x轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于x轴。

【例1】 设多项式p(x)的导函数p(x)没有实根，证明p(x)最多只有一个实根。

二、 Lagrange中值定理

在Rolle定理中，第三个条件为(iii)f(a)f(b)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是Lagrange中值定理：

若函数满足：(i)f(x)在[a,b]上连续；(ii)f(x)在(a,b)上可导；则在(a,b)内至少存在一点，使得 f()f(b)f(a)。

ba若此时，还有f(a)f(b)， f()0。可见Rolle中值定理是Lagrange中值定理的一个特殊情况，因而用Rolle中值定理来证明之。

f(b)f(a)0 „„(1) 证明：上式又可写为 f()baf(b)f(a)(xa) „„(2) 作一个辅助函数：F(x)f(x)ba显然，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且

f(b)f(a)(aa)f(a)

baf(b)f(a)(ba)f(a) F(b)f(b)ba F(a)f(a)F(a)F(b)， 所以由Rolle中值定理，在(a,b)内至少存在一点,使得 F()0。 又F(x)f(x)f(b)f(a)ba 

f()f(b)f(a)f(b)f(a)0 或 f()。

baba

注 1：Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广；

2：定理中的结论，可以写成f(b)f(a)f()(ba)(ab)，此式也称为Lagrange公式，其中可写成： a(ba)(01)

f(b)f(a)f(a(ba))(ba) „„(3)

若令bah,f(ah)f(a)f(ah)h „„(4)

3：若ab，定理中的条件相应地改为：f(x)在[b,a]上连续，在(b,a)内可导，则结论为： f(a)f(b)f()(ab) 也可写成 f(b)f(a)f()(ba)

可见，不论a,b哪个大，其Lagrange公式总是一样的。这时，为介于a,b之间的一个数，(4)中的h不论正负，只要f(x)满足条件，(4)就成立。

4：设在点x处有一个增量x，得到点xx，在以x和xx为端点的区间上应用Lagrange中值定理，有 f(xx)f(x)f(xx)x (01)

即 yf(xx)x 这准确地表达了y和x这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。

5：几何意义：如果曲线yf(x)在除端点外的每一点都有不平行于y轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。

由定理还可得到下列结论：

定理：如果yf(x)在区间I上的导数恒为0，则f(x)在I上是一个常数。

证明：在I中任取一点x0，然后再取一个异于x0的任一点x，在以x0，x为端点的区间J

上，f(x)满足：(i)连续；(ii)可导；从而在J内部存在一点，使得

f(x)f(x0)f()(xx0) 又在I上，f(x)0，从而在J上，f(x)0， f()0， 所以f(x)f(x0)0 f(x)f(x0) ， 可见，f(x)在I上的每一点都有：f(x)f(x0) （常数）。

三、 Cauchy中值定理

Cauchy中值定理：若f(x),F(x)满足：

(i) f(x),F(x)在[a,b]上连续； (ii) f(x),F(x)在(a,b)内可导； (iii)F(x)在(a,b)内恒不为0； (iv)F(a)F(b)；

则在(a,b)内至少存在一点，使得

f()f(b)f(a)。 F()F(b)F(a)证明：令(x)f(b)f(a)F(x)f(x)，显然，(x)在[a,b]上连续，且(x)在(a,b)内

F(b)F(a)可导，更进一步还有 (a)(b)，事实上，

(b)(a)f(b)f(a)f(b)f(a)F(b)f(b)F(a)f(a)

F(b)F(a)f(b)F(a) f(b)f(a)(F(b)F(a))(f(b)f(a))0

F(b)F(a) 所以(x)满足Rolle定理的条件，故在(a,b)内至少存在一点，使得()0，

又(x)f(b)f(a)f(b)f(a)F(x)f(x) F()f()0

F(b)F(a)F(b)F(a)f()f(b)f(a) F()F(b)F(a) 因为F()0， 

注 1：Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，事实上，令F(x)x，就得到Lagrange

中值定理；

Xf(x) 2：几何意义：若用 （axb）表示曲线c，则其几何意义同前一个。

YF(x)

【例1】 若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)f(x2)f(x3)，其中

ax1x2x3b，证明在(x1,x2)内至少有一点，使得f()0。

【例2】 若x0，证明

xln(1x)x。 1x证明：对x00，取[a,b][1,1x0]， f(x)lnx，

不难验证：f(x)满足Lagrange中值定理的条件，故在(1,1x0)内至少存在一点，

使f()1满足

ln(1x0)ln11(1x01)，即ln1(x0)x0 1(11x0) xx111 00x0 1x01x0 x0ln1(x0)x0 由x0的任意性，知本题成立。 1x0

注：条件“x0”可改为“x1”，结论仍成立。

【例3】 证明：sinasinbab。

【例4】 证明：若f(x)在(a,)上可导，且limf(x)k,limf(x)存在，则limf(x)0。

xxx

§3、2 LHospital法则

在求limxaf(x)f(x)或lim时，若发现f(x),F(x)同趋于0，或同趋于，则此时上述F(x)xF(x)xmxm极限可能存在，也可能不存在。要根据具体的函数来进一步确定，如limn，limn，

x0xxx0或型的未定式（不定式），这种未定式是不能用“商的极限0等于极限的商”这一法则来计算的。

sinx0y0【例】lim是型的未定式，若f(x)连续，则两增量之比的极限lim也是型的

x0x0xx00未定式。

我们通常把这种极限称为

本节运用导数来求一般未定式的极限，这就是LHospital法则。 定理：（LHospital法则）若f(x),F(x)满足： (i)limf(x)limF(x)0；

xaxa (ii) f(x),F(x)在a的某去心邻域内可导，且F(x)0； (iii)limxaf(x)A（A可为有限数，也可为或）； F(x)f(x)A。 F(x)则： limxa证明 ：由于函数在a点的极限与函数在a点的函数值无关，因此，求limxaf(x)与f(a),F(a) F(x)的值无关，不妨补充定义：f(a)0,F(a)0，这样f(x),F(x)在a点就连续了，在a点附近任取一点x，在以a和x为端点的区间上运用Cauchy中值定理，则至少存在一点（介于a和x之间），使得

f(x)f(a)f()f(x) F(x)F(a)F()F(x)f(x)f()limlimA， xaF(x)0F() 再令xa，因为介于a与x之间，故有a, 证毕。

注 1：“xa”可改为“x”或“x”，只不过对(ii)作相应的修改，结论仍

成立。 2：若limxa0f(x)仍为型未定式，则可再次使用法则，这时，

0F(x) limxaf(x)f(x)f(x)limlim直到极限不是未定式为止。 xaxaF(x)F(x)F(x) 3：LHospital法则的三个条件缺一不可，表现在(a)若不是未定式，则不能使用，否则会导致错误；(b)若(iii)不成立，也不能用，否则也会导致错误；

 4：型未定式的LHospital法则：可将上定理的(ii)(iii)不变，(i)改为：

 (i)′：limf(x)limF(x) 即可，结论仍成立。

xaxa 5：其它还有0,,1,00,0等型的不定式，但它们经过简单的变形都可化为

sinx。

x0xsinxcosxlimlimcosx1。 解：limx0x0x0x1

1cosx【例2】 求lim。

xtan2x0型或型的未定型，然后LHospital法则。 0【例1】 求lim1cosxlim解：limxtan2xxsinxcos3x1lim()。 x1222tanxcos2x

ex1【例3】 求lim。

x0sinxex1exlin1。 解：limx0sinxx0cosx

lnx （n>0）。

xxn1lnx1解：limnlimxlim0。

xxxnxn1xnxn

【例4】 求limxn【例5】 求limx，（n为正整数，0）。

xexnnxn1n(n1)xn2n!limlim0。 解：limxlimxexexxxnex2ex

注 1：[例5]中的n可推广到任意正数；

2：[例4][例5]说明当x时，ex,xn,lnx(0,n0)都是无穷大量，但ex较xn高阶，xn较lnx高阶，不妨用以下记号表示：exxnlnx。

【例6】limxxsinx能否用LHospital法则？

xsinx解：若用LHospital法则，则有

sinxxsinx1cosxxsinxx101。 lim lim不存在， 但limlimxxsinxx1cosxxsinxxsinx10x1x1这说明对本题LHospital法则不适合，这是为什么？这是因为定理的第三个条件不满足。

【例7】limxlnxx0(0) （0型lnxx,）。 11xlnx

1【例8】lim(1)xx0x(1) （0型

ln(1x)lnx）。

1x

1(e) （1型，同上）【例9】lim(1)x。

xx

§3、3 Taylor公式

多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的一个重要内

容，在§2、8中，我们已见过：sinxx,ex1x,(1x)11x1x 等近似计算公式，n就是多项式表示函数的一个特殊情形，下面我们将推广到一个更广泛的、更高精度的近似公式。

设f(x)在x0的某一开区间内具有直到(n1)阶导数，试求一个多项式

Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n „„(1) 来近似表达f(x)，并且Pn(x)和f(x)在x0点有相同的函数值和直到n阶导数的各阶导数，

(n)即：Pn(x0)f(x0),Pn(x0)f(x0),Pn(x0)f(x0),,Pn(x0)f(n)(x0)。

下面确定Pn(x0)的系数a0,a1,an，通过求导，不难得到

a0f(x0),a11f(x0),a212f(x0),a3123f(x0),ann!f(n)(x0) 

f(x0)f(n)(x0)2Pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n „„(2)

2!n!这个Pn(x)即为所求。

Taylor中值定理：如果函数f(x)在x0的某区间(a,b)内具有直到(n1)阶的导数，则当

x(a,b)时，f(x)可表示为(xx0)的一个多项式Pn(x)和一个余项Rn(x)之和：

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x) „„(3)

2!n!f(n1)()其中Rn(x)(xx0)n1 （介于x0与x之间）

(n1)!证明：令Rn(x)f(x)Pn(x)， 下证在x0与x之间，使得：

f(n1)() Rn(x)(xx0)n1

(n1)! 由于f(x)有直到(n1)阶导数，故Rn(x)在(a,b)内有直到(n1)阶Pn(x)为多项式，

(n)导数，并且Rn(x0)Rn(x0)Rn(x0)Rn(x0)0。现对函数Rn(x)和

(xx0)n1在以x0和x为端点的区间上应用Cauchy中值定理，

Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn(1) （1在x0与x之间）

(xx0)n1(xx0)n1(x0x0)n1(n1)(1x0)nRn(1)Rn(1)Rn(x0)Rn(2) nnnn1(n1)(1x0)(n1)(1x0)(n1)(x0x0)(n1)n(2x0) （2介于1与x0之间）

如此继续下去，经过(n1)次后，一个n1介于n与x0之间，使得

Rn(x)Rn(n1) ， 显然n1介于x0与x之间。一般地，记号 (n1)!(xx0)n1 n1(n1)Rn(x)Rn() n1(n1)!(xx0)(n1) 又因为 Rn(x)f(x)Pn(x) 而Pn(x)为n次多项式，故当 Pn(n1)(x)0Rn(n1)(x)f(n1)(x)

Rn(x)f(n1)()f(n1)()n1 或 （介于x0与x之间）。 R(x)(xx)n0n1(n1)!(n1)!(xx0)

注1：（3）式称为f(x)按(xx0)的幂展开到n阶的Taylor公式，Rn(x)的表达式（4）称

为Lagrange型余项；

2：当n0时（3）变为：f(x)f(x0)f()(xx0) （介于x0与x之间），这就是

Lagrange公式；

3：从（3）式可看出：用（2）式的多项式Pn(x)来近似表达f(x)，所产生的误差为Rn(x)，

再由（4）式，不难看出：若在(a,b)上，有f(n1)(x)M，则有：

Rn(x)Rn(x)Mn此时lim，即(xx0)n1，0R(x)((xx))n0nxx0(xx)(n1)!0(xx0)

4：若特别地，取x00，这时（3）式变为：

f(0)2f(n)(0)nxxRn(x) „„（5） f(x)f(0)f(0)2!n!f(n1)()n1 这里Rn(x)，我们称（5）为f(x)的Maclourinx （介于0与x之间）

(n1)!公式。

【例1】 求f(x)ex的Maclourin公式。 解： f(x)f(x)f(x)f(n)(x)ex



f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1， 又f(n1)(x)ex 所以 f(n1)(x)exexRn(x)xn1(n1)!(01)，

令代入（5）式得：

x2xnexe1xxn12!n!(n1)!x(01)。

【例2】 求f(x)sinx的Maclaurin公式。

解： f(n)(x)sin(k)2f(n)(0)sink， 2当n1，5，9，13，„„时f(n)(0)1， 当n2，6，10，14，„„时f(n)(0)0， 按（15）式，得：

x3x5x2m1m1sinxx(1)R2m(x)

3!5!(2m1)!f(x)2m1x(2m1)!(2m1)sin(x其中：R2m(x)注：P2m(x)P2m1(x)

(2m1))2x2m1(2m1)!(01)。

R2m(x)R2m1(x)。

2mx2x4mx同理有：cosx1(1)R2m1(x)， 2!4!(2m)! 其中：R2m1(x)

cos(x(m1))2m2x(2m2)!(01)。

【例3】求(1x)的Maclourin公式。 解

(1x)1x：

(1)2!x2(1)(2)3!x3(1)(2)(n1)n!xnRn(x)其中：Rn(x)

(1)(2)(n)(n1)!xn1(1x)n1， （01）

【例4】求ln(1x)的Maclourin公式。

nx2x3n1x(1)Rn(x) 解：ln(1x)x23nn!xn1(1)n1(1x)Rn(x)n(n1)!(1)n1xn1()。 n11x

§3、4 函数单调性的判定法

单调函数是函数中的一个重要部分，从图形上看，单调增加（减少）函数是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线，曲线上各点处切线斜率都是非负的（非正的），即 yf(x)0,(yf(x)0)减，则yf(x)0。

则yf(x)0，若yf(x)单yf(x)单增，

下面来证明反之亦成立，设yf(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，在[a,b]内任取两点x1,x2(x1x2)，在区间[x1,x2]上应用Lagrange中值定理，故在(x1,x2)内至少存在一点，使得：f(x2)f(x1)f()(x2x1)，因为 x2x10同号，

（i）若在(a,b)内，f(x)0，则有f()0此时，yf(x)单增；

（ii）若在(a,b)内，f(x)0，则有f()0此时，yf(x)单减； 综和上述正反两方面，得：

判定法：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则： （1）f(x)在[a,b]上单增的充要条件是f(x)0； （2）f(x)在[a,b]上单减的充要条件是f(x)0。

注1：此“单增”或“单减”与课本上的意义有些区别，它是指：若x1x2，则有

“f(x1)f(x2)”或“f(x1)f(x2)”或称“不减”或“不增”。而对x1x2时，有 “f(x1)f(x2)”或“f(x1)f(x2)”时，称为“严格单增”或“严格单减”。在不

特别要求下，也可称为“单增”或“单减”。

2：若f(x)在(a,b)内有f(x)0(f(x)0)，则f(x)在[a,b]上严格递增（严格递减）； 严格递增（i）f(x)0； （ii）在任何子区间上f(x)0。 3：[a,b]可换成其它任何区间，包括无穷区间，结论成立。

【例1】 证明：当x0时，xln(1x)。 证明：令f(x)xln(1x)f(x)11x0 1x1xf(x2)f(x1)与f()即f(x2)f(x1)，f(x2)f(x1)0，

即f(x2)f(x1)，f(x2)f(x1)0，

所以，当x0时，f(x)0，所以f(x)为严格递增的

f(x)f(0)0ln(10)0，所以xln(1x)。

【例2】讨论f(x)3xx3单调性。

解：f(x)3xx33(1x)(1x)

（Ⅰ）当1时，f(x)0 所以f(x)在(,1)上严格递减； （Ⅱ）当1x1时 , f(x)0 所以f(x)在[-1，1]上严格递增； （Ⅲ）当1x时，f(x)0 所以f(x)在[1,)上严格递减。

【例2】中的(,1],[1,1],[1,)通常称为单调区间并且(,1],[1,)称为单调增加区间，[-1，1]称为单调减少区间，而x1,x1二点恰为单调区间的分界点，不难知f(1)f(1)0。

一般讲，f(x)在定义域内未必单调，但可用适当的一些点把定义域分为若干个区间，便得f(x)在每一个区间上都是单调函数。而这些分点主要有两大类：其一是导数等于0的点，即f(x)0的根；其二是导数不存在的点。事实上，只要f(x)在定义域内连续，且只在有限n个点处导数不存在，则可用分点将区间分为若干个小区间，使得f(x)在各小区间上，保持有相同的符号，即恒正或恒负，这样f(x)在每个小区间上为增函数或减函数，各小区间则相对地称为单增区间或单减区间。 【例3】求y(2x5)3x2的单调区间。

解：y2x5x在（-∞，+∞）上连续，当X≠0时，

532310310310x1 yxx3333x再令y′=0，解得，X=1为导数等于0的点，又当X=0时，函数的导数的存在，所以X=0为不可导的点，现用X=0和X=1作为分点来将（-∞，+∞）分为（-∞，0），[0，1]和[1，+∞]三个区间。

（Ⅰ）在（-∞，0）上，f(x)0，所以f(x)在(,0)上为单增函数； （Ⅱ）在（0，1）上，f(x)0，所以f(x)在[0，1]上单减； （Ⅲ）在(1,)上，f(x)0，所以f(x)在（1，+∞）上单增。

【例4】方程lnxax（其中a＞0）有n个实根？

1f(x)a 解：设f(x)lnxaxx11x，用x点将其定义域（0，+∞）分为（0，1/a）令f(x)0,aa和[1/a，+∞]二个区间，且

111（Ⅰ）当0x时，f(x)0，所以f(x)在(0,)是单增的，故当x时，

aaa211f(x)f()。

a111（Ⅱ）当x时，f(x)0，所以f(x)在[,)上为单减的，故当x时，

aaa1f(x)f()。

a11由（Ⅰ）（Ⅱ）知，当x时，f(x)f()(1lna)即对

aax(0,),f(x)(1lna)，下面来讨论lnxax有几个实根：

（a）若1+lna＞0，即a＞1/e时，f(x)＜0，即方程无解。

（b）若1+lna=0，即a=1/e时，f(x)0，且仅在X=1/a=e时，有f(x)=0，此时，方程有唯一的解。

（c）若1+lna＜0，即0＜a＜1/e时，f（1/a）＞0，又在（0，1/a）上，f(x)单增，且

x0limf(x)，，故在（0，1/a）上，函数f(x)与x轴有一个且只一个交点，即方程

x的根，又在[1a,)上，f(x)单减，且limf(x)，故在(1a,)上，f(x)与X轴有一个且只有一个交点，即方程的根，合起来，此时方程有二个实根。

§3.5 函数的极值的求法

上节[例3]中，用X=0，和X=1两点将f(x)(2x5)3x2的定义域（-∞，+∞）分为三小区间（-∞，0），[0，1]，[1,)，使用f(x)分别在这三个小区间上单增，单减，单增（见图），从图中不难看出，在X=0的一个较小范围内，f(x)在X=1点的最小区间都是虑的局部情况，而不是整体这就是将讨论的极值。

定义：设函数f(x)在点X0的某邻域U(x0)上有定义，若对xU(x0)有f(x)f(x0)，（f(x)f(x0)）

定义：设函数f(x)在点X0处的得极大值（极小值）点X0称为极大点（极小点），极大值，极小值统称为极值，极大点，极小点统称为极点。显然在上节[例3]中，X=0，X=1均为极点，注：极大点，极小点未必统一。

定理1：（极值的必要条件），若函数f(x)在x0点可导，且取得极值，则f(x0)0。

注： 1、一般地，f(x0)在xx0处有f(x0)0，就称x0为f(x)的驻点或稳定点，上定理1即是可导函数的极点必为稳定点。

2、定理1不是充分的即驻点未必是极点，及例：f(x)x3在x=0处的情况。 3、定理1只对可导函数而言，对导数不存在的点，函数也可能取及极值，例：f(x)=∣x∣，在x=0点的导数不存在，但取得极小值。

4、证明可仿照Rolle 中值定理的证明，此处不证了。

如何判别f(x)在x0点取得极值，有下二个定理：

定理2（判别法1），设连续，f(x)在x0点连续，在x0的某一定心邻域U0(x0)内可

导

（Ⅰ）若当x∈（x0 –σ，x0 ）时，f′（x）≥0，当x∈（x0，x0 +σ）时，f′（x）≤0，则f（x）在x0点取得极大值。

（Ⅱ）若当x∈（x0 –σ，x0 ）时，f′（x）≤0，当x∈（x0，x0 +σ）时，f′（x）≥0，则f（x）在x0点取得极小值。

定理3（判别法2）设f（x）在x0的某邻域内可导，且f（x0）=0，f′（x0）存在

（Ⅰ）若f″（x0）＜0，则f（x）在x0点取得极大值。 （Ⅱ）若f″（x0）＞0，则f（x）在x0点取得极小值。 （Ⅲ）若f″（x0）=0，则此差别法2换效。

证：（Ⅰ）f″（x0）=lim f′（x）- f′（x0）/x- x0= lim f′（x）/ x- x0＜0

故存在x0的某邻域U（x0 ，σ），当X∈（x0 ，σ）时，f′（x）/x- x0。即f′（x）与x- x0反号，当x∈（x0 –σ，x0）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，x0+σ）时，f′（x）＜0；由差别法1，f（x）在x0点取得极大值。 （Ⅲ）[反例1] f（x）=x2 在x=0点取得极小值。

[反例2] f（x）=x3 在x=0点取不到极值。

[例1]上节[例2] f（x）=3x-x3

[例2]求f（x）=（x-2）2/3（2x+1）的极值 解：由f(x)10(x1)3x230x1为驻点；

又f(x)10310102x50 ，所以 f(1)91393(x2)4所以f(x)在x1处取得极大值，且极大值为f(1)3。又f(x)在x2处不可导，对充分小的0当x(2,2)时，f(x)0；当x(2,2)时，f(x)0，由判别法1知f(x)在x2处取得极小值，且极小值为f（2）=0，所以f（x）在x=1处取得极大值3，在x=2处取得极小值0。

§ 3.6 最大值、 最小值问题：

现讨论求最大值，最小值的问题，最大（小）值是一整体概念是指函数在定义域内取到的了最大数，最小数。与极大值，极小值不同。如果最大（小）值在定义域内部取得，则此最大（小）值必为极大（小）极，这时，最大（小）点必为导数不存在的点和驻点，另外最大（小）值还可能在定义域的端点上取得（若端点在定义域中的

话）。

由此，若f（x）在定义域上取到最大（小）值。现给出求f（x）在区间Ⅰ上的最大（小）值办法：

（i）求出f（x）在Ⅰ上的所有驻点不可导点和端点。

（ii）求出f（x）在这些点上的函数值，再进行比较：最大（小）者即为所求的最大

（小）值。

特别地，若f（x）在[a，b]上连续，可导，此时最大（小）值必在驻点和端点a、b中取得。

[例1]求f（x）=x4-2x2+3在区间[-3，2]上的最大值和最小值。 解：因为f（x）在[-3，2]上连续，故最大值，最小值一定存在。

又f（x）在[-3，2]内可导，即无不可导的点，下求驻点； 令f(x)4x34x0x10,x21,x31为驻点。

而f(0)3,f(1)2,f(1)2又在端点处f(-3)=66，f（2）=11经过比较，得知最大者为66，最小者为2，∴f（x）在[-3，2]上的最大值为66，最小值为2。 思考题：f（x）=x4-2x2+3在 [-3，2]上是否存在最大，小值？为什么？ [例2]求f（x）=x4-8x2在[-1，1]上的最值。

解：f（x）在[-1，1]上连续，可导，∴最值存在，且在驻点和端点中取得。

令f′（x）=4x3-16x=4x（x2-4）=0

得x1=0，x2=2，x3=-2，因为2，-2∈（-1，1）故去掉，所以在[-1，1]中有一个驻点x=0，且f（0）=0。又在端点处，f（-1）=f（1）=-7，由比较得f（X）在[-1，1]上的最大值为0，最小值为-7。

注：上例中，S=0为f（x）在[-1，1]上的唯一的驻点，不难验证f（x）在x=0处取得极大值（因为f″（0）=-16），恰好，在x=0处f（x）上取得最大值，但这并非偶然，一般地有：

性质：设f（x）在区间Ⅰ内可导，且只有一个驻点x0，且若f（x）在x0点取得极大（小）值，则f（x）必在x0点取得最大（小）值。

[例3]在曲线y=1/x（x＞0）上取一点使之到原点的距离为最近

解：曲线上任一点（x，y）则（0，0）点的距离为sx2y2 即 sx21x2

，而求x使s最小值可转化为求x使s2=x2+1/x2最小，由题意知，这个最近距离是存

1x212在的，即函数的最小值存在。由(s)2x23230x11,x21

xx（舍去）

所以当x＞0时，只有一个驻点x=1，且在x=1点(s2)80。

所以s2在x=1处取得极小值2，所以s在x=1处取得极小值2。而这个极小值

2即为S在区间（0，+∞）上的最小值。

注：在实际问题中，若由题意得知最大值或最小值存在，且一定在所致虑的区间内部取得，此时，若在该区间内部只有一个驻点，那么不必再作讨论，就可断定f（x0）就是所求的最大值或最小者。

§3.7 曲线的凹凸与拐点

为了较准确地描出函数的图形，单知道函数的单调区间和极值是不行的，比如说，f（x）在[a，b]上单调，这时会出现图中的几种情况，l1是 一段凸弧l2是一段凹弧，l3即有凸的部分，也有凹的部分，曲线具有这种凸和凹的性质，称为凸凹性。

从几何意义上看，凸弧具有这种特点：从中任取两点，连此两点的弦总在曲线的下方。进而不难知道，在（a，b）中任意取两个点函数在这两点处的函数值的平均值小于这两点的中点处的函数值。凹弧也有相仿的特点。

定义：设f（x）在[a，b]上连续，若对Vx1，x2∈（a，b）恒有：

f（x1+x2/2）＜f（x1）+f（x2）/2或f（x1+x2/2）＞f（x1）+f（x2）/2 这称为f（X）在[a，b]上的图形是凹的（凸的）或凹弧（凸弧）。

注：1、有的书也用此线的位置来定义。

2、上面等式有些书上带等号，例如对y=x4

定理：设f（x）在[a，b]上连续在[a，b]内具有一阶和二阶导数，

（i）若在[a，b]内，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上的图形是凸的。 （ii）若在（a，b）内，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的。 证明：下面证（i）从（a，b）中任取二点x1，x2不防设x1＜x2

由lag range中值定理，

f(x2)f(x1x2xx1)f(1)(2)22(x1x21x2) 2x1x2) 2f(x1x2xx1)f(x1)f(2)(2)22(x12

所以

f(x1)f(x2)xx2xx2xx211f(1)[f(x2)f(1)][f(1)f(x1)]

222222xx1xx11[f(1)f(2)]2f()(12)2 224其中21,又因为f(x)0f(x1)f(x2)xx2f(1)0

22f(0

x1x2f(x1)f(x2))，由定义，即得。 22[例1]判别曲线y=2x2+3x+1的凹凸性

即 f(解：因为y′=4x+3，y″=4＞0

所以曲线y=2x2+3x+1在其定义域（-∞，+∞）上是凹的。 [例2]证明当x∈[0，1]时，有不等式

证：首先，由p1,x[0,1]xp(1x)x(1x)1，

11xp(1x)ppp 现证：p1x(1x)，即证 22pp2p1p2令f(x)xf(x)px.f(x)p(p1)x0

pf(x)xp的图形在[0，1]上凹的

x(1x)pxp(1x)p() 22[例3]讨论曲线y=arctanx的凹凸性

即

1xp(1x)pp222x11x1x当x﹥0时，y﹥0。曲线yarctanx在(,0)上是凹的,在(0,)是凸的

 解 y 2 ， y     2  当 x﹤0时，y﹥0；

从[例3]中不难知道点X=0为曲线的凹部分与凸部的分界点定义，连续曲线上的凸弧的分界点称为曲线的拐点。

若f（x）在（a，b）内有二阶导数，x0点的拐点，则有f″（x0）=0，且在x0左右两边，f″（x）异号，由此不难求拐点的步骤： （i）求出f″（x）=0，在（a，b）中的所有解x=x0。

（ii）对（Ⅰ）中所求的每一个x0，察f″（x）在x0左右两边的符号，若异号，则x0为拐点，若同号，则x0不是拐点。

21[例4]求 y  x  的拐点

x

解： y(1x)e,y(x2)e.令y0x2.xx 当x2时,y0,当x2时,y0.x2为拐点.

112010852 11323131(x1)2yxxx3解： 3529x8[例5]求 y  3 x x 5 x 2  的拐点。

令y″=0 x=1，但此时，在x=1附近，不论x＞1还是x＜1，都有y″＞0，∴x=1不是拐点。然而，当x=0时，y″不存在，但当x＜0时，y″＜0，当x＞0时，y″＞0，由定义知，x=0为拐点。

§ 3.8函数图形的描绘

根据前n节所学的知识，我们可较准确地画出函数的图，描绘函数图象的一般步骤：

1、确定函数的定义域，并求出f′（x），f″（x）

2、求出f′（x）=0和f″（x）=0的所有根，及不可导点，并用这些点将定义域分为若干个小区间。

3、确定f′（x）和f″（x）在这些子区间上的符号，并且由此确定的函数图形的升降，凹凸及极点和拐点。

4、确定水平，铅直渐近线，以及其它渐近线。 5、确定某些特殊点的坐标，比如：与坐标的交点。

6、沿x增大的方向按上讨论的结果，将点用曲线光滑连结起来，分点的坐标，以把图描得更准些，另外，还可以观察f（x）的奇偶性，周期性配合作用。

[例1]作出函数y=xe-x的图形

解（Ⅰ）y=xe-x的定义域为（-∞，+∞） y′=（1-x）e-x，y″=（x-2）e-x

（Ⅱ）令y′=0 x=1，令y″=0 X=2

用x=1，x=2，将Ⅲ（-∞，+∞）分为三部分（-∞，1），[1，2]，[2，+∞] Ⅲ（-∞，1）上，y′＞0，y″＜0，∴f（X）的图形在（-∞，1）上是单增的，且是凸的

在[1，2]上，y′＜0，y″＜0，∴f（x）的图形在（1，2）上是单减的，且是凸的

在[2，+∞]上，y＜0，y″＞0，∴f（x）的图形在[2，+∞]是单减的，且是凹的。

进而得x=1为极大点，x=2为拐点

（Ⅳ）当x→+∞时xe-x→0, ∴y=0是水平渐近线，当x→-∞时xe-x→-∞ （Ⅴ）f（1）=e-1，f（2）=2·e-2，f（0）=0，从而得四个点的f（-1）=-e坐标（0，0），（1，1/e），（2，2e-2），（-1，-e）

将（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的结果列成下表： X y′ y″ （-∞，1） 1 + - 0 - 极大

§ 3.9曲率 一、弧微分：

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内有连续导数，在曲线y= f（x）上取一点M0（x0，y0）为度量弧长的基点，规经沿x增大的方向为曲线的方向，对曲线上任一点M（x，y）有向弧段M0M的长度S规定如下：

S的绝对值等于M0M的长度，当有向弧段M0M的方向与曲线的正向一致时，S＞0，相反时，S＜0，显然，S是x的函数，S=S（x），且是X的单调增加函数，现求dS/dx及ds。

是x，x+△x是（a，b）内两个邻近的点，在曲线y=f（x）上对应的点为M，M′当x有增量△x时，设弧S有增量△S。

ds1y2ds1y2dx dx2ds1ydx

（1，2） - - ↘凸 2 - 0 拐点 （2，+∞） - + ↘凹 Y=f（X）的图形 ↗凸 二、曲率的计算公式

我们学过不少直线，但直线是不弯的，曲线是弯曲的，但各地方，弯曲的程度是不同的，比如，一族同心圆，直径大的弯曲程度没有直径小的厉害。那么用什么来描述弯曲程度的呢？这里我们用曲率，设曲线上M点对应的弧长为S，

切线的倾角α+△α，我们用比值 表示弧MM的平均弯曲程度，即平均曲

s率，记为 Ks特别地令△S→0，这里M′→M，这时，称上平均曲率的极限： k为曲线在M点的曲率，若 k  lim 存在，则有： ks0

dyyddx2 dx1yy 2又ds1ydxk322(1y)tgysec2.sddslims0s

[例1求圆X2+y2=a2上各点的曲率 解： 2x2yy0x

三、曲率圆与曲率半径

在M点处的直线，靠凹的一侧上取一点D，使 DM以D为圆心，为半径作圆。

§ 3.10方程的近似解

有时，方程f（x）=0的解是比较难求的，故用近似的解来代替。所谓 f（x）=0的解，就是曲线y= f（x）与x轴交点的横坐标。

首先，假设f（x）=0的解在（a，b）之中，并且f（a），f（b）异号，又设f（x）在[a，b]上连续，且有二阶导数，且在[a，b]上，f′（x）与f″（x）不变号，此时，y= f（x）在（a，b）上单调，且其凹凸性不变，这样y= f（x）在（a，b）上的图形不外乎有四种：又由f（x）单调 f（x）=0在 （a，b）内只有一个解。

一、弦位法

对图1来分析，连A（a，f（a））和B（b，f（b））两点，得直线：

2yy0yxy(1y2)1(y)yy0yy2y1y11k332yy1y(1y22)(1y2)211x2y2a1xy1()2y若曲线方程为

(t)(t)(t)(t)xk322y(t)(t)21kf(b)f(a)yf(a)(xa)ba

它与x轴的交点的横坐标为： x1a

baf(a)f(b)f(a)x1axa)上更用上述同样的方法。使 2 f ( a如此继续下去，直到

f(x1)f(a)显然x1比b更接近x0，这是第一次代替，为了保证更高精度，在区间[a，x1]

xkxk1小于指定的误差为止。

二、切线法

对图1来分析，在A（a，f（a））作切线y- f（a）= f′（a）（x- a）它与x轴交

f(a)点的横坐标为 x1af(a)显然x1′比a更接近x0，这是第一次逼近，为了更精确，在（x1′f（x1′））点再作切线，等第二次逼近

xx2)f(x1)1f(x1如此下去，直到x小于指定误差为止。 xkk1一般地，作切线的端点的纵坐标与f″（x）同号 三、综合法

这是把弦位法与切线结合在一起使用一对图1来分析：

用统位法及x1，用切线法得x1，现用[x1′，x1]代替[a，b]在[x1′，x1]上用综合法，使第二次改进法规x2′，x2，如此下去，直到∣xR- xR′∣小于指定的误差为止。