数学建模思想融入高等代数课程概念教学的研究与实践

Journal of Xiangnan University

湘南学院学报

Apr.，2019V〇1.40 No.2

数学建模思想融入高等代数课程概念

教学的研究与实践

(湘南学院数学与金融学院，湖南郴州423000)

摘要：本文从概念的产生过程、自然形成概念和理解概念形式的多样性等方面探讨了如何将数学建模思想融入高等 代数课程概念教学中.

关键词：高等代数;概念教学;数学建模思想中图分类号：642

田元生

G

文献标识码

：A DOI： 10.3969/j.issn. 1672-8173.2019.02.015

高等代数课程是数学与应用数学和信息与计算科学两个专业的最重要的基础课程之一.学生普遍反映这 门课程很难学，主要体现在内容抽象，概念难以理解.在教学过程中，有些教师只注重定理推理的证明过程，注 重解题技巧的训练，而忽略了讲清概念产生的过程，挖掘概念的内涵与外延.结果导致学生对所学概念一知半 解，无法深刻理解教学内容，更谈不上形成能力.数学建模思想，本质是要培养学生灵活运用数学知识解决实际 问题的能力,在这一过程中，我们需要培养学生的抽象思维、简化思维、批判思维等数学能力[1].要灵活运用数 学知识解决实际问题，前提是深刻理解并熟练掌握数学概念.在高等代数课程概念教学中融人数学建模思想， 应尽量在实际问题中找到概念的具体模型，紧扣问题导向，让学生体验概念产生过程，了解概念的来龙去脉， 并让学生在探索，发现、总结、归纳中自然形成概念，帮助学生理解概念形式的多样性，抓住概念的本质特性最 终达到激发学生的学习兴趣，提高学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本文从以下三个方面论述了在 高等代数课程概念教学中，如何融人数学建模思想.

1结合具体模型，体验概念产生过程

在高等代数课程教学中，学生普遍反映概念比较抽象，很难理解.这就要求教师在讲解一个新的概念时，要

注意概念的引入，能结合具体模型，让学生体验概念的产生过程.并通过实例，使学生在从具体问题的中感知概 念，从中观察、分析，提炼出概念的本质特性.

如在“欧几里得空间”概念的教学中，可以给合具体模型，让学生体验概念产生过程.首先，把几何空间作 为线性空间理论的一个具体模型,在这个模型中，让学生自己分析考察向量之间除了加法与数量乘法基本运 算外,还有度量性质，如长度、夹角等.进而让学生认识到，有必要在一般实数域上的线性空间中，引入向量之间 的度量关系.其次，给合具体模型，引导学生在实数域上的线性空间中建立向量之间的度量关系.在几何空间 中，向量的长度和夹角可以通过向量的坐标得到，而在一般的线性空间中，这种方法难以实现，必须另辟蹊径. 可以引导学生自己发现在几何空间中向量的长度和夹角与内积的关系

这里0是《与)8的夹角[2]，即向量的长度和夹角都可以用内积来表示,从而启发学生，在实数域上的线性空间 可以通过引人类似于几何空间中的内积，来建立向量的度量关系.然后，通过分析几何空间中内积的基本性质, 归纳出反映内积本质属性的四条性质，进而引导学生建立清淅完整的“欧几里得空间”概念.最后，可以列举一

收稿日期=2018-09-11

基金项目：湖南省普通高等学校教学改革项目（湘教通〔2016〕400号）作者简介：田元生（1962—），男，湖南郴州人，教授，研究方向：高等数学教学、应用微分方程.

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湘南学院学报（自然科学版)2019年4月（第40卷）第2期

些实例,使学生在从具体问题的中感知概念，加深对概念理解.在高等代数教材中,很少出现在同一实数域上的 线性空间中，定义不同的内积的例子，而这一点恰恰可以帮助学生更深刻地理解“欧几里得空间”概念.

例如:在线性空间iT中，对于向量a = (〇1，〇2,…,a„)，谷=dh，…，6J .定义内积

(a,/8) ^定义内积

(a，/8) =

也构成一个欧几里得空间[2].

通过这个例子的讲解，可以使学生对“欧几里得空间”概念有更深刻地理解.

6! + 2 a2 62 + …+ n a„

,

(3)

alb1 + a2 b2 + ■■■ + anbn ,(2)

则/T构成一个欧几里得空间.另外，在线性空间/?\"中，

2紧扣问题导向，自然形成概念

在高等代数课程中，引入新的概念，往往是为了解决某些具体问题的需要.这就要求在讲解这些概念之前，

必须交待清楚问题的背景,紧扣问题导向，自然形成相关概念，使学生体会学习新概念的必要性，了解概念的 来龙去脉，这样更有利于学生对所学概念的理解与掌握

如行列式这章教学中，引人“ 级排列”等一系列概念，目的是为了定义/I级行列式.为此先必须弄清楚问 题级行列式的展开式中共有多少项？有多少正项？有多少负项？每项的符号如何确定？在讲解级排 列”等概念时，要紧扣问题导向，自然而然地形成相关概念.

首先，结合问题，让学生观察二级、三级行列式的展开式，容易看到二级行列式的展开式共有2!项，三级 行列式的展开式共有3!项，而且都是正项与负项各占一半,如果把每项的行码按由小到大自然排列好，则每 项的列码排列都不相同.由此提出推测:在n级行列式的展开式中，如果把每项的行码按由小到大自然排列好, 则每项的符号可由列码排列来确定.因此，为了确定Ti行级列式的展开式中项的符号，有必要研究由1，2，…, 这个数码组成排列，进而自然而然地形成“ n级排列”的概念.进一步，要让学生弄清楚这里讲的“ n级排列” 与中学讲的相关“排列”之间的联系与区别.在这里讲的“ „级排列”是由1,2,…，„这个数码组成的一个有 序数组.例如:135267既不是我们这里讲的6级排列,也不是7级排列，因为它之中少了数码4.

其次，让学生观察在《级排列中，除了自然排列外，其他的排列都存在大数排在小数前面的情况, 进而引人“逆序”和“逆序数”的概念.然后回过头再让学生观察得到，在三级行列式的展开式6项中，三项正项 中列码排列的逆序数都是偶数,而三项负项中列码排列的逆序数都是奇数，由此引人“偶排列”和“奇排列”的 概念.并让学生理解，/I级行列式的展开式中，如果把每项的行码按由小到大自然排列好,项的符号可由此项列 码排列的奇偶性来确定.通过证明结论:在全部《级排列中，奇、偶排列的个数各占一半，都是W /2个.进而可 以推测:在n级行列式的展开式共有;I!项，而且正、负项各占一半，都是n! /2项.最终为学生理解并熟练掌 握n级行列式概念打下坚实基础.

3抓住概念的本质特性，理解概念形式的多样性

在高等代数课程中，同一概念往往有多种定义方式，而且每种定义方式都有其利弊.这就要求在教学中，帮

助学生抓住概念的本质特性，理解概念形式的多样性，从中选择出学生最易理解和掌握的定义形式，从而达到 使学生深刻理解和熟练掌握所学概念的目的.

如学习“子空间的直和”的概念时，学生普遍反映难以理解，不能准确地掌握此概念.分析其原因主要是学 生没有抓住概念的本质特性，理解概念形式的多样性.为了帮助学生深刻地理解此概念，在讲解此概念之前，可 以不直接给出概念的定义，而是引导学生证明下面4个条件的等价性.

设[,F2是线性空间P的子空间，证明下面4个条件是等价的[3]:1) R + F2中每个元素a的分解式

0：=«!+ «2,«1 ^

V\\f 〇t2 & V2 ,(4)

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田元生:数学建模思想融入高等代数课程概念教学的研究与实践

是唯一的；

2) 零元素分解式是唯一的，即如果

aj + a2 =

e Fj

a2 e. V2 ,

(5)

那么 3)

= a2 = 0;n F2 = 10}；

4) 维（[+ F2 )=维（[)+维（F2).

以上四个条件都可用来定义“子空间的直和”概念.条件1)反映了 “子空间的直和”概念的本质特性，即： 在R + 72中，每个元素a的分解式的是唯一的，但用它来这个定义“子空间的直和”概念，学生难以理解，也不 易掌握.用条件2)来定义“子空间的直和”概念，相比用条件1)定义此概念，学生更容易理解，但前提是必须要 让学生弄清楚:零元素分解式唯一与h + F2中每个元素的分解式唯一是等价的.条件4)表示子空间维数之间 的关系,用它来定义“子空间的直和”概念，难以反映概念的本质特性，一般很少采用.用条件3)来定义“子空 间的直和”概念，简单明了，学生又容易理解和掌握.因此，在实际教学中，在证明上述四个命题等价的基础上， 可以采用条件3)来定义“子空间的直和”概念，这样既抓住概念的本质特性，又使学生更容易理解和掌握此概 念.

4结束语

由于高等代数课程的抽象性,不可能也没必要按完整的数学建模的过程进行概念教学.而是在教学过程 中，侧重于体现数学建模的思想，注重让学生在探索，发现、总结、归纳中自然形成概念.尽量让学生弄清楚概念 形成过程，在实际问题中找到概念的原型，展现从实际问题中抽象出数学概念的过程，从中使学生体会到应用 数学知识解决实际问题的方法.进而激发学生的学习兴趣,培养学生的抽象思维、简化思维、批判思维等数学能 力，提高学生学生分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

M].北京：高等教育出版社,2〇03.[2] 张禾瑞,郝炳新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社,1983.[3] 北京大学数学系几何与代数教研室•高等代数（第四版）[M]•北京：高等教育出版社,2013.

[1] 姜启源.数学模型（第三版）[

A Research and Practice of Integrating Idea of Mathematical

Modeling into Concept Teaching of Higher Algebra Course

TIAN Yuansheng

(College of Mathematics and Finance, Xiangnan University,Chenzhou 423000,China)

higher algebra course from the process of producing the concept, naturally forming the concept and under­standing the diversity of concept form.Key words： higher algebra;concept teaching；idea of mathematical modeling

Abstract ： In this paper, we discuss how to integrate mathematical modeling idea into the concept teaching of

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