靖西市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 数列{an}中，a11，对所有的n2，都有a1Aa2Aa3ann，则a3a5等于（ A．

2）

D．

25 9B．

25 16C．

61 163115x2y22． F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3C. 21D. 31【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

3． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（

）

B．（﹣，+∞）

C．（0，+∞）

D．（﹣∞，﹣）

A．（﹣∞，）4． 由直线

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

AB1CD

5． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（　　）A．锐角B．直角C．钝角D．不存在

6． △ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线A．

B．

C．

上，则D．±

=（

）

7． 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（ ）

A．等腰三角形C．等腰直角三角形

B．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

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8． 已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（ A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

）

9． 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ）

A．ex+1B．ex﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1　10．ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OAABAC为零向量，且|OA||AB|，则CA在BC方向上的投影为（ A．-3

）

C．3

D．3的椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，若

B．3 11．已知双曲线和离心率为sin41，则双曲线的离心率等于（ ）25A． B．

2cosF1PF212．已知x，y满足约束条件A．﹣3　

B．3

C．﹣1

D．1

C．

6 2D．

72）

，使z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（

二、填空题

13．设xR，记不超过x的最大整数为[x]，令xx[x].现有下列四个命题: ①对任意的x，都有x1[x]x恒成立；②若x(1,3)，则方程sin2xcos2[x]1的实数解为6；

31③若an（nN），则数列an的前3n项之和为n2n；

223④当0x100时，函数f(x)sin[x]sin22nx1的零点个数为m，函数g(x)[x]xx1的3零点个数为n，则mn100.

其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）

【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。14．已知f（x）=．

，x≥0，若f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N+，则f2015（x）的表达式为　　第 2 页，共 19 页

15．若log2（2m﹣3）=0，则elnm﹣1=　　　　　　．　

16．若实数x，y满足x2+y2﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为　　．

17．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是　　　　　　．18．如图：直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为　　．

三、解答题

19．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数fx2lnxmx1mR.（1）当m1时，求fx的单调区间；

51（2）令gxxfx，区间De2,e2，e为自然对数的底数。

（ⅰ）若函数gx在区间D上有两个极值，求实数m的取值范围；

（ⅱ）设函数gx在区间D上的两个极值分别为gx1和gx2，求证：x1x2e.

20．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．

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（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求不等式f（x）＜0的解集．

21．已知条件p:的取值范围．

41，条件q:x2xa2a，且p是的一个必要不充分条件，求实数x122．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

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23．现有5名男生和3名女生．

（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？　

24．（本题满分15分）

已知抛物线C的方程为y2px(p0)，点R(1,2)在抛物线C上．

2（1）求抛物线C的方程；

（2）过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l:y2x2于

M，N两点，求MN最小时直线AB的方程．

【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.

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靖西市第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】C【解析】

n2试题分析：由a1Aa2Aa3ann，则a1Aa2Aa3an1(n1)，两式作商，可得an，所以2(n1)22325261a3a522，故选C．

2416考点：数列的通项公式．2． 【答案】D

【解析】∵PF1PF20，∴PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF12PF22F1F224c2，|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)，

(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

rPF1PF2F1F231c，整理，得2c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2c22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D.a3． 【答案】D

【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，

∵函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x2+x复合而成，

0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．

【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．　

4． 【答案】D

【解析】由定积分知识可得5． 【答案】C

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，故选D。

【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论．【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，则θ为钝角．故选：C．

6． 【答案】D

【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线∴A与B为双曲线的两焦点，

根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，则故选：D．

【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．　

7． 【答案】D

【解析】解：∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin2A，

∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，∴2cosA（sinA﹣sinB）=0，∴cosA=0，或sinA=sinB，∴A=

，或a=b，

=

=±

=±．

上，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D．

【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而导致漏解，属中档题和易错题．　

8． 【答案】D

【解析】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D．　

9． 【答案】D

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【解析】解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，

而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．　

10．【答案】B【解析】

考点：向量的投影．11．【答案】C【解析】

试题分析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，PF1m，PF2n，且不妨设

1，由余弦定理可知：2213a123a22222224cmnmn，4ca13a2，24，解4，设双曲线的离心率为，则

cc22e（）26得e.故答案选C．

2mn，由mn2a1，mn2a2得ma1a2，na1a2，又cosF1PF2考点：椭圆的简单性质．

【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P为公共点，可把焦半径

PF1、PF2的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴a1,a2来表示，接着用余弦定理表示

cosF1PF212，成为一个关于a1,a2以及的齐次式，等式两边同时除以c，即可求得离心率.圆锥曲线问题2在选择填空中以考查定义和几何性质为主.12．【答案】D

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y，得y=﹣ax+z，

若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，

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此时﹣a=﹣1，即a=1．

若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．综上a=1．故选：D．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．　

二、填空题

13．【答案】①③

【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然x1[x]x，①是真命题；对于②，由sin2sin2xsin2[x]化为sin2(x1)sin21，方程无解；当2x3 时，0x21，0sin(x2)sin1，

此时sin2sin2x1cos2[x]，即sin2xsin2[x].当1x2 时，0x11，0sin(x1)sin1，此时

xcos2[x]1得，

xsin2[x]化为sin(x2)sin2，所以x22或x22，即x4或x，所以原方

n123程无解.故②是假命题；对于③，∵an（nN），∴a10，a20，a31，

3333143n13n，a41，…，a3n1[n]n1a[n]n，所以数列an的前3n项之和3n333331为3[12(n1)]nn2n，故③是真命题；对于④，由

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14．【答案】　

　．

【解析】解：由题意f1（x）=f（x）=

．

f2（x）=f（f1（x））=，

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f3（x）=f（f2（x））=…

fn+1（x）=f（fn（x））=故f2015（x）=故答案为：　

15．【答案】　　．

【解析】解：∵log2（2m﹣3）=0，∴2m﹣3=1，解得m=2，∴elnm﹣1=eln2÷e=．故答案为：．

．

，

=，

【点评】本题考查指数式化简求值，是基础题，解题时要注意对数方程的合理运用．　

16．【答案】10【解析】【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．

【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）

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设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，最大值为：10．故答案为：10．

17．【答案】　异面　．

【解析】解：把展开图还原原正方体如图，

在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．故答案为：异面．　

18．【答案】V【解析】

【分析】四棱锥B﹣APQC的体积，底面面积是侧面ACC′A′的一半，B到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C，所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：

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故答案为：

三、解答题

19．【答案】（1）增区间0,2，减区间2,，（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2）（ⅰ）函数gx在区间D上有两个极值，等价于

512lnx12gx2lnx2mx1在e,e2上有两个不同的零点，令gx0，得2m，通过求导分析

x312lnx112lnx212lnx1得m的范围为5,1；（ⅱ）2m，得2m，由分式恒等变换得22xx1x2ee

x11xx2xxx2lnx112lnx212lnx112lnx21ln12ln1，要证明，得lnx1lnx211x1x2x2x11x2x1x2x1x2x2x11x2xln12，x1x2e，只需证lnx1lnx212，即证x1x21x22t1x令e31t1，ptlnt，通过求导得到pt0恒成立，得证。

t1x2试题解析：

（2）（ⅰ）因为gx2xlnxmxx，

251所以gx2lnx22mx12lnx2mx1，xe2,e2，

第 14 页，共 19 页

512若函数gx在区间D上有两个极值，等价于gx2lnx2mx1在e,e2上有两个不同的零点，

2lnx1令gx0，得2m，

x2lnx112lnx设tx，令tx0,xe,tx2xxxtxtxxe1211xe2,e2xe0

1251xe2,e2xe52大于0

0

增

小于0

2e12减

6e5231

所以m的范围为5,1

22ee

2m（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数gx在区间D上有两个极值分别为gx1和gx2，不妨设x1x2，则



2lnx112lnx21，x1x22lnx112lnx212lnx112lnx21所以x1x2x1x2x11x1x2x1x2xlnln1，即lnx1lnx21x1x2x2x11x2x2x11x2xln12，要证x1x2e，只需证lnx1lnx212，即证x1x21x2xt1t1令e31t1，即证，lnt2，即证lnt2t1t1x2t114令ptlnt，因为pt0，

t1tt12tt12所以pt在e3,1上单调增，p10，所以pt0，

2t12第 15 页，共 19 页

即lnt2t1t10,所以lnt2t1，得证。t120．【答案】

【解析】解：（1）当a=1时，依题意得x2﹣3x+2≤0因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0，解得：x≥1或x≤2．∴1≤x≤2．

不等式的解集为{x|1≤x≤2}．（2）依题意得x2﹣3ax+2a2＜0∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0…对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0得x1=a，x2=2a当a=0时，x∈∅．

当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a；当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；

综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；　

21．【答案】1,2．【解析】

试题分析：先化简条件p得3x1，分三种情况化简条件，由p是的一个必要不充分条件，可分三种情况列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.

41，当时，xa101得p:3x1，由x2xa2a得xaax1211q:；当a时，q:a1,a；当a时，q:a,a1

22由题意得，p是的一个必要不充分条件，

111当a时，满足条件；当a时，a1,a3,1得a1,，

22211当a时，a,a13,1得a,2 综上，a1,2．

22试题解析：由

考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.

【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断p是的什么

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条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件，二是由条件能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.22．【答案】

【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=．

（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2由V′=0得x=20，

当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，

．

．

（﹣x3+30x2），V′=6

x（20﹣x），

x，h=

（30﹣x），0＜x＜30

即此时包装盒的高与底面边长的比值是　

23．【答案】

【解析】解：（1）先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列有 A33A66=4320种．（2）从中选5人，且要求女生只有2名，则男生有3人，先选再排，故有C32C53A55=3600种

【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．　

224．【答案】（1）y4x；（2）xy20．

【解析】（1）∵点R(1,2)在抛物线C上，22p1p2，…………2分

2即抛物线C的方程为y4x；…………5分

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